初中数学浙教版九年级上册4.3 相似三角形同步练习
一、单选题
1．（2021·集美模拟）如图，已知 ∽ ，则下列哪条线段与 的比等于相似比（ ）.
A． B． C． D．
2．（2021·船营模拟）如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是（ ）
A．∠A＝∠C B．∠A>∠C C．∠A<∠C D．无法比较
3．（2021九上·扶风期末）若两个相似三角形的面积之比为1∶9，则它们对应角平分线之比为（ ）
A． B．3 C． D．
4．（2021九上·宜宾期末）已知 ，点C对应点F，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2021·惠州模拟）已知 ，相似比为 ，则 与 的面积比为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·重庆模拟）如图，已知， 和 是位似图形，点 是位似中心， 若 的面积为2，则 的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．18
7．（2021九下·鄞州月考）如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC=4，CD=2，则BC=（ ）
A．2 B． C． D．4
8．（2021九下·杭州开学考）如图，在 中，已知 ，E,F分别在边AC,AB上，DE//BC，DF//AC，则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021九下·东坡开学考）如图，已知△ACD∽△ADB，AC＝4，AD＝2，则AB的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2021九上·越城期末）一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ）
A．30厘米、45厘米 B．40厘米、80厘米
C．80厘米、120厘米 D．90厘米、120厘米
二、填空题
11．（2021·海南模拟）已知 ，它们的周长分别为 和 ，则 与 面积之比为 .
12．（2021九上·越城期末）
如果两个相似三角形的面积比为4：9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为 .
13．（2021·南通模拟）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4.那么这两个三角形的周长之比为 .
14．（2021·任城模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点N，M，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交边BC于点D，若△DAC∽△ABC，则∠B＝ 度．
15．（2021九上·武功期末）如图， 平分 且 ，则当 时， .
16．（2020九上·阳江期末）如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与△ABC相似，那么AE= 。
三、解答题
17．（2020九下·镇江月考）如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上，若△ADE∽△CMN，求CM的长．
18．（2020九上·合浦期中）如图，已知在△ABC中，AB= ，AC=2 ，BC=3，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长.
19．（2019·梁平模拟）如图，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
20．（2019·秦安模拟）如图，已知矩形ABCD的边长 ， 。某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。
21．（2019九上·兰州期末）已知 和 中，有 ,且 和 的周长之差为15厘米，求 和 的周长.
22．（2019九上·房山期中）已知：CD为一幢3米高的温室，其南面窗户的底框G距地面1米，CD在地面上留下的最大影长CF为2米，现欲在距C点7米的正南方A点处建一幢12米高的楼房AB（设A，C，F在同一水平线上）．
（1）按比例较精确地作出高楼AB及它的最大影长AE；
（2）问若大楼AB建成后是否影响温室CD的采光，试说明理由．
23．如图，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12．求AB，OC的长．
四、综合题
24．（2019九上·利辛月考）【操作、填空】如图， ABCD中，对角线AC=a，点E是边AB上一动点，连接DE交AC于点M。
（1）若AE=BE，则AM的长为 ；（用含a的式子表示，下同）
（2）若AE=2BE，则AM的长为 ；
（3）若AE=3BE，则AM的长为 ；
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∽ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质，找出对应边，即可.
2．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由于图形放大或缩小后，形状没有发生变化，结合相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，可判定∠A＝∠C.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的性质进行作答求解即可。
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：9，
∴两个相似三角形的相似比为1：3，
∴它们对应角的平分线之比为1：3，
故答案为：A.
【分析】相似三角形面积比等于相似比的平方，相似三角形对应角的平分线之比等于相似比，据此解答即可.
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：在 中， ，
∵ ，
∴ =75°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和算出∠C的度数，进而根据相似三角形对应角相等得出∠F的度数.
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵ ，相似比为
∴ 与 的面积比为 ，
故答案为：A．
【分析】根据 ，相似比为 ，求面积比即可。
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是位似图形，AA′=2OA，
∴OA′=3OA，
∴.
∵S△ABC=2，
∴=18.
故答案为：D.
【分析】首先由已知条件可得OA′=3OA，然后由位似图形的性质可得，据此求解即可.
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC∽△BDC，
∴
∴
解之：BC=.
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的对应边成比例，可得BC2=CD·AC，代入计算求出BC的长.
