初中数学浙教版九年级上册4.5 相似三角形的性质及应用同步练习
一、单选题
1．（2021·湘西）如图，在 中， ， 于点 ， ， ， ，则 的长是（ ）
A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
2．（2021·济宁）如图，已知 ．
⑴以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交 于点M，交 于点N．
⑵分别以M，N为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点P．
⑶作射线 交 于点D．
⑷分别以A，D为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
⑸作直线 ，交 ， 分别于点E，F．
依据以上作图，若 ， ， ，则 的长是（ ）
A． B．1 C． D．4
3．（2021·文山模拟）如图，在 中，若 ，则 （ ）
A．4 B．8 C．9 D．12
4．（2021·河北）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 （ ）
A． B． C． D．
5．（2021·迁西模拟）如图， ，下列说法错误的是（ ）
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．点B与点
D．点C与点E是对应位似点 D． 是相似比
6．（2021·迁西模拟）如图， 与 交于点 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
7．（2021九下·曹县期中）如图，把 沿着 的方向平移到 的位置，它们重叠部分的面积是 面积的一半，若 ，则 移动的距离是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·招远模拟）小刚身高 ，测得他站立在阳光下的影子长为 ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·南宁模拟）《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（ ）
A．150步 B．200步 C．250步 D．300步
10．（2021·婺城模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以其三边为边向外作正方形，延长EA交BG于点M，连接IM交AB于点N，若M是BG的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·徐州）如图，在 中，点 分别在边 上，且 ， 与四边形 的面积的比为 .
12．（2021·吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为 的竹竿 斜靠在石坝旁，量出竿上 长为 时，它离地面的高度 为 ，则坝高 为 ．
13．（2021八下·历下期末）已知点D与点A（0，6）、B（0，﹣4）、C（x，y）是平行四边形的四个顶点，其中x、y满3x﹣4y+12＝0，则CD的最小值为 ．
14．（2021八下·泰山期末）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置B绕点O旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为
15．（2021·东营）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将 沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若 ，则GE的长为 ．
16．（2021·包头）如图，在 中， ，过点B作 ，垂足为B，且 ，连接CD，与AB相交于点M，过点M作 ，垂足为N．若 ，则MN的长为 ．
三、解答题
17．（2021·南通）如图，利用标杆 测量楼高，点A，D，B在同一直线上， ， ，垂足分别为E，C.若测得 ， ， ，楼高 是多少？
18．（2021·陕西模拟）如图，强强同学为了测量学校一棵笔直的大树OE的高度，先在操场上点A处放一面平面镜，从点A处后退1m到点B处，恰好在平面镜中看到树的顶部E点的像；再将平面镜向后移动4m（即AC＝4m）放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点的像，测得强强的眼睛距地面的高度FB、GD为1.5m，已知点O，A，B，C，D在同一水平线上，且GD⊥OD，FB⊥OD，EO⊥OD.求大树OE的高度.（平面镜的大小忽略不计）
19．（2021·渭滨模拟）九年级活动小组计划利用所学的知识测量操场旗杆高度.测量方案如下：如图，小卓在小越和旗杆之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小卓看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时看到旗杆顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记点C重合，这时测得小卓眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝1米，然后在阳光下，小越从D点沿DM方向走了15.8米到达F处此时旗杆的影子顶端与小越的影子顶端恰好重合，测得FG＝1.6米，FH＝3.2米，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM若测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息求出旗杆的高AB.
20．（2021·禹州模拟）某校数学实践社团开展了一次“利用数学知识测量学校操场上旗杆高度”的实践活动，该校九年级学生积极参与.小红和小华决定利用下午课间的时间，用测量影长的方式求出旗杆高度.同一时刻测量站在旗杆旁边的小红（CD）和旗杆AB的影长时，发现旗杆的影子一部分落在地面上（BF），另一部分落在了距离旗杆24m的教学楼上（EF）.经测量，小红落在地面上的影长DG为2.4m，教学楼上的影长EF为2m.已知小红的身高是1.6m，请根据小红和小华的测量结果，求出旗杆AB的高度.
21．（2021九上·越城期末）已知：在 中，点D、E分别在AC、AB上，且满足 ，求证： .
22．（2021九上·莲湖期末）如图所示是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，AB⊥BC于点B，CE⊥BC于点C，测得BD＝150m，DC＝75m，EC＝60m，求河宽AB.
