初中数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理同步练习

初中数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理同步练习
一、单选题
1．（2021九上·龙岩期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于E，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．∠COE＝∠DOE B．CE＝DE
C．OE＝BE D．弧BC=弧BD
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】∵⊙O的直径AB⊥弦CD，∴CE＝DE，B正确；∠COE＝∠DOE，A正确；因为A正确，所以 ，D正确；故答案为：C.
【分析】由垂径定理可以判断BD均成立，由圆心角和弧的关系可以判断A成立，而OE和BE不一定成立.
2．（2020九上·民勤月考）如图，⊙O的直径长10，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（　　）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解： 的直径为10，半径为5，当 时， 最小，根据勾股定理可得 ， 与 重合时， 最大，此时 ，所以线段的 的长的取值范围为 ，
故答案为：A.
【分析】根据点到直线的所有连线中，垂线段最短可得当 时， 最小，根据勾股定理和垂径定理可得OM的最小值，再根据直径为10可得OM的最大值为半径，即可得结果.
3．（2021九上·恩施期末）如图，在 中， 是直径， 是弦， 于点M，若 ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接AO，
∵ 是直径， 是弦， 于点M，
∴ ，
在 中， ， ， ，
根据勾股定理可得 ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】连接OA，由垂径定理可得AM=BM=AB，在直角三角形AOM中，用勾股定理可求得OM的值，由线段的构成ND=OD-OM可求解.
4．（2021九上·河池期末）如图， 的半径为 ， ，则经过点 的弦长可能是（　　）
A．3 B．5 C．9 D．12
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：当经过点O、P的弦是直径时，弦最长为10；
当弦与OP垂直时，根据垂径定理，得
半弦长= =4，
所以最短弦为8；
所以符合题意的弦长为8到10，
故答案为：C.
【分析】当经过P的弦长为直径是最长为10，当弦与OP垂直时最短，由垂径定理得到弦为8，故弦长为8到10，从而即可一一判断得出答案.
5．（2020九上·丰台期末）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（　　）
A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米
【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】 的直径为 分米，
（分米），
， （分米），
（分米），
（分米），
积分的最大深度 （分米）．
故答案为： ．
【分析】连接OB，利用垂径定理求出BC的长，再利用勾股定理求出OC的长，最后利用OD-OC即可。
6．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（　　）
A．80° B．50° C．40° D．20°
【答案】D
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】
【分析】欲求∠DCF，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【解答】∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，
∴（垂径定理)，
∴∠DCF=
∠EOD（等弧所对的圆周角是圆心角的一半)，
∴∠DCF=20°．
故选D
【点评】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力
7．（2021九上·诸暨期末）往直径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水的最大深度为 ，则水面 的宽度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】如图，连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交圆O于点C，则AB=2BD，
∵圆的直径为26cm，
∴圆的半径r=OB=13cm，
由题意可知，CD=8cm，
∴OD=13-8=5（cm），
∴ ，
∴AB=24cm，
故答案为：D.
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交圆O于点C，由题意可知CD为8，然后根据勾股定理求出BD的长，进而可得出AB的长.
8．（2020九上·海珠期中）在半径为4的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：
根据题意，画出图形，如左图
由题意知，OA=4，OD=CD=2，OC⊥AB，
∴AD=BD，
在Rt△AOD中，AD= = =2 ，
∴AB=2×2 =4 .
故答案为：D.
【分析】因为弦垂直平分半径，由垂径定理和勾股定理，易求出弦长．
9．（2020九上·湖州期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．OC∥BD B．AD⊥OC
C．△CEF≌△BED D．AF＝FD
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD，
∴ ，
∵OC是半径，
∴OC⊥AD，AF=DF，
∵OA=OB，
∴OC∥BD，
故A、B、D正确，C错误；
故答案为：C.
【分析】由题意易得 ，则根据垂径定理及推论可进行排除选项.
