初中数学浙教版九年级上册3.6 圆内接四边形同步练习
一、单选题
1．（2021九上·义乌期末）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°，
故答案为：B.
【分析】直接根据圆内接四边形对角互补即可得到.
2．（2021九上·上城期末）已知圆内接四边形 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵
∴ 设 ， 的度数分别为x、2x，
由圆内接四边形的对角互补可知：
x+2x=180°，
解得：x=60°，
∴ .
故答案为：B.
【分析】设 ， 的度数分别为x、2x，根据圆内接四边形对角互补列方程计算即可.
3．（2020九上·浙江期中）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠D的大小是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．135°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：3：2，
而∠B+∠D=180°，
∴∠D= ×180°=90°.
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形对角互补，结合已知条件可得∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：3：2，∠B+∠D=180°，由此即可求得∠D的度数.
4．（2020九上·湖州期中）如图，四边形ABCD为圆内接四边形∠A=85°，∠B=105°，则∠C的度数为（ ）
A．115° B．75° C．95° D．无法求
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠C＝180°，
∴∠C＝180°－∠A
＝180°－85°
＝95°.
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补可求解.
5．（2020九上·路南期中）如图；四边形 的四个顶点均在半圆O上，若 ，则 （ ）
A．130° B．120° C．125° D．110°
【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD的四个顶点均在半圆O上，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠C＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：A．
【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质可得∠A+∠C＝180°，即求出∠C大小。
6．（2021·腾冲模拟）如图，四边形 内接于⊙O，若 ，则 的度数为（ ）
A．18 B．72 C．100 D．108
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠B=180°，
又∠B=72°，
∴∠D=180°-∠B=180°-72°=108°．
故答案为：D．
【分析】利用圆内接四边形的性质可得∠D+∠B=180°，再计算即可。
7．（2021九上·下城期末）若四边形ABCD是圆内接四边形，则它的内角 ， ， ， 的度数之比可能是（ ）
A．3：1：2：5 B．1：2：2：3 C．2：7：3：6 D．1：2：4：3
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是圆内接四边形，
即 比值的和与 比值的和份数相等，
故A、B、C均不符合题意；
， ， ， 的度数之比可能是 ，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】由圆内接四边形的性质可知，其对角互补，据此可知两组对角的比值的和份数相等，据此分别判断即可.
8．（2020九上·福州月考）圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3∶4∶6，则∠D的度数为( )
A．60° B．80° C．100° D．120°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：根据圆内接四边形的性质可得：∠A+∠C=∠B+∠D=180°，
设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=6x，
则3x+6x=180°，解得：x=20°，
则∠B=80°，∠D=180°－80°=100°.
故答案为：C
【分析】根据圆内接四边形的性质得到：对角互补，即可求出的大小，再利用四边形的内角和求解即可。
9．（2020九上·温州期中）四边形ABCD内接于☉O，若2∠A+3∠C，则∠A=（ ）
A．45° B．72° C．108° D．135°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∴2∠A+2∠C=360°，
∵2∠A=3∠C，
∴3∠C+2∠C=360°，
∴5∠C=360°，
∴∠C=72°，
∴∠A=180°-∠C=108°；
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的性质，结合2∠A=3∠C求出∠C，则∠A可求.
10．（2020·南宁模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠ADE=110°，则∠B=（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADE=∠B=110°.
故答案为：C.
【分析】利用圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，就可求出∠B的度数。
二、填空题
11．（2021·泰山模拟）如图，已知四边形 内接于 ， ，则 的度数是 ．
【答案】112°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=68°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-68°=112°．
故答案为：112°．
【分析】根据圆内接四边形对角互补进行解答即可.
12．（2021·禹州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝120°，则∠AOC的度数为 .
【答案】120°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴∠B=180° 120°=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°.
故答案为：120°.
【分析】本题考查圆内接四边形的对角互补，即可求解.
13．（2020九上·椒江期中）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝110°，则∠ABC的度数是 .
【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：由圆内接四边形的性质得： ，
，
，
故答案为： .
【分析】根据圆内接四边形的对角互补可求解.
