初中数学浙教版九年级上册3.7 正多边形同步练习
一、单选题
1．（2021九上·龙岩期末）在正六边形ABCDEF的中，若BE=10，则这个正六边形外接圆半径是（ ）
A． B．5 C． D．5
2．（2021·二道模拟）⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n多边形的边长相等，则n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2021·兰州模拟）已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为（ ）
A．2 B．1 C． D．
4．（2021·温州模拟）如图，五边形 是 的内接正五边形， 是 的直径，则 的度数是（ ）
A．18° B．36° C． D．72°
5．（2021九下·施秉开学考）如图，正六边形ABCDEF内接于于⊙O,连接BD，则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．（2021九上·福州期末）已知正六边形 内接于 ，若 的直径为 ，则该正六边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020九上·云梦月考）半径为 的圆的内接正六边形的边心距是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020九上·霍林郭勒月考）半径为 的圆内接正三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2020九上·永城期中）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H.若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（ ）
A． cm B．5 cm C．3 cm D．10 cm
10．（2020·新华模拟）连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法错误的是（ ）
A．四边形 与四边形 的面积相等
B．连接 ，则 分别平分 和
C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形
D． 是等边三角形
二、填空题
11．（2021·南通模拟）如图，A、B、C、D为一个正多边形的相邻四个顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=12°，则这个正多边形的边数为
12．（2021·长安模拟）如图，正方形 和正六边形 均内接于 ，连接 ；若线段 恰好是 的一个内接正 边形的一条边，则 ．
13．（2021·岳池模拟）正六边形的边心距为 ，则该正六边形的边长是 .
14．（2021·泸县模拟）⊙O的半径为 ，则⊙O的内接正方形的面积是 .
15．（2021·南明模拟）如图，四边形 为 的内接正四边形， 为 的内接正三角形，若 恰好是同圆的一个内接正 边形的一边，则 的值为 ．
16．（2021九上·天门期末）如图，正 内接于半径为1cm的圆，则阴影部分的面积为 。
三、解答题
17．（2018九上·丰城期中）如图，已知正三角形ABC内接于 ，AD是 的内接正十二边形的一条边长，连接CD，若 ，求 的半径．
18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
19．如图五边形ABCDE内接于⊙O，∠A =∠B=∠C=∠D=∠E．
求证：五边形ABCDE是正五边形
20．如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S．
21．（2017九上·上杭期末）如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB= cm，求⊙O的半径．
22．如图，圆O的半径为r．
（1）在图①中，画出圆O的内接正△ABC，简要写出画法；求出这个正三角形的周长．
（2）在图②中，画出圆O的内接矩形ABCD，简要写出画法；若设AB=x，求出矩形的周长.
（3）如图③，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA．设AB=x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式，并探究L是否有最大值，若有，请指出x为何值时，L取得最大值；若没有，请说明理由．
23．如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．
（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
四、综合题
24．（2021九上·秦淮期末）圆周率 的故事
我国古代数学家刘徽通过“割圆术”来估计圆周率 的值——“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，可以理解为当正多边形的边数越来越多时，该正多边形与它的外接圆越来越“接近”，这样就可以用正多边形的周长替代它的外接圆的周长，从而估算出圆周率 的值.
（1）对于边长为a的正方形，其外接圆半径为 ，根据故事中的方法，用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长，利用公式 ，可以估算 .
（2）类比（1），当正多边形为正六边形时，估计 的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF的中，直径BE=10，
∴外接圆的半径为5，
故答案为B.
【分析】根据正多边形和它的外接圆可知，外接圆的半径就是正多变形的半径，由直径即可得到半径.
2．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，由题意得：
是等边三角形，
正多边形的边数：
故答案为：D.
【分析】先求出△OAB是等边三角形，可得这个正多边形的中心角∠AOB=60°，据此即得结论.