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：A、∵DE∥BC，∴, 不符合题意；
B、∵ ，∴∵DF∥AC，，不符合题意；
C、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴, ∵DF∥AC，∴△BDF∽△ABC，∴, ∴ ，不符合题意；
D、设S△ADE=1，则S△BDF=4，S四边形EDFC=9-1-4=4，∴ ；
故答案为：D.
【分析】根据两条直线平行可得三角形相似，利用相似三角形的性质分别判断A、B，然后根据相似三角形的面积比等于相似比可以判断C，再设S△ADE=1，根据面积的关系可以判断D.
9．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵△ACD∽△ADB，
∴即
解之：AB=1.
故答案为：A.
【分析】利用相似三角形的对应边成比例，可得比列式，然后代入求出AB的值.
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： ① 设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、x厘米、y厘米，
根据题意得： ，
解得 ， ；
②设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、60厘米、y厘米，
根据题意得： ，
解得 ， ；
③设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、y厘米、60厘米，
根据题意得： ，
解得 ， .
故答案为：C.
【分析】根据相似的性质分别列出比例式，然后利用比例的性质分别计算出各组对应值即可
11．【答案】9：1
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 且它们的周长分别为 和 ，
∴ 与 的相似比为3：1
∴ 与 的面积比为9：1
故答案为：9：1.
【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似之比，面积之比等于形似比的平方即可得出结果.
12．【答案】10
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设较大三角形的周长为x，
两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9，
两个相似三角形的周长比为2：3，
，
解得， ，
这两个三角形的周长和为 ，
故答案为：10.
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可.
13．【答案】5：4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为5：4，
∴其相似比为5：4，
∴这两个相似三角形的周长的比为5：4.
故答案为：5：4.
【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论.
14．【答案】30
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图可知，AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵△DAC∽△ABC，
∴∠CAD＝∠B，
∴∠CAB＝2∠B，
∵∠CAB+∠B＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
故答案为30．
【分析】先求出∠CAD＝∠DAB，再求出3∠B＝90°，最后计算求解即可。
15．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵△ABD∽△DBC
∴
∵AB=2，BC=3，
∴
∴
故答案为：
【分析】由相似三角形的对应边的比相等可得，把已知的线段AB、BC的值代入比例式计算即可求解.
16．【答案】 或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图1，
当△AED∽△ABC时，
∴，
∴，
∴AE=；
如图2，
当△AED∽△ACB时，
∴，
∴，
∴AE=，
∴AE=或.
故答案为：或.
【分析】分两种情况讨论：当△AED∽△ABC时，得出，当△AED∽△ACB时，得出，分别代入数值进行计算，即可求出AE的长.
17．【答案】解：∵正方形ABCD的边长为2，AE=EB，
∴AE= ×2=1，
在Rt△ADE中，DE= = = ，
∵△ADE∽△CMN，∴ = ，
即 = ，解得CM= ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】正方形ABCD中，由AE=EB求出AE的长，进而根据勾股定理求出DE的长. 再根据△ADE∽△CMN，对应边成比例列出方程，解出CM的长即可.
18．【答案】解：当△AMN∽△ABC时，
∵点M为AB的中点，AB= ，AC=2 ，BC=3，
∴ ，
∴ ，
解得：MN= ，
当△ANM∽△ABC时，
∵ ，即： ，
解得：MN= .
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】分△AMN∽△ABC与△ANM∽△ABC两种情况进行讨论，即可求解.
19．【答案】解：设经过x秒，两三角形相似，则CP=AC-AP=8-x，CQ=2x，①当CP与CA是对应边时， ，即 ，解得x=4秒；
②当CP与BC是对应边时， ，即 ，解得x= 秒；
故经过4或 秒，两个三角形相似.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】本题中，可设经过x秒△PQC和△ABC相似，先求出CP=8-x，CQ=2x，再利用相似三角形性质对应边成比例列式求解即可得到答案，因为对应边不明确，答案要分两种情况①当CP与CA是对应边时，②当CP与BC是对应边时.
20．【答案】解：由于两三角形相似时的对应点不确定，故应分△ACD∽△MNA与△ACD∽△NMA两种情况进行讨论，再根据相似三角形的对应边成比例求解.
当△ACD∽△MNA时， ，即 ，解得
当△ACD∽△NMA时， ，即 ，解得
答：存在，当 或 时，以 、 、 为顶点的三角形与 相似
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】由于∠D=∠MAN=90°，所以分二种情况讨论：①当△ACD∽△MNA时，②当△ACD∽△NMA时，利用相似三角形的性质分别求出t值即可.