14．（2021·深圳模拟）如图，四边形 是平行四边形， 经过点A，C，D与 交于点E，连接 ，若 ，则 ．
【答案】36°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形 是 的内接四边形
，
四边形 是平行四边形，
故答案为：
【分析】由圆的内接四边形内对角互补性质，解得 ，进而由邻补角性质解得 ，再由平行四边形对角相等性质，解得 ，最后由三角形内角和180°解题即可．
15．（2021·高邮模拟）如图，四边形 内接于 ， 、 的延长线相交于点 ， 、 的延长线相交于点 .若 ， ，则 °.
【答案】35
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，
∴∠EDC+∠FBC＝180°，
∴∠E+∠F＝360°﹣180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠E＝45°，
∴∠F＝35°，
故答案为：35.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ECD和∠BCF，∠EDC+∠FBC＝180°，然后根据三角形的内角和推出∠E+∠F＝80°，结合∠E的度数，即可求出∠F.
16．（2020九上·滨海月考）如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P，∠P＝30°，∠ABC＝100°，则∠C＝ .
【答案】70°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：
四边形ABCD为圆的内接四边形，
故答案为：70°.
【分析】因为∠ABC是三角形PAB的一个外角，所以由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求得∠PAB的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可求解.
三、解答题
17．（2020·温州模拟）如图，在三角形ABC中， ∠ C=90°,I是内心，直线BI与AC交于点D，过点D作DE//AI与BC交于点E，直线EI与AB交于点F.证明：DF ⊥ AI.
【答案】证明：因为 是 的外角，所以，
又 ，则 .
而 ，因此，E、C、D、I四点共圆．
从而，
故
又 ,
于是， △ADI≌△AFI ，有 ，即
是 等腰三角形 ．且AI是顶角的角平分线．
因此． ．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】由已知得∠AID=∠BAI+∠ABI=∠BAC+∠ABC=45°，根据DE∥AI，得∠EDI=45°，由此可得E、C、D、I四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得∠DIE=90°，进而∠AIF=∠AID，易证△ADI≌△AFI，得到AD=AF，即△ADF是等腰三角形.又由已知得，AI是顶角的角平分线，故得到DF⊥AI. 此题综合性强，证明E、C、D、I四点共圆是解题的关键.
18．（2018九上·磴口期中）如图，四边形ABCD是 的内接四边形，DB=DC求证：∠CAD=∠EAD．
【答案】解： ，
，
， ，
，
，
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据等边对等角的性质即可得到∠DBC=∠DCB，根据圆内接四边形的性质进行计算即可得到答案。
19．如图，⊙ 的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F。
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且。α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小.
【答案】（1）解：∠E=∠F，∵∠DCE=∠BCF，∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC.
（2）解：由（1）知∠ADC=∠ABC，∵∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC，∴∠ADC=90°，∴∠A=90°﹣42°=48°
（3）解：连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=90°﹣ ．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）由三角形外角知识可得∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，再由∠E=∠F，∠EDC=∠ABC，等量代换可得∠ADC=∠ABC。
（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，再由∠EDC=∠ABC，等量代换得出∠EDC=∠ADC，最后得出∠A。
（3）连结EF，由四边形ABCD为圆的内接四边形，可得∠ECD=∠A，再由三角形外角可得∠ECD=∠1+∠2，等量代换得出∠A=∠1+∠2，最后由三角形内角和定理可得∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，等量代换得出∠A的度数 .
20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB．
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD．求证：△ABE是等边三角形．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB，∴∠A=∠AEB
（2）解：∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补可得∠A+∠BCD=180°，再由∠DCE+∠BCD=180°等量代换得出∠A=∠DCE，再由等边对等角得出
∠DCE=∠AEB，最后得出∠A=∠AEB。
（2）先证得△ABE是等腰三角形，再由垂径定理得出CF=DF，易得EO是CD的垂直平分线，ED=EC，再分别证△DCE、△ABE是等边三角形即可。
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，求证：AB=CD．
【答案】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
又∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠B=∠C，
∴弧DC=弧AB，
∴AB=DC.
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据圆的内接四边形性质可得对角互补，由平行线性质：同旁内角互补，再根据同角的补角相等可得∠B=∠C，再由圆心角，弧，弦之间的关系即可得证.