3．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示
圆内接正六边形ABCDEF，连结OA，OB，过O作OH⊥AB于H，
∵圆内接正六边形的半径为2，
∴OA=OB=2，
∵∠AOB= =60°，
∴△AOB为等边三角形，
∵OH⊥AB，
∴OH平分∠AOB，
∴∠AOH=∠HOB= ∠AOB= ，
所以该圆的内接正六边形的边心距OH==2×cos30°＝2× ＝ ，
故答案为：C.
【分析】连结OA，OB，过O作OH⊥AB于H，根据正六边形可得圆心角，解直角三角形即可.
4．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解： 五边形 是 的内接正五边形，
， ， ，
又 是 的直径，
，
∴
，
，
故答案为：C.
【分析】根据正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论.
5．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF ，
∴∠BCD=180°-（360°÷6）=120°，
∵CB=CD，
∴∠CBD==30°；
故答案为：A.
【分析】先根据正多边形的外角和求出这个正六边形的一个内角的度数，再结合等腰三角形的性质，利用三角形的内角和定理即可求出∠CBD的度数.
6．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，连接OA、OB，
∵ 的直径为 ，
∴OA=1，
∵正六边形 内接于 ，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=1，
∴该正六边形的周长是1×6=6，
故答案为：C.
【分析】如图，连接OA、OB，由正六边形 内接于 可得∠AOB=60°，即可证明△AOB是等边三角形，根据 直径可得OA的长，进而可得正六边形的周长.
7．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OH垂直AB于点H，OH即为正六边形边心距.
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴ ，OA=OB=AB=a，AH=BH= ，
∴
即半径为 的圆的内接正六边形的边心距是.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB，过点O作OH垂直AB于点H，OH即为正六边形边心距，根据正六边形的性质用勾股定理可求解.
8．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图所示，过O作OD⊥BC于D；
∵此三角形是正三角形，
∴∠BOC= =120°．
∵OB=OC，
∴∠BOD= ×120°=60°，
∴∠OBD=30°；
∵OB=R，
∴OD= ，BD=OB cos30°= ，
∴BC=2BD=2× = ，
∴S△BOC= ×BC×OD= × = ，
∴S△ABC=3× ．
故答案为：D．
【分析】本题的关键是用R表示出正三角形的边长，再利用正三角形的面积计算公式（a为边长）求解即可。
9．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB角AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝ OA＝ （cm），
∴AC＝2AN＝15 （cm），
∴GH＝ AC＝5 （cm），
故答案为：B.
【分析】根据正六边形的性质和等腰三角形的性质以及解直角三角形即可得到结论.
10．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】∵根据正八边形的性质，
四边形AFGH与四边形CFED能完全重合，
∴四边形AFGH与四边形CFED的面积相等，
∴选项A不符合题意；
连接BF，
∵正八边形是轴对称图形，直线BF是对称轴，
∴则BF分别平分∠AFC和∠ABC，
∴选项B不符合题意；
∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴AB=CB=AH=GH=GF=EF=DE=CD，AF=CF，
设正八边形的中心为O，连接OA，
∠AOB=360° =45°，
∠AFC=2∠AFB=2 ∠AOB =45°，
∠ACF=∠FAC= (180 -45 )=67.5 ，
∴△ACF不是等边三角形，选项D符合题意；
∴整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，
∴选项C不符合题意；
故答案为：D．
【分析】由正八边形的性质得出D不正确，其余都是正确的，即可得出结论。
11．【答案】15
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接AO，BO，
∴∠AOB=2∠ADB=24°
∴这个正多边形的边数为 =15
故答案为：15.
【分析】连接AO，BO，根据圆周角定理得到∠AOB=24°，根据中心角的定义即可求解.
12．【答案】12
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OD、OH，
∵正方形 和正六边形 均内接于 ，
∴∠AOD= ，
∠AOH= ，
∴∠DOH=∠AOD-∠AOH=90 -60 =30 ，
∴n= ，
故答案为：12．
【分析】先求出∠AOD= ，∠AOH= ，再求出∠DOH=30°，最后计算求解即可。
13．【答案】2
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
∵正六边形的边心距为 ，在Rt△AOB中，
∴OB= ，∠OAB=60°，
∴AB=
∴AC=2AB=2.