21．【答案】解：设 和 的周长分别是x厘米和y厘米.
∵
①..
由题意可得： ②
由①式得 ③
将③式代入①式得：
y=45
将y=45代入②式得：x=30
∴x=30,y=45
答： 和 的周长分别是30厘米和45厘米
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】 设 和 的周长分别是x厘米和y厘米. 根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得出①, 由题意可得： ②， 解①②组成的方程组即可求出x,y的值，从而得出答案。
22．【答案】（1）解：如图，∵HE∥DF，HC∥AB，
∴△CDF∽△ABE∽△CHE，
∴AE：AB=CF：DC，
∴AE=8米，由AC=7米，可得CE=1米，
由比例可知：CH=1.5米＞1米，
故影响采光．
（2）解：因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值是相同的，利用者可以求出大楼的影子长AE，然后可以知道CE=1，再算出CE在CD上的高度CH，比较CH与CG的大小就可以判断是否影响采光．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例，可计算出AB和AE的长度。
（2）根据比例关系，计算出长度，从而判断是否影响采光。
23．【答案】解：∵OA=2，AD=9，
∴OD=9﹣2=7，
∵△AOB∽△DOC，
∴ = = ，
∵OA=2，OB=5，DC=12，
∴ = = ，解得OC= ，AB= ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的性质，对应边成比例，求得AB的值。
24．【答案】（1） a
（2） a
（3） a 【猜想、论证】若AE=nBE，请用含n，a的式子表示AM，并证明结论的正确性。 AM= a． 证明：∵AE=nBE， ∴ ，∵ ABCD， ∴AB=CD，∴∵AB∥CD，∴△AEM∽△CDM，∴ ，∴AM= a= a，故结论正确．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，可知，进而可得：结合条件，即可得到答案；
（2）根据相似三角形的性质，可知，进而可得：结合条件，即可得到答案；
（3）根据相似三角形的性质，可知，进而可得：结合条件，即可得到答案.
1 / 1初中数学浙教版九年级上册4.3 相似三角形同步练习
一、单选题
1．（2021·集美模拟）如图，已知 ∽ ，则下列哪条线段与 的比等于相似比（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∽ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质，找出对应边，即可.
2．（2021·船营模拟）如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是（ ）
A．∠A＝∠C B．∠A>∠C C．∠A<∠C D．无法比较
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由于图形放大或缩小后，形状没有发生变化，结合相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，可判定∠A＝∠C.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的性质进行作答求解即可。
3．（2021九上·扶风期末）若两个相似三角形的面积之比为1∶9，则它们对应角平分线之比为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：9，
∴两个相似三角形的相似比为1：3，
∴它们对应角的平分线之比为1：3，
故答案为：A.
【分析】相似三角形面积比等于相似比的平方，相似三角形对应角的平分线之比等于相似比，据此解答即可.
4．（2021九上·宜宾期末）已知 ，点C对应点F，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：在 中， ，
∵ ，
∴ =75°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和算出∠C的度数，进而根据相似三角形对应角相等得出∠F的度数.
5．（2021·惠州模拟）已知 ，相似比为 ，则 与 的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵ ，相似比为
∴ 与 的面积比为 ，
故答案为：A．
【分析】根据 ，相似比为 ，求面积比即可。
6．（2021·重庆模拟）如图，已知， 和 是位似图形，点 是位似中心， 若 的面积为2，则 的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．18
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是位似图形，AA′=2OA，
∴OA′=3OA，
∴.
∵S△ABC=2，
∴=18.
故答案为：D.
【分析】首先由已知条件可得OA′=3OA，然后由位似图形的性质可得，据此求解即可.
7．（2021九下·鄞州月考）如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC=4，CD=2，则BC=（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC∽△BDC，
∴
∴
解之：BC=.
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的对应边成比例，可得BC2=CD·AC，代入计算求出BC的长.
8．（2021九下·杭州开学考）如图，在 中，已知 ，E,F分别在边AC,AB上，DE//BC，DF//AC，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：A、∵DE∥BC，∴, 不符合题意；
B、∵ ，∴∵DF∥AC，，不符合题意；
C、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴, ∵DF∥AC，∴△BDF∽△ABC，∴, ∴ ，不符合题意；
D、设S△ADE=1，则S△BDF=4，S四边形EDFC=9-1-4=4，∴ ；
故答案为：D.