10．（2020九上·大庆月考）如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是 、 的中点，则∠MON的度数是（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】∵M、N分别是 、 的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，
∴∠AEO=∠AFO=90 ，
∵∠EAF=50 ，
∴∠MON=360 -∠AEO-∠AFO-∠EAF=360 -90 -90 -50 =130 ，
故答案为：D．
【分析】由M、N分别是 、 的中点，利用垂径定理的推论得到OM⊥AB，ON⊥AC，利用四边形内角和求解即可。
二、填空题
11．（2020九上·民勤月考）如下图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C和D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC长为　 　cm.
【答案】2
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：过O作OE⊥AB，垂足为E，
根据垂径定理，AE＝ AB＝ ×10＝5cm，
CE＝ CD＝ ×6＝3cm，
∴AC＝AE﹣CE＝5﹣3＝2cm，
故答案为：2.
【分析】过O作OE⊥AB，垂足为E，根据垂径定理可得点E为CD、AB的中点，即可得AC的长度.
12．（2016九上·嵊州期中）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度　 　．
【答案】3cm
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：过点O作OF⊥DE，垂足为F，
∵OF过圆心，
∵DE=8cm，
∴EF= DE=4cm，
∵OC=5cm，
∴OB=5cm，
∴OF= = = =3．
故答案为：3cm．
【分析】过点O作OF⊥DE，垂足为F，由垂径定理可得出EF的长，再由勾股定理即可得出OF的长．
13．（2020九上·海淀期末）如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于　 　．
【答案】2
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，
∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，
∴OC＝ ．
故答案为2
【分析】根据圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，得到∠A＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求解即可。
14．（2021九上·玉溪期末）赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝　 　米.
【答案】25
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，AB=40m，
∴AD= AB=20；
设圆的半径是R，则OD=OC-CD=R-10
在Rt△AOD中
AO2=AD2+OD2即R2=202+（R﹣10）2，
解之：R=25.
故答案为：25.
【分析】利用垂径定理求出AD的长，设圆的半径是R，用含R的代数式表示出OD，在Rt△AOD中，利用勾股定理建立关于R的方程，解方程求出R的值.
15．（2018九上·金华期中）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD
∴AM=AB=×8=4
∵直径CD=10
∴OA=5
如图1，连接OA
在Rt△OAM中，
OM=
∴CM=OM+OC=3+5=8
在Rt△AMC中，
AC=；
如图2，在Rt△OAM中，
OM=
在Rt△AMC中，
AC=
故答案为：或
【分析】利用垂径定理求出AM，再分情况讨论（如图1、2），连接OA利用勾股定理求出OM、CM的长，再在Rt△AMC中，利用勾股定理求出AC的长。
16．（2020九上·北京期中）如图， 的直径 垂直于弦 ，垂足为 ．若 ，则 的长为　 　．
【答案】6
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】 的直径 垂直于弦 ，
由垂经定理DE=CE=
∠ACB=90
∠A=90 -∠B=30
在RtΔACE中，AC=2CE=6
故答案为：6．
【分析】利用垂径定理求出DE，再利用30度角的直角三角形的性质求解即可。
三、解答题
17．（2019九上·海淀期中）如图， 一条公路的转弯处是一段圆弧（ ），点 是这段弧所在圆的圆心. ， C是 上一点， ，垂足为 ， ，求这段弯路的半径．
【答案】解：设这段弯路的半径为r m，
因为OC⊥AB于D， AB=100 （m），
所以BD=DA= AB=50（m）.
因为CD=10（m），
得 （m）.
因为Rt△BOD中，根据勾股定理有
.
即 .
解得r=130（m）.
因此这段弯路的半径为130 m.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】设这段弯路的半径为r m，
由垂径定理可得BD=DA= AB=50m.
因为CD=10m，得 m.
在Rt△BOD中，根据勾股定理可列出方程解出半径长.