故答案为：2.
【分析】利用解直角三角形求出AB的长，根据AC=2AB，可求出AB的长.
14．【答案】8
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形 是 的内接正方形，
∴ ， ，
∴ 、 是直径，
∵ 的半径为 ，
∴ ，
∴正方形 的面积 ，
故答案为：8.
【分析】利用圆的内接正方形的半径为2，可求出正方形的对角线长，即可求出正方形的面积.
15．【答案】12
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA、OD、OF，如图，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD= =90°，∠AOF= =120°，
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，
∴n= =12，
即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故答案为：12.
【分析】连接OA、OD、OF，根据正多边形与圆，分别求出⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角∠AOD= 90°，∠AOF=120°，从而求出∠DOF=30°，然后计算，即得n值.
16．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：分别过A、C作BC、AB边的垂线相交于点O，
由等边三角形的性质可知，点O即为△ABC的外心，连接OB则∠OBD＝30°，
设正△ABC的边长为a，
设正 的边长为a，则 ，
，
故AD=AB×sin60°=
于是阴影部分的面积为 .
故答案为：
【分析】根据题意作出辅助线，由等边三角形的性质作出△ABC的外心，再设出等边三角形的边长，由垂径定理得出BD＝，再根据特殊角的三角函数即可求出BC及AD的长，根据S阴影＝S圆 S△ABC进行计算即可．
17．【答案】解：如图所示，连接OA、O
D、OC，
等边 内接于 ，AD为内接正十二边形的一边，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
即 的半径为6cm．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】 如图所示，连接OA，OD，OC，根据圆内接正多边形的性质求出∠AOC、∠AOD的度数，从而求出∠COD的度数，继而求出△OCD为等腰直角三角形，由OC=OD=CD，即可求出半径.
18．【答案】解：∵正方形的面积等于4，
∴正方形的边长AB=2，
则半径是2× = ，
∴⊙O的面积=π（ ）2=2π．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】由已知正方形的面积可求得正方形的边长，再正多边形和圆的性质可得弦心距为正方形边长的一半，根据解直角三角形可以求得OA的长，即圆的半径为，代入圆的面积公式即可求得。
19．【答案】证明：证明：∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，∠A对着弧BDE，∠B对着弧CDA
∴弧BDE=弧CDA，
∴弧BDE 弧CDE=弧CDA 弧CDE，即弧BC=AE，
∴BC=AE.
同理可证AB=CD=DE=AE
∴AB=CD=DE=AE=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
∴五边形ABCDE是正五边形
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】根据圆周角定理去证明AB=CD=DE=AE=BC，由∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，可证得结论。
20．【答案】解：∵正n边形边长为a，OM⊥AB，OA=OB，
∴AM= AB= a，
∵边心距为r，
∴正n边形的半径R= = = ；
∴周长P=na；
∴面积S=nS△OAB=n× a×r= nar
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】由正n边形边长为a，边心距为r，利用勾股定理即可求得正n边形的半径R，继而求得周长P，然后由面积S=nS△OAB求得答案．
21．【答案】解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，∴∠OBD=30°，BD=CD= BC= AB= ，∴cos30°= = = ，解得：BO=2，即⊙O的半径为2cm．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．
22．【答案】解：（1）首先把圆六等份，然后连接三个不相邻的顶点即可作出．
△ABC就是所求的三角形；
（2）在直角△ABD中，AD=，
则BC=AD=，CD=AB=x．
则矩形的周长是：2x+2，
（3）连接AC，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
又∵CG⊥AD于点G．
∴CD2=DG AD，
∴DG==，
∴BC=EF=AD﹣2DG=2r﹣．
则L=4x+4r﹣．
当x=﹣=r时，L取得最大值．最大值是：6r．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）首先把圆六等份，然后连接三个不相邻的顶点即可作出；