【分析】根据两条直线平行可得三角形相似，利用相似三角形的性质分别判断A、B，然后根据相似三角形的面积比等于相似比可以判断C，再设S△ADE=1，根据面积的关系可以判断D.
9．（2021九下·东坡开学考）如图，已知△ACD∽△ADB，AC＝4，AD＝2，则AB的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵△ACD∽△ADB，
∴即
解之：AB=1.
故答案为：A.
【分析】利用相似三角形的对应边成比例，可得比列式，然后代入求出AB的值.
10．（2021九上·越城期末）一个三角形框架模型的三边长分别为20厘米、30厘米、40厘米，木工要以一根长为60厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（ ）
A．30厘米、45厘米 B．40厘米、80厘米
C．80厘米、120厘米 D．90厘米、120厘米
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： ① 设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为60厘米、x厘米、y厘米，
根据题意得： ，
解得 ， ；
②设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、60厘米、y厘米，
根据题意得： ，
解得 ， ；
③设20厘米、30厘米、40厘米的对应边分别为x厘米、y厘米、60厘米，
根据题意得： ，
解得 ， .
故答案为：C.
【分析】根据相似的性质分别列出比例式，然后利用比例的性质分别计算出各组对应值即可
二、填空题
11．（2021·海南模拟）已知 ，它们的周长分别为 和 ，则 与 面积之比为 .
【答案】9：1
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ 且它们的周长分别为 和 ，
∴ 与 的相似比为3：1
∴ 与 的面积比为9：1
故答案为：9：1.
【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似之比，面积之比等于形似比的平方即可得出结果.
12．（2021九上·越城期末）
如果两个相似三角形的面积比为4：9，较小三角形的周长为4，那么这两个三角形的周长和为 .
【答案】10
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：设较大三角形的周长为x，
两个相似三角形相似，两个相似三角形的面积比为4：9，
两个相似三角形的周长比为2：3，
，
解得， ，
这两个三角形的周长和为 ，
故答案为：10.
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可.
13．（2021·南通模拟）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4.那么这两个三角形的周长之比为 .
【答案】5：4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为5：4，
∴其相似比为5：4，
∴这两个相似三角形的周长的比为5：4.
故答案为：5：4.
【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论.
14．（2021·任城模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点N，M，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交边BC于点D，若△DAC∽△ABC，则∠B＝ 度．
【答案】30
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图可知，AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵△DAC∽△ABC，
∴∠CAD＝∠B，
∴∠CAB＝2∠B，
∵∠CAB+∠B＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
故答案为30．
【分析】先求出∠CAD＝∠DAB，再求出3∠B＝90°，最后计算求解即可。
15．（2021九上·武功期末）如图， 平分 且 ，则当 时， .
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵△ABD∽△DBC
∴
∵AB=2，BC=3，
∴
∴
故答案为：
【分析】由相似三角形的对应边的比相等可得，把已知的线段AB、BC的值代入比例式计算即可求解.
16．（2020九上·阳江期末）如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与△ABC相似，那么AE= 。
【答案】 或
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：如图1，
当△AED∽△ABC时，
∴，
∴，
∴AE=；
如图2，
当△AED∽△ACB时，
∴，
∴，
∴AE=，
∴AE=或.
故答案为：或.
【分析】分两种情况讨论：当△AED∽△ABC时，得出，当△AED∽△ACB时，得出，分别代入数值进行计算，即可求出AE的长.
三、解答题
17．（2020九下·镇江月考）如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上，若△ADE∽△CMN，求CM的长．
【答案】解：∵正方形ABCD的边长为2，AE=EB，
∴AE= ×2=1，
在Rt△ADE中，DE= = = ，
∵△ADE∽△CMN，∴ = ，
即 = ，解得CM= ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】正方形ABCD中，由AE=EB求出AE的长，进而根据勾股定理求出DE的长. 再根据△ADE∽△CMN，对应边成比例列出方程，解出CM的长即可.
18．（2020九上·合浦期中）如图，已知在△ABC中，AB= ，AC=2 ，BC=3，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长.
【答案】解：当△AMN∽△ABC时，
∵点M为AB的中点，AB= ，AC=2 ，BC=3，
∴ ，
∴ ，
解得：MN= ，
当△ANM∽△ABC时，
∵ ，即： ，
解得：MN= .