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，若∠AOC=140°．求∠EBC的度数．
【答案】解：由圆周角定理得，∠D=∠AOC=70°，
由圆内接四边形的性质得，∠EBC=∠D=70°．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据圆周角定理得到∠D=∠AOC=70°，根据圆内接四边形的性质得到答案．
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°， = ，过点C作CE⊥AD，垂足为E，若AE=3，DE= ，求∠ABC的度数．
【答案】解：作BF⊥CE于F，∵∠BCF+∠DCE=90°，∠D+∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D．又BC=CD，∴Rt△BCF≌Rt△CDE．∴BF=CE．又∵∠BFE=∠AEF=∠A=90°，∴四边形ABFE是矩形．∴BF=AE．∴AE=CE=3，在Rt△CDE中∵∴∠D=60°∵∠ABC+∠D=180°∴∠ABC=120°．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】由弧BC=弧CD ，可得弦BC=CD ，需作BF⊥CE于F，构造全等三角形，Rt△BCF≌Rt△CDE，由三角函数求出tan D，由∠BCF=∠D，再利用圆内接四边形性质，求出∠ABC的度数.
四、综合题
24．（2018九上·丽水期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC=86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC=EC，求证：AD=BE
【答案】（1）解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠CBE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠CBE，
又∵∠ADC=86°，
∴∠CBE=86°.
（2）证明：∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∵AC 平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠E，又∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠CBE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠CBE，
在△ ADC 和△ EBC 中
∴△ADC≌△EBC（AAS），
∴AD=BE.
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质和邻补角定义可得∠ADC=∠CBE，结合已知条件即可得出答案.
（2）根据等腰三角形性质和角平分线定义可得∠DAC=∠E，由（1）知∠ADC=∠CBE，根据全等三角形判定AAS可得△ADC≌△EBC，再由全等三角形性质即可得证.
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.6 圆内接四边形同步练习
一、单选题
1．（2021九上·义乌期末）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
2．（2021九上·上城期末）已知圆内接四边形 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2020九上·浙江期中）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠D的大小是（ ）
A．45° B．60° C．90° D．135°
4．（2020九上·湖州期中）如图，四边形ABCD为圆内接四边形∠A=85°，∠B=105°，则∠C的度数为（ ）
A．115° B．75° C．95° D．无法求
5．（2020九上·路南期中）如图；四边形 的四个顶点均在半圆O上，若 ，则 （ ）
A．130° B．120° C．125° D．110°
6．（2021·腾冲模拟）如图，四边形 内接于⊙O，若 ，则 的度数为（ ）
A．18 B．72 C．100 D．108
7．（2021九上·下城期末）若四边形ABCD是圆内接四边形，则它的内角 ， ， ， 的度数之比可能是（ ）
A．3：1：2：5 B．1：2：2：3 C．2：7：3：6 D．1：2：4：3
8．（2020九上·福州月考）圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3∶4∶6，则∠D的度数为( )
A．60° B．80° C．100° D．120°
9．（2020九上·温州期中）四边形ABCD内接于☉O，若2∠A+3∠C，则∠A=（ ）
A．45° B．72° C．108° D．135°
10．（2020·南宁模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠ADE=110°，则∠B=（ ）
A．80° B．100° C．110° D．120°
二、填空题
11．（2021·泰山模拟）如图，已知四边形 内接于 ， ，则 的度数是 ．
12．（2021·禹州模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝120°，则∠AOC的度数为 .
13．（2020九上·椒江期中）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝110°，则∠ABC的度数是 .
14．（2021·深圳模拟）如图，四边形 是平行四边形， 经过点A，C，D与 交于点E，连接 ，若 ，则 ．
15．（2021·高邮模拟）如图，四边形 内接于 ， 、 的延长线相交于点 ， 、 的延长线相交于点 .若 ， ，则 °.
16．（2020九上·滨海月考）如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P，∠P＝30°，∠ABC＝100°，则∠C＝ .
三、解答题
17．（2020·温州模拟）如图，在三角形ABC中， ∠ C=90°,I是内心，直线BI与AC交于点D，过点D作DE//AI与BC交于点E，直线EI与AB交于点F.证明：DF ⊥ AI.