（2）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，顺次连接矩形的四个顶点即可作出；
（3）连接AC，利用相似三角形的性质求得DG的长，则BC和EF即可利用x和r表示出来，从而得到L关于x的函数关系式，利用二次函数的性质求解．
23．【答案】解：（1）连接BF，则有BF∥AG．
理由如下：
∵ABCDEFGH是正八边形，
∴它的内角都为135°．
又∵HA=HG，
∴∠1=22.5°，
从而∠2=135°﹣∠1=112.5°．
由于正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，
∴
即∠2+∠3=180°，故BF∥AG．
（2）根据题设可知∠PHA=∠PAH=45°，
∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，
∴四边形PQMN是矩形．
又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，
∴△PAH≌△QCB≌△MDE，
∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，
故四边形PQMN是正方形．
在Rt△PAB中，∵∠PAH=45°，AB=2，
∴PA=AB，
∴PQ=PA+AB+BQ=．
故S四边形PQMN=．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）利用已知得出正八边形，它的内角都为135°，再利用正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，得出∠2+∠3=180°，进而得出答案；
（2）根据题意得出△PAH≌△QCB≌△MDE，则PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形，进而求出PQ的长即可得出答案．
24．【答案】（1）；
（2）
设正六边形的边长AB=m，
则该正六边形的周长为6m，其外接圆半径为m.
∵C= ，
∴ ，
所以估算 值为3.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：（1）正方形的边长AB=a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
，
∴AC= ，
∴正方形的对角线长为 ，
，
，
∵用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长，
C= ，
∴ ，
故答案为： ， ；
【分析】（1）利用勾股定理求出AC的长即为外接圆的直径，从而求出半径；由圆的周长公式得出 ，从而得出，代入相应数据即可求出π值；
（2） 设正六边形的边长AB=m， 可得该正六边形的周长为6m，其外接圆半径为m. 由于 C= ， 据此计算即可.
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.7 正多边形同步练习
一、单选题
1．（2021九上·龙岩期末）在正六边形ABCDEF的中，若BE=10，则这个正六边形外接圆半径是（ ）
A． B．5 C． D．5
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF的中，直径BE=10，
∴外接圆的半径为5，
故答案为B.
【分析】根据正多边形和它的外接圆可知，外接圆的半径就是正多变形的半径，由直径即可得到半径.
2．（2021·二道模拟）⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n多边形的边长相等，则n的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，由题意得：
是等边三角形，
正多边形的边数：
故答案为：D.
【分析】先求出△OAB是等边三角形，可得这个正多边形的中心角∠AOB=60°，据此即得结论.
3．（2021·兰州模拟）已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示
圆内接正六边形ABCDEF，连结OA，OB，过O作OH⊥AB于H，
∵圆内接正六边形的半径为2，
∴OA=OB=2，
∵∠AOB= =60°，
∴△AOB为等边三角形，
∵OH⊥AB，
∴OH平分∠AOB，
∴∠AOH=∠HOB= ∠AOB= ，
所以该圆的内接正六边形的边心距OH==2×cos30°＝2× ＝ ，
故答案为：C.
【分析】连结OA，OB，过O作OH⊥AB于H，根据正六边形可得圆心角，解直角三角形即可.
4．（2021·温州模拟）如图，五边形 是 的内接正五边形， 是 的直径，则 的度数是（ ）
A．18° B．36° C． D．72°
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解： 五边形 是 的内接正五边形，
， ， ，
又 是 的直径，
，
∴
，
，
故答案为：C.
【分析】根据正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论.
5．（2021九下·施秉开学考）如图，正六边形ABCDEF内接于于⊙O,连接BD，则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF ，
∴∠BCD=180°-（360°÷6）=120°，
∵CB=CD，
∴∠CBD==30°；
故答案为：A.
【分析】先根据正多边形的外角和求出这个正六边形的一个内角的度数，再结合等腰三角形的性质，利用三角形的内角和定理即可求出∠CBD的度数.