18．（2020九上·邯郸月考）如图，AB是⊙O的弦，C、D是直线AB上的两点，并且AC＝BD，求证：OC＝OD．
【答案】证明：过O作OE⊥AB于E，则AE=BE．
∵AC=BD，∴CE=DE．
∴OE是CD的中垂线，∴OC=OD．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】过O作OE⊥AB于E，则AE=BE，再结合题意证出OE是CD的中垂线，利用中垂线的性质求解即可。
19．（2020九上·宜春月考）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图，一石拱桥的桥顶到水面的距离 为 ，水面宽 为 ，求桥拱的半径．
【答案】解：由题意得：CD⊥AB，CD=8m，AB=8m，
∴AD=DB=4m，
连接OA，如图所示：
设OA=r，则OD=8-r，
∴在Rt△ODA中， ，
即 ，解得：r=5，
∴桥拱的半径为5m．
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】连接OA，设OA=r，则OD=8-r，在Rt△ODA中，利用勾股定理求解即可。
20．（2020九上·奉化期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN=4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施。
【答案】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连结OA，OA'，如图所示
设半径为x(m)则OA=OA’=OP=x(m)
由垂径定理可知AM=BM A’N=B’N
∵AB=60m，∴AM=30m，且OM=OP-PM=(x-18)m
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2=OM2+AM2
即x2=(x-18)2+302，解得x=34
∴ON=OP-PN=34-4=30（m)
在△A'ON中，由勾股定理可得
A'N= = =16(m)
A'B'=32m>30m
∴不需要采取紧急措施。
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】 设圆弧所在圆的圆心为O，半径为x， 连结OA，OA'，利用垂径定理求出AM的长，结合已知量把QM用含x的代数式表示，在Rt△AMQ中，利用勾股定理列式求出x， 于是在Rt△A'ON中，由勾股定理列式可求A'N的长，则A'B'长可求，最后和30m作比较，可得判断.
21．（2020九上·北京月考）
《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB=（　　）寸，CD=（　　）寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．
【答案】解：连接 ，
∵ ，∴ ，
设 ，则 ，
在Rt 中， ，
∴ ．∴ ．
解得 ，∴⊙ 的直径为26寸．
【知识点】垂径定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】连接CO，由垂径定理可得CA=5，在Rt△CAO中，利用勾股定理求出OC的长即可得.
22．（2019九上·西城期中）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm．求这个孔道的直径AB．
【答案】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD= =4mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm．
答：这个孔道的直径为8mm．
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．
23．（2019九上·川汇期中）如图，是一张盾构隧道断面结构图.隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆.隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层.点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m.请求出路面CD的宽度.（精确到0.1m）
【答案】解：如图，连接OC，AB交CD于E，
由题意知：AB＝1.6+6.4+4＝12，
所以OC＝OB＝6，
OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，
由题意可知：AB⊥CD，
∵AB过O，
∴CD＝2CE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝ ，
∴CD＝2CE＝8 ≈11.3m，
所以路面CD的宽度为11.3m.
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】连接OC，求出OC和OE，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理求出CD即可.
24．（2019九上·如东月考）如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上.已知AB=8cm，CD=2cm
（1）求⊙O的面积；
（2）连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长.
【答案】（1）解：连接OA，如图1所示
∵C为AB的中点，AB=8cm，
∴AC=4cm
又∵CD=2cm
设⊙O的半径为r，则（r-2）2+42=r2
解得：r=5
∴S=πr2=π×25=25π
（2）解：OC=OD-CD=5-2=3
EC=EO+OC=5+3=8
∴EA= = =4
∴EF= = =2
∴OF= = =
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1） 连接OA，如图1所示 ，根据垂径定理得出 AC=4cm ，在Rt△AOC中，根据勾股定理建立方程，求解得出该圆的半径，进而即可算出圆的面积；
（2）在Rt△ADE中，根据勾股定理算出AE的长，根据垂径定理得出EF的长，进而在Rt△OEF中，根据勾股定理即可算出OF的长.