23．（2021九上·武功期末）王老师要装修自己带阁楼的新居（下图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯 时，为避免上楼时墙角 碰头，设计墙角 到楼梯的竖直距离 为 ，他量得客厅高 ，楼梯洞口宽 ，阁楼阳台宽 .请你帮助王老师解决问题：要使墙角 到楼梯的竖直距离 为 ，楼梯底端 到墙角 的距离 是多少米？
四、综合题
24．（2021·江岸模拟）问题背景：
（1）如图1，在 中， ， 于D，求证： ；
（2）如图2，在 中， ，点E为 中点， 于D， 交 于F，若 ，求 的值；
（3）如图3，在 中， ，点E为 中点， 于D， 交 于F，若 ，直接写出 的值 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：C.
【分析】证明 ，可得，据此即可求出CD的长.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接
垂直平分
，
平分
同理可知
四边形 是平行四边形
又
平行四边形 是菱形
又
，
解得：
故答案为：C
【分析】利用作法得AD平分，EF垂直平分AD，所以，EA=ED，FA=FD，再证明四边形AEDF为菱形得到AE=AF=2，然后利用平行线分线段成比例计算CD即可。
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：AB=1：2，
∴ ，
∵△ADE的面积为3，
∴S△ABC=3×4=12．
故答案为：D．
【分析】由DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边对应成比例可求出解。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴ ，
∴ （cm），
故答案为：C．
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质可得结果。相似三角形对应边、对应高、对应线、对应角平分线的比、周长之比都是等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵BC∥ED，
∴△ADE∽△ABC，
∵△ADE与△ABC对应点的连线相交于一点，对应边平行或在同一条直线上，
∴△ADE与△ABC是位似图形，不符合题意；
B、点A是两个三角形的位似中心，不符合题意；
C、B与D、C与E是对应位似点，不符合题意；
D、AC：AB不是相似比，AE：AC是相似比，符合题意；
故答案为：D．
【分析】先求出△ADE∽△ABC，再对每个选项一一判断求解即可。
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ACB和△AED中， （已知），∠CAB=∠EAD
∴△ACB∽△AED
∴ 即 ，解得ED=3．
故答案为：B．
【分析】先求出△ACB∽△AED，再求出，最后计算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽△HEC，
∴ ，
∴EC：BC=1： ，
∵BC=2 ，
∴EC= ，
∴BE=BC-EC=2 - ．
故答案为：C．
【分析】先求出△ABC∽△HEC，再求出EC= ，最后计算求解即可。
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设手臂竖直举起时总高度 ，列方程得：
，
解得 ，
，
所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为 ．
故答案为：B．
【分析】同一时刻，物体的实际高度与影长成比例，根据等量关系列方程。
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点E，G分别为CD，AD的中点，
∴ ， ，
∴ ，
又题意可得 ， ，
∴ ，
∴ ，
而EF＝30步，GH＝750步，
即 ，
∴ ，
解得： ，
∴ 步；
【分析】根据题意可知，从而可以得出对应边的比相等，即可求解。
10．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形AEDC是正方形，
∴∠EAC=∠DCA=90°，EA∥DC，
∴∠MAB=∠CBA，
又∵四边形AFGB是正方形，
∴AB=BG，∠ABG=90°，
∴∠ACB=∠ABM=90°，
∴△ACB∽△MBA，
∴，
又∵M是BG中点，设BM=a，
∴AB=BG=2a，AM=，
∴
AE∥DC，IM与BC相交于O，
∴
∴.
故答案为：A
【分析】利用正方形的性质及平行线的性质可证得∠MAB=∠CBA，AB=BG，∠ACB=∠ABM=90°，由此可推出△ACB∽△MBA，利用相似三角形的性质可得对应边成比例；利用线段中点的定义表示出AB，AM的长，利用比列式可表示出AC，BC，IA的长；利用平行线分线等成比列定理可表示出CO的长；根据BO=BC-OC，可表示出BO的长，然后求出BN与AN的比值.
11．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
∵∠B=∠B，
∴ ，
∴
∴ 与四边形 的面积的比= .
故答案是： .
【分析】证明 ，可得，据此即可求出结论.
12．【答案】2.7
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过 作 于 ，则 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为：2.7
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
13．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，
∴CD过线段AB的中点M，即CM=DM，
∵A（0，6），B（0，-4），
∴M（0，1），
∵点到直线的距离垂线段最短，
∴过M作直线CF的垂线交直线CF于点C，此时CM最小，
直线3x-4y+12=0，令x=0得到y=3；令y=0得到x=-4，即F（-4，0），E（0，3），
∴OE=3，OF=4，EM=2，EF= =5，
∵△EOF∽△ECM，
∴ ，即 ，
解得：CM= ，
则CD的最小值为 ．
故答案为 ．
【分析】根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，可得CD过线段AB的中点M，即CM=DM，根据A与B坐标求出M的坐标，要求CD的最小值只需要求出CM的最小值即可。
14．【答案】0.4m
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
又∵∠AOB=∠COD，
∴，
即，
∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，
∴，
解得：CD=0.4，
∴栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m.