18．（2018九上·磴口期中）如图，四边形ABCD是 的内接四边形，DB=DC求证：∠CAD=∠EAD．
19．如图，⊙ 的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F。
（1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC；
（2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E=α，∠F=β，且。α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小.
20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB．
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD．求证：△ABE是等边三角形．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，求证：AB=CD．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，若∠AOC=140°．求∠EBC的度数．
23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°， = ，过点C作CE⊥AD，垂足为E，若AE=3，DE= ，求∠ABC的度数．
四、综合题
24．（2018九上·丽水期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC=86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC=EC，求证：AD=BE
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°，
故答案为：B.
【分析】直接根据圆内接四边形对角互补即可得到.
2．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵
∴ 设 ， 的度数分别为x、2x，
由圆内接四边形的对角互补可知：
x+2x=180°，
解得：x=60°，
∴ .
故答案为：B.
【分析】设 ， 的度数分别为x、2x，根据圆内接四边形对角互补列方程计算即可.
3．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：3：2，
而∠B+∠D=180°，
∴∠D= ×180°=90°.
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形对角互补，结合已知条件可得∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：3：2，∠B+∠D=180°，由此即可求得∠D的度数.
4．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A＋∠C＝180°，
∴∠C＝180°－∠A
＝180°－85°
＝95°.
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补可求解.
5．【答案】A
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD的四个顶点均在半圆O上，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠C＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：A．
【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质可得∠A+∠C＝180°，即求出∠C大小。
6．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠B=180°，
又∠B=72°，
∴∠D=180°-∠B=180°-72°=108°．
故答案为：D．
【分析】利用圆内接四边形的性质可得∠D+∠B=180°，再计算即可。
7．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是圆内接四边形，
即 比值的和与 比值的和份数相等，
故A、B、C均不符合题意；
， ， ， 的度数之比可能是 ，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】由圆内接四边形的性质可知，其对角互补，据此可知两组对角的比值的和份数相等，据此分别判断即可.
8．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：根据圆内接四边形的性质可得：∠A+∠C=∠B+∠D=180°，
设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=6x，
则3x+6x=180°，解得：x=20°，
则∠B=80°，∠D=180°－80°=100°.
故答案为：C
【分析】根据圆内接四边形的性质得到：对角互补，即可求出的大小，再利用四边形的内角和求解即可。
9．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∴2∠A+2∠C=360°，
∵2∠A=3∠C，
∴3∠C+2∠C=360°，
∴5∠C=360°，
∴∠C=72°，
∴∠A=180°-∠C=108°；
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形的性质，结合2∠A=3∠C求出∠C，则∠A可求.
10．【答案】C
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADE=∠B=110°.
故答案为：C.
【分析】利用圆内接四边形的一个外角等于它的内对角，就可求出∠B的度数。
11．【答案】112°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=68°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-68°=112°．
故答案为：112°．
【分析】根据圆内接四边形对角互补进行解答即可.
12．【答案】120°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴∠B=180° 120°=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°.
故答案为：120°.
【分析】本题考查圆内接四边形的对角互补，即可求解.
13．【答案】
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：由圆内接四边形的性质得： ，
，
，
故答案为： .
【分析】根据圆内接四边形的对角互补可求解.
14．【答案】36°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形 是 的内接四边形
，
四边形 是平行四边形，
故答案为：
【分析】由圆的内接四边形内对角互补性质，解得 ，进而由邻补角性质解得 ，再由平行四边形对角相等性质，解得 ，最后由三角形内角和180°解题即可．
15．【答案】35
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，
∴∠EDC+∠FBC＝180°，
∴∠E+∠F＝360°﹣180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠E＝45°，
∴∠F＝35°，
故答案为：35.
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠ECD和∠BCF，∠EDC+∠FBC＝180°，然后根据三角形的内角和推出∠E+∠F＝80°，结合∠E的度数，即可求出∠F.
16．【答案】70°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：
四边形ABCD为圆的内接四边形，
故答案为：70°.
【分析】因为∠ABC是三角形PAB的一个外角，所以由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求得∠PAB的度数，再根据圆内接四边形的对角互补即可求解.