1 / 1初中数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理同步练习
一、单选题
1．（2021九上·龙岩期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于E，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．∠COE＝∠DOE B．CE＝DE
C．OE＝BE D．弧BC=弧BD
2．（2020九上·民勤月考）如图，⊙O的直径长10，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（　　）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5
3．（2021九上·恩施期末）如图，在 中， 是直径， 是弦， 于点M，若 ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2021九上·河池期末）如图， 的半径为 ， ，则经过点 的弦长可能是（　　）
A．3 B．5 C．9 D．12
5．（2020九上·丰台期末）直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB为8分米，则积水的最大深度CD为（　　）
A．2分米 B．3分米 C．4分米 D．5分米
6．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（　　）
A．80° B．50° C．40° D．20°
7．（2021九上·诸暨期末）往直径为 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水的最大深度为 ，则水面 的宽度为（　　）
A． B． C． D．
8．（2020九上·海珠期中）在半径为4的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2020九上·湖州期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（　　）
A．OC∥BD B．AD⊥OC
C．△CEF≌△BED D．AF＝FD
10．（2020九上·大庆月考）如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是 、 的中点，则∠MON的度数是（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
二、填空题
11．（2020九上·民勤月考）如下图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C和D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC长为　 　cm.
12．（2016九上·嵊州期中）如图，将一把两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D、E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，则直尺的宽度　 　．
13．（2020九上·海淀期末）如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于　 　．
14．（2021九上·玉溪期末）赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的半径R＝　 　米.
15．（2018九上·金华期中）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为　 　．
16．（2020九上·北京期中）如图， 的直径 垂直于弦 ，垂足为 ．若 ，则 的长为　 　．
三、解答题
17．（2019九上·海淀期中）如图， 一条公路的转弯处是一段圆弧（ ），点 是这段弧所在圆的圆心. ， C是 上一点， ，垂足为 ， ，求这段弯路的半径．
18．（2020九上·邯郸月考）如图，AB是⊙O的弦，C、D是直线AB上的两点，并且AC＝BD，求证：OC＝OD．
19．（2020九上·宜春月考）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图，一石拱桥的桥顶到水面的距离 为 ，水面宽 为 ，求桥拱的半径．
20．（2020九上·奉化期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN=4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施。
21．（2020九上·北京月考）
《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）
阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊥CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．
再次阅读后，发现AB=（　　）寸，CD=（　　）寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助小智求出⊙O的直径．
22．（2019九上·西城期中）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm．求这个孔道的直径AB．
23．（2019九上·川汇期中）如图，是一张盾构隧道断面结构图.隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆.隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层.点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m.请求出路面CD的宽度.（精确到0.1m）
24．（2019九上·如东月考）如图，在⊙O中，DE是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB的中点C在直径DE上.已知AB=8cm，CD=2cm
（1）求⊙O的面积；
（2）连接AE，过圆心O向AE作垂线，垂足为F，求OF的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】∵⊙O的直径AB⊥弦CD，∴CE＝DE，B正确；∠COE＝∠DOE，A正确；因为A正确，所以 ，D正确；故答案为：C.
【分析】由垂径定理可以判断BD均成立，由圆心角和弧的关系可以判断A成立，而OE和BE不一定成立.
2．【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解： 的直径为10，半径为5，当 时， 最小，根据勾股定理可得 ， 与 重合时， 最大，此时 ，所以线段的 的长的取值范围为 ，
故答案为：A.
【分析】根据点到直线的所有连线中，垂线段最短可得当 时， 最小，根据勾股定理和垂径定理可得OM的最小值，再根据直径为10可得OM的最大值为半径，即可得结果.
3．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接AO，
∵ 是直径， 是弦， 于点M，
∴ ，
在 中， ， ， ，
根据勾股定理可得 ，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】连接OA，由垂径定理可得AM=BM=AB，在直角三角形AOM中，用勾股定理可求得OM的值，由线段的构成ND=OD-OM可求解.
4．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：当经过点O、P的弦是直径时，弦最长为10；
当弦与OP垂直时，根据垂径定理，得
半弦长= =4，
所以最短弦为8；
所以符合题意的弦长为8到10，
故答案为：C.