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】分△AMN∽△ABC与△ANM∽△ABC两种情况进行讨论，即可求解.
19．（2019·梁平模拟）如图，在△ABC中，AC＝8厘米，BC＝16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
【答案】解：设经过x秒，两三角形相似，则CP=AC-AP=8-x，CQ=2x，①当CP与CA是对应边时， ，即 ，解得x=4秒；
②当CP与BC是对应边时， ，即 ，解得x= 秒；
故经过4或 秒，两个三角形相似.
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】本题中，可设经过x秒△PQC和△ABC相似，先求出CP=8-x，CQ=2x，再利用相似三角形性质对应边成比例列式求解即可得到答案，因为对应边不明确，答案要分两种情况①当CP与CA是对应边时，②当CP与BC是对应边时.
20．（2019·秦安模拟）如图，已知矩形ABCD的边长 ， 。某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以 的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由。
【答案】解：由于两三角形相似时的对应点不确定，故应分△ACD∽△MNA与△ACD∽△NMA两种情况进行讨论，再根据相似三角形的对应边成比例求解.
当△ACD∽△MNA时， ，即 ，解得
当△ACD∽△NMA时， ，即 ，解得
答：存在，当 或 时，以 、 、 为顶点的三角形与 相似
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】由于∠D=∠MAN=90°，所以分二种情况讨论：①当△ACD∽△MNA时，②当△ACD∽△NMA时，利用相似三角形的性质分别求出t值即可.
21．（2019九上·兰州期末）已知 和 中，有 ,且 和 的周长之差为15厘米，求 和 的周长.
【答案】解：设 和 的周长分别是x厘米和y厘米.
∵
①..
由题意可得： ②
由①式得 ③
将③式代入①式得：
y=45
将y=45代入②式得：x=30
∴x=30,y=45
答： 和 的周长分别是30厘米和45厘米
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】 设 和 的周长分别是x厘米和y厘米. 根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得出①, 由题意可得： ②， 解①②组成的方程组即可求出x,y的值，从而得出答案。
22．（2019九上·房山期中）已知：CD为一幢3米高的温室，其南面窗户的底框G距地面1米，CD在地面上留下的最大影长CF为2米，现欲在距C点7米的正南方A点处建一幢12米高的楼房AB（设A，C，F在同一水平线上）．
（1）按比例较精确地作出高楼AB及它的最大影长AE；
（2）问若大楼AB建成后是否影响温室CD的采光，试说明理由．
【答案】（1）解：如图，∵HE∥DF，HC∥AB，
∴△CDF∽△ABE∽△CHE，
∴AE：AB=CF：DC，
∴AE=8米，由AC=7米，可得CE=1米，
由比例可知：CH=1.5米＞1米，
故影响采光．
（2）解：因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值是相同的，利用者可以求出大楼的影子长AE，然后可以知道CE=1，再算出CE在CD上的高度CH，比较CH与CG的大小就可以判断是否影响采光．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例，可计算出AB和AE的长度。
（2）根据比例关系，计算出长度，从而判断是否影响采光。
23．如图，已知△AOB∽△DOC，OA=2，AD=9，OB=5，DC=12．求AB，OC的长．
【答案】解：∵OA=2，AD=9，
∴OD=9﹣2=7，
∵△AOB∽△DOC，
∴ = = ，
∵OA=2，OB=5，DC=12，
∴ = = ，解得OC= ，AB= ．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】根据相似三角形的性质，对应边成比例，求得AB的值。
四、综合题
24．（2019九上·利辛月考）【操作、填空】如图， ABCD中，对角线AC=a，点E是边AB上一动点，连接DE交AC于点M。
（1）若AE=BE，则AM的长为 ；（用含a的式子表示，下同）
（2）若AE=2BE，则AM的长为 ；
（3）若AE=3BE，则AM的长为 ；
【答案】（1） a
（2） a
（3） a 【猜想、论证】若AE=nBE，请用含n，a的式子表示AM，并证明结论的正确性。 AM= a． 证明：∵AE=nBE， ∴ ，∵ ABCD， ∴AB=CD，∴∵AB∥CD，∴△AEM∽△CDM，∴ ，∴AM= a= a，故结论正确．
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的性质，可知，进而可得：结合条件，即可得到答案；
（2）根据相似三角形的性质，可知，进而可得：结合条件，即可得到答案；
（3）根据相似三角形的性质，可知，进而可得：结合条件，即可得到答案.
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