6．（2021九上·福州期末）已知正六边形 内接于 ，若 的直径为 ，则该正六边形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，连接OA、OB，
∵ 的直径为 ，
∴OA=1，
∵正六边形 内接于 ，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=1，
∴该正六边形的周长是1×6=6，
故答案为：C.
【分析】如图，连接OA、OB，由正六边形 内接于 可得∠AOB=60°，即可证明△AOB是等边三角形，根据 直径可得OA的长，进而可得正六边形的周长.
7．（2020九上·云梦月考）半径为 的圆的内接正六边形的边心距是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接OA、OB，过点O作OH垂直AB于点H，OH即为正六边形边心距.
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴ ，OA=OB=AB=a，AH=BH= ，
∴
即半径为 的圆的内接正六边形的边心距是.
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB，过点O作OH垂直AB于点H，OH即为正六边形边心距，根据正六边形的性质用勾股定理可求解.
8．（2020九上·霍林郭勒月考）半径为 的圆内接正三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图所示，过O作OD⊥BC于D；
∵此三角形是正三角形，
∴∠BOC= =120°．
∵OB=OC，
∴∠BOD= ×120°=60°，
∴∠OBD=30°；
∵OB=R，
∴OD= ，BD=OB cos30°= ，
∴BC=2BD=2× = ，
∴S△BOC= ×BC×OD= × = ，
∴S△ABC=3× ．
故答案为：D．
【分析】本题的关键是用R表示出正三角形的边长，再利用正三角形的面积计算公式（a为边长）求解即可。
9．（2020九上·永城期中）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H.若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（ ）
A． cm B．5 cm C．3 cm D．10 cm
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB角AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝ OA＝ （cm），
∴AC＝2AN＝15 （cm），
∴GH＝ AC＝5 （cm），
故答案为：B.
【分析】根据正六边形的性质和等腰三角形的性质以及解直角三角形即可得到结论.
10．（2020·新华模拟）连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法错误的是（ ）
A．四边形 与四边形 的面积相等
B．连接 ，则 分别平分 和
C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形
D． 是等边三角形
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】∵根据正八边形的性质，
四边形AFGH与四边形CFED能完全重合，
∴四边形AFGH与四边形CFED的面积相等，
∴选项A不符合题意；
连接BF，
∵正八边形是轴对称图形，直线BF是对称轴，
∴则BF分别平分∠AFC和∠ABC，
∴选项B不符合题意；
∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴AB=CB=AH=GH=GF=EF=DE=CD，AF=CF，
设正八边形的中心为O，连接OA，
∠AOB=360° =45°，
∠AFC=2∠AFB=2 ∠AOB =45°，
∠ACF=∠FAC= (180 -45 )=67.5 ，
∴△ACF不是等边三角形，选项D符合题意；
∴整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，
∴选项C不符合题意；
故答案为：D．
【分析】由正八边形的性质得出D不正确，其余都是正确的，即可得出结论。
二、填空题
11．（2021·南通模拟）如图，A、B、C、D为一个正多边形的相邻四个顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=12°，则这个正多边形的边数为
【答案】15
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，连接AO，BO，
∴∠AOB=2∠ADB=24°
∴这个正多边形的边数为 =15
故答案为：15.
【分析】连接AO，BO，根据圆周角定理得到∠AOB=24°，根据中心角的定义即可求解.
12．（2021·长安模拟）如图，正方形 和正六边形 均内接于 ，连接 ；若线段 恰好是 的一个内接正 边形的一条边，则 ．
【答案】12
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OD、OH，
∵正方形 和正六边形 均内接于 ，
∴∠AOD= ，
∠AOH= ，
∴∠DOH=∠AOD-∠AOH=90 -60 =30 ，
∴n= ，
故答案为：12．
【分析】先求出∠AOD= ，∠AOH= ，再求出∠DOH=30°，最后计算求解即可。
13．（2021·岳池模拟）正六边形的边心距为 ，则该正六边形的边长是 .