【分析】当经过P的弦长为直径是最长为10，当弦与OP垂直时最短，由垂径定理得到弦为8，故弦长为8到10，从而即可一一判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】 的直径为 分米，
（分米），
， （分米），
（分米），
（分米），
积分的最大深度 （分米）．
故答案为： ．
【分析】连接OB，利用垂径定理求出BC的长，再利用勾股定理求出OC的长，最后利用OD-OC即可。
6．【答案】D
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】
【分析】欲求∠DCF，又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
【解答】∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，
∴（垂径定理)，
∴∠DCF=
∠EOD（等弧所对的圆周角是圆心角的一半)，
∴∠DCF=20°．
故选D
【点评】本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力
7．【答案】D
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】如图，连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交圆O于点C，则AB=2BD，
∵圆的直径为26cm，
∴圆的半径r=OB=13cm，
由题意可知，CD=8cm，
∴OD=13-8=5（cm），
∴ ，
∴AB=24cm，
故答案为：D.
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交圆O于点C，由题意可知CD为8，然后根据勾股定理求出BD的长，进而可得出AB的长.
8．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：
根据题意，画出图形，如左图
由题意知，OA=4，OD=CD=2，OC⊥AB，
∴AD=BD，
在Rt△AOD中，AD= = =2 ，
∴AB=2×2 =4 .
故答案为：D.
【分析】因为弦垂直平分半径，由垂径定理和勾股定理，易求出弦长．
9．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD，
∴ ，
∵OC是半径，
∴OC⊥AD，AF=DF，
∵OA=OB，
∴OC∥BD，
故A、B、D正确，C错误；
故答案为：C.
【分析】由题意易得 ，则根据垂径定理及推论可进行排除选项.
10．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】∵M、N分别是 、 的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，
∴∠AEO=∠AFO=90 ，
∵∠EAF=50 ，
∴∠MON=360 -∠AEO-∠AFO-∠EAF=360 -90 -90 -50 =130 ，
故答案为：D．
【分析】由M、N分别是 、 的中点，利用垂径定理的推论得到OM⊥AB，ON⊥AC，利用四边形内角和求解即可。
11．【答案】2
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：过O作OE⊥AB，垂足为E，
根据垂径定理，AE＝ AB＝ ×10＝5cm，
CE＝ CD＝ ×6＝3cm，
∴AC＝AE﹣CE＝5﹣3＝2cm，
故答案为：2.
【分析】过O作OE⊥AB，垂足为E，根据垂径定理可得点E为CD、AB的中点，即可得AC的长度.
12．【答案】3cm
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：过点O作OF⊥DE，垂足为F，
∵OF过圆心，
∵DE=8cm，
∴EF= DE=4cm，
∵OC=5cm，
∴OB=5cm，
∴OF= = = =3．
故答案为：3cm．
【分析】过点O作OF⊥DE，垂足为F，由垂径定理可得出EF的长，再由勾股定理即可得出OF的长．
13．【答案】2
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，
∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵OC⊥AB，
∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，
∴OC＝ ．
故答案为2
【分析】根据圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，得到∠A＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质求解即可。
14．【答案】25
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：∵OC⊥AB，AB=40m，
∴AD= AB=20；
设圆的半径是R，则OD=OC-CD=R-10
在Rt△AOD中
AO2=AD2+OD2即R2=202+（R﹣10）2，
解之：R=25.
故答案为：25.
【分析】利用垂径定理求出AD的长，设圆的半径是R，用含R的代数式表示出OD，在Rt△AOD中，利用勾股定理建立关于R的方程，解方程求出R的值.
15．【答案】
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵AB⊥CD
∴AM=AB=×8=4
∵直径CD=10
∴OA=5
如图1，连接OA
在Rt△OAM中，
OM=
∴CM=OM+OC=3+5=8
在Rt△AMC中，
AC=；
如图2，在Rt△OAM中，
OM=
在Rt△AMC中，
AC=
故答案为：或
【分析】利用垂径定理求出AM，再分情况讨论（如图1、2），连接OA利用勾股定理求出OM、CM的长，再在Rt△AMC中，利用勾股定理求出AC的长。
16．【答案】6
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】 的直径 垂直于弦 ，
由垂经定理DE=CE=
∠ACB=90
∠A=90 -∠B=30
在RtΔACE中，AC=2CE=6
故答案为：6．
【分析】利用垂径定理求出DE，再利用30度角的直角三角形的性质求解即可。
17．【答案】解：设这段弯路的半径为r m，
因为OC⊥AB于D， AB=100 （m），
所以BD=DA= AB=50（m）.