17．【答案】证明：因为 是 的外角，所以，
又 ，则 .
而 ，因此，E、C、D、I四点共圆．
从而，
故
又 ,
于是， △ADI≌△AFI ，有 ，即
是 等腰三角形 ．且AI是顶角的角平分线．
因此． ．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】由已知得∠AID=∠BAI+∠ABI=∠BAC+∠ABC=45°，根据DE∥AI，得∠EDI=45°，由此可得E、C、D、I四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得∠DIE=90°，进而∠AIF=∠AID，易证△ADI≌△AFI，得到AD=AF，即△ADF是等腰三角形.又由已知得，AI是顶角的角平分线，故得到DF⊥AI. 此题综合性强，证明E、C、D、I四点共圆是解题的关键.
18．【答案】解： ，
，
， ，
，
，
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据等边对等角的性质即可得到∠DBC=∠DCB，根据圆内接四边形的性质进行计算即可得到答案。
19．【答案】（1）解：∠E=∠F，∵∠DCE=∠BCF，∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC.
（2）解：由（1）知∠ADC=∠ABC，∵∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC，∴∠ADC=90°，∴∠A=90°﹣42°=48°
（3）解：连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=90°﹣ ．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）由三角形外角知识可得∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，再由∠E=∠F，∠EDC=∠ABC，等量代换可得∠ADC=∠ABC。
（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，再由∠EDC=∠ABC，等量代换得出∠EDC=∠ADC，最后得出∠A。
（3）连结EF，由四边形ABCD为圆的内接四边形，可得∠ECD=∠A，再由三角形外角可得∠ECD=∠1+∠2，等量代换得出∠A=∠1+∠2，最后由三角形内角和定理可得∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，等量代换得出∠A的度数 .
20．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE，∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB，∴∠A=∠AEB
（2）解：∵∠A=∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补可得∠A+∠BCD=180°，再由∠DCE+∠BCD=180°等量代换得出∠A=∠DCE，再由等边对等角得出
∠DCE=∠AEB，最后得出∠A=∠AEB。
（2）先证得△ABE是等腰三角形，再由垂径定理得出CF=DF，易得EO是CD的垂直平分线，ED=EC，再分别证△DCE、△ABE是等边三角形即可。
21．【答案】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
又∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
∴∠B=∠C，
∴弧DC=弧AB，
∴AB=DC.
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据圆的内接四边形性质可得对角互补，由平行线性质：同旁内角互补，再根据同角的补角相等可得∠B=∠C，再由圆心角，弧，弦之间的关系即可得证.
22．【答案】解：由圆周角定理得，∠D=∠AOC=70°，
由圆内接四边形的性质得，∠EBC=∠D=70°．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】根据圆周角定理得到∠D=∠AOC=70°，根据圆内接四边形的性质得到答案．
23．【答案】解：作BF⊥CE于F，∵∠BCF+∠DCE=90°，∠D+∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D．又BC=CD，∴Rt△BCF≌Rt△CDE．∴BF=CE．又∵∠BFE=∠AEF=∠A=90°，∴四边形ABFE是矩形．∴BF=AE．∴AE=CE=3，在Rt△CDE中∵∴∠D=60°∵∠ABC+∠D=180°∴∠ABC=120°．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】由弧BC=弧CD ，可得弦BC=CD ，需作BF⊥CE于F，构造全等三角形，Rt△BCF≌Rt△CDE，由三角函数求出tan D，由∠BCF=∠D，再利用圆内接四边形性质，求出∠ABC的度数.
24．【答案】（1）解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠CBE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠CBE，
又∵∠ADC=86°，
∴∠CBE=86°.
（2）证明：∵AC=EC，∴∠E=∠CAE，∵AC 平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠E，又∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，∵∠CBE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠CBE，
在△ ADC 和△ EBC 中
∴△ADC≌△EBC（AAS），
∴AD=BE.
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质和邻补角定义可得∠ADC=∠CBE，结合已知条件即可得出答案.
（2）根据等腰三角形性质和角平分线定义可得∠DAC=∠E，由（1）知∠ADC=∠CBE，根据全等三角形判定AAS可得△ADC≌△EBC，再由全等三角形性质即可得证.
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