【答案】2
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
∵正六边形的边心距为 ，在Rt△AOB中，
∴OB= ，∠OAB=60°，
∴AB=
∴AC=2AB=2.
故答案为：2.
【分析】利用解直角三角形求出AB的长，根据AC=2AB，可求出AB的长.
14．（2021·泸县模拟）⊙O的半径为 ，则⊙O的内接正方形的面积是 .
【答案】8
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形 是 的内接正方形，
∴ ， ，
∴ 、 是直径，
∵ 的半径为 ，
∴ ，
∴正方形 的面积 ，
故答案为：8.
【分析】利用圆的内接正方形的半径为2，可求出正方形的对角线长，即可求出正方形的面积.
15．（2021·南明模拟）如图，四边形 为 的内接正四边形， 为 的内接正三角形，若 恰好是同圆的一个内接正 边形的一边，则 的值为 ．
【答案】12
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA、OD、OF，如图，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD= =90°，∠AOF= =120°，
∴∠DOF=∠AOF-∠AOD=30°，
∴n= =12，
即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故答案为：12.
【分析】连接OA、OD、OF，根据正多边形与圆，分别求出⊙O的内接正四边形与内接正三角形的中心角∠AOD= 90°，∠AOF=120°，从而求出∠DOF=30°，然后计算，即得n值.
16．（2021九上·天门期末）如图，正 内接于半径为1cm的圆，则阴影部分的面积为 。
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：分别过A、C作BC、AB边的垂线相交于点O，
由等边三角形的性质可知，点O即为△ABC的外心，连接OB则∠OBD＝30°，
设正△ABC的边长为a，
设正 的边长为a，则 ，
，
故AD=AB×sin60°=
于是阴影部分的面积为 .
故答案为：
【分析】根据题意作出辅助线，由等边三角形的性质作出△ABC的外心，再设出等边三角形的边长，由垂径定理得出BD＝，再根据特殊角的三角函数即可求出BC及AD的长，根据S阴影＝S圆 S△ABC进行计算即可．
三、解答题
17．（2018九上·丰城期中）如图，已知正三角形ABC内接于 ，AD是 的内接正十二边形的一条边长，连接CD，若 ，求 的半径．
【答案】解：如图所示，连接OA、O
D、OC，
等边 内接于 ，AD为内接正十二边形的一边，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
即 的半径为6cm．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】 如图所示，连接OA，OD，OC，根据圆内接正多边形的性质求出∠AOC、∠AOD的度数，从而求出∠COD的度数，继而求出△OCD为等腰直角三角形，由OC=OD=CD，即可求出半径.
18．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
【答案】解：∵正方形的面积等于4，
∴正方形的边长AB=2，
则半径是2× = ，
∴⊙O的面积=π（ ）2=2π．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】由已知正方形的面积可求得正方形的边长，再正多边形和圆的性质可得弦心距为正方形边长的一半，根据解直角三角形可以求得OA的长，即圆的半径为，代入圆的面积公式即可求得。
19．如图五边形ABCDE内接于⊙O，∠A =∠B=∠C=∠D=∠E．
求证：五边形ABCDE是正五边形
【答案】证明：证明：∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，∠A对着弧BDE，∠B对着弧CDA
∴弧BDE=弧CDA，
∴弧BDE 弧CDE=弧CDA 弧CDE，即弧BC=AE，
∴BC=AE.