因为CD=10（m），
得 （m）.
因为Rt△BOD中，根据勾股定理有
.
即 .
解得r=130（m）.
因此这段弯路的半径为130 m.
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】设这段弯路的半径为r m，
由垂径定理可得BD=DA= AB=50m.
因为CD=10m，得 m.
在Rt△BOD中，根据勾股定理可列出方程解出半径长.
18．【答案】证明：过O作OE⊥AB于E，则AE=BE．
∵AC=BD，∴CE=DE．
∴OE是CD的中垂线，∴OC=OD．
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】过O作OE⊥AB于E，则AE=BE，再结合题意证出OE是CD的中垂线，利用中垂线的性质求解即可。
19．【答案】解：由题意得：CD⊥AB，CD=8m，AB=8m，
∴AD=DB=4m，
连接OA，如图所示：
设OA=r，则OD=8-r，
∴在Rt△ODA中， ，
即 ，解得：r=5，
∴桥拱的半径为5m．
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】连接OA，设OA=r，则OD=8-r，在Rt△ODA中，利用勾股定理求解即可。
20．【答案】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连结OA，OA'，如图所示
设半径为x(m)则OA=OA’=OP=x(m)
由垂径定理可知AM=BM A’N=B’N
∵AB=60m，∴AM=30m，且OM=OP-PM=(x-18)m
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2=OM2+AM2
即x2=(x-18)2+302，解得x=34
∴ON=OP-PN=34-4=30（m)
在△A'ON中，由勾股定理可得
A'N= = =16(m)
A'B'=32m>30m
∴不需要采取紧急措施。
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】 设圆弧所在圆的圆心为O，半径为x， 连结OA，OA'，利用垂径定理求出AM的长，结合已知量把QM用含x的代数式表示，在Rt△AMQ中，利用勾股定理列式求出x， 于是在Rt△A'ON中，由勾股定理列式可求A'N的长，则A'B'长可求，最后和30m作比较，可得判断.
21．【答案】解：连接 ，
∵ ，∴ ，
设 ，则 ，
在Rt 中， ，
∴ ．∴ ．
解得 ，∴⊙ 的直径为26寸．
【知识点】垂径定理；垂径定理的实际应用
【解析】【分析】连接CO，由垂径定理可得CA=5，在Rt△CAO中，利用勾股定理求出OC的长即可得.
22．【答案】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD= =4mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm．
答：这个孔道的直径为8mm．
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．
23．【答案】解：如图，连接OC，AB交CD于E，
由题意知：AB＝1.6+6.4+4＝12，
所以OC＝OB＝6，
OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，
由题意可知：AB⊥CD，
∵AB过O，
∴CD＝2CE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE＝ ，
∴CD＝2CE＝8 ≈11.3m，
所以路面CD的宽度为11.3m.
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【分析】连接OC，求出OC和OE，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理求出CD即可.
24．【答案】（1）解：连接OA，如图1所示
∵C为AB的中点，AB=8cm，
∴AC=4cm
又∵CD=2cm
设⊙O的半径为r，则（r-2）2+42=r2
解得：r=5
∴S=πr2=π×25=25π
（2）解：OC=OD-CD=5-2=3
EC=EO+OC=5+3=8
∴EA= = =4
∴EF= = =2
∴OF= = =
【知识点】垂径定理
【解析】【分析】（1） 连接OA，如图1所示 ，根据垂径定理得出 AC=4cm ，在Rt△AOC中，根据勾股定理建立方程，求解得出该圆的半径，进而即可算出圆的面积；
（2）在Rt△ADE中，根据勾股定理算出AE的长，根据垂径定理得出EF的长，进而在Rt△OEF中，根据勾股定理即可算出OF的长.
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