【分析】先求出∠ABO=∠CDO=90°，再求出，最后计算求解即可。
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
四边形ABCD是正方形
因为折叠， ，设垂足为H
，
故答案为 ．
【分析】由"ASA"可证出，可得，由锐角三角函数可求DO的长，即可求解。
16．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵MN⊥BC，DB⊥BC，
∴AC∥MN∥DB，
∴ ，
∴
即 ，
又∵ ，
∴ ，
解得 ，
故填： ．
【分析】先证明 ，再求出 ，最后计算求解即可。
17．【答案】解：∵ ， ，
∴ m，
∵ ， ，
∴ ∥ ，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∴楼高 是9米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由 ， ，可得 ∥ ，可证△ADE∽△ABC，可得，代入相应数据，即可求出BC.
18．【答案】解：由已知得，AB＝1m，CD＝1.5m，AC＝4m，FB＝GD＝1.5m，∠AOE＝∠ABF＝∠CDG＝90°，∠BAF＝∠OAE，∠DCG＝∠OCE.
∵∠BAF＝∠OAE，∠ABF＝∠AOE，
∴△BAF∽△OAE，
∴FB：AB=OE：OA，即1.5：1＝OE：OA，
∴OE＝1.5OA，
∵∠DCG＝∠OCE，∠CDG＝∠COE，
∴△GDC∽△EOC，
∴GD：CD=OE：OC，即1.5：1.5=OE：(OA+4)，
∴OE＝OA+4，
∵OE＝1.5OA，
∴1.5OA＝OA+4，
∴OA＝8m，OE＝12m.
答：大树的高度OE为12m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用有两组对应角相等的两三角形相似可证得△BAF∽△OAE，利用相似三角形的性质可求出OE=1.5OA；再证明△GDC∽△EOC，利用相似三角形的性质可求出OE=OA+4，由此建立关于OA的方程，解方程求出OA的长；同时可求出OE的长.
19．【答案】解：由题意可得：∠BCA＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC，
故△ABC∽△EDC，
则 ，
即 ＝1.5，
∴AB＝1.5BC，
∵GF∥AB，
∴△GFH∽△ABH，
∴ ，
∴ ，
解得：BC＝10，
经检验，BC＝10是上述分式方程的解且符合实际意义，
故AB＝1.5BC＝15米.
答：旗杆的高AB为15米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】首先判断出 △ABC∽△EDC， 根据相似三角形对应边成比例得出 ，从而得出AB＝1.5BC，再判断出 △GFH∽△ABH， 根据相似三角形对应边成比例得出 ， 进而得出BC的长，即可得出答案.
20．【答案】解：延长AE交BF的延长线于点M，如图所示：
由AB∥EF，易得△DCG∽△FEM，
∴ ，
∵DG=2.4，CD=1.6，EF=2，
，
解得FM =3，
∴ BM = BF+ FM=27，
由题意，根据AB∥EF，易得△DCG∽△BAM，
∴ ，
∴ ，
∴AB=18m，
答：旗杆AB的高度为18m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】本题考查相似三角形的应用，先做辅助线把实际问题转化为数学问题，进而得到 △DCG∽△FEM ，列出比例式，计算即可.
21．【答案】证明： ， ，
∽ ，
即 .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据有两组角对应相等的三角形相似证明 ∽ ，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求证答案.
22．【答案】解：∵AB⊥BC，CE⊥BC
∴∠ABD=∠ECD=90°
∵∠ADB=∠CDE
∴△ABD∽△ECD
∴即.
解之：AB=120.
答：河宽为120m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用垂直的定义可证得∠ABD=∠ECD，图形中隐含对顶角相等，由此可推出△ABD∽△ECD；然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求出AB的长.
23．【答案】解：根据题意，有 ，
∴ .
又 ，
∴ ∽ .
∴ .
∴ .
解得 .
∴ .
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用已知条件可知AF∥BC，利用平行线的性质可推出∠ACB=∠GAF；再利用有两组对应角相等的两三角形相似可得到△ABC∽△GFA，利用相似三角形的对应边成比例，可得到建立BC的方程，解方程求出BC的值，然后求出CD的长.
24．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ ，
∴AC2＝AD AB，
同理：BC2＝BD AB，
∴ ＝ ＝ ，
即 ＝ ；
尝试应用：
（2）解：设AC＝2m，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴BC＝2 m，
∵点E为BC中点，
∴CE＝ BC＝ m，
∴ ＝ ，
∵CD⊥AE，
同（1）的方法得， ＝ ，
过点E作EM∥AC交BF于M，
∴△DEM∽△DAF，
∴ ＝ ，