同理可证AB=CD=DE=AE
∴AB=CD=DE=AE=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
∴五边形ABCDE是正五边形
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】根据圆周角定理去证明AB=CD=DE=AE=BC，由∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，可证得结论。
20．如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S．
【答案】解：∵正n边形边长为a，OM⊥AB，OA=OB，
∴AM= AB= a，
∵边心距为r，
∴正n边形的半径R= = = ；
∴周长P=na；
∴面积S=nS△OAB=n× a×r= nar
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】由正n边形边长为a，边心距为r，利用勾股定理即可求得正n边形的半径R，继而求得周长P，然后由面积S=nS△OAB求得答案．
21．（2017九上·上杭期末）如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB= cm，求⊙O的半径．
【答案】解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，∴∠OBD=30°，BD=CD= BC= AB= ，∴cos30°= = = ，解得：BO=2，即⊙O的半径为2cm．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．
22．如图，圆O的半径为r．
（1）在图①中，画出圆O的内接正△ABC，简要写出画法；求出这个正三角形的周长．
（2）在图②中，画出圆O的内接矩形ABCD，简要写出画法；若设AB=x，求出矩形的周长.
（3）如图③，六边形ABCDEF内接于半径为r（常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA．设AB=x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式，并探究L是否有最大值，若有，请指出x为何值时，L取得最大值；若没有，请说明理由．
【答案】解：（1）首先把圆六等份，然后连接三个不相邻的顶点即可作出．
△ABC就是所求的三角形；
（2）在直角△ABD中，AD=，
则BC=AD=，CD=AB=x．
则矩形的周长是：2x+2，
（3）连接AC，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
又∵CG⊥AD于点G．
∴CD2=DG AD，
∴DG==，
∴BC=EF=AD﹣2DG=2r﹣．
则L=4x+4r﹣．
当x=﹣=r时，L取得最大值．最大值是：6r．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）首先把圆六等份，然后连接三个不相邻的顶点即可作出；
（2）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，顺次连接矩形的四个顶点即可作出；
（3）连接AC，利用相似三角形的性质求得DG的长，则BC和EF即可利用x和r表示出来，从而得到L关于x的函数关系式，利用二次函数的性质求解．
23．如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．
（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
【答案】解：（1）连接BF，则有BF∥AG．
理由如下：
∵ABCDEFGH是正八边形，
∴它的内角都为135°．
又∵HA=HG，
∴∠1=22.5°，
从而∠2=135°﹣∠1=112.5°．
由于正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，
∴
即∠2+∠3=180°，故BF∥AG．
（2）根据题设可知∠PHA=∠PAH=45°，
∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，
∴四边形PQMN是矩形．
又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，
∴△PAH≌△QCB≌△MDE，
∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，
故四边形PQMN是正方形．
在Rt△PAB中，∵∠PAH=45°，AB=2，
∴PA=AB，
∴PQ=PA+AB+BQ=．
故S四边形PQMN=．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】（1）利用已知得出正八边形，它的内角都为135°，再利用正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，得出∠2+∠3=180°，进而得出答案；
（2）根据题意得出△PAH≌△QCB≌△MDE，则PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形，进而求出PQ的长即可得出答案．
四、综合题
24．（2021九上·秦淮期末）圆周率 的故事
我国古代数学家刘徽通过“割圆术”来估计圆周率 的值——“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”，可以理解为当正多边形的边数越来越多时，该正多边形与它的外接圆越来越“接近”，这样就可以用正多边形的周长替代它的外接圆的周长，从而估算出圆周率 的值.
（1）对于边长为a的正方形，其外接圆半径为 ，根据故事中的方法，用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长，利用公式 ，可以估算 .
（2）类比（1），当正多边形为正六边形时，估计 的值.
【答案】（1）；
（2）
设正六边形的边长AB=m，
则该正六边形的周长为6m，其外接圆半径为m.
∵C= ，
∴ ，
所以估算 值为3.
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：（1）正方形的边长AB=a，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
，
∴AC= ，
∴正方形的对角线长为 ，
，
，
∵用该正方形的周长4a替代它的外接圆周长，
C= ，
∴ ，
故答案为： ， ；
【分析】（1）利用勾股定理求出AC的长即为外接圆的直径，从而求出半径；由圆的周长公式得出 ，从而得出，代入相应数据即可求出π值；
（2） 设正六边形的边长AB=m， 可得该正六边形的周长为6m，其外接圆半径为m. 由于 C= ， 据此计算即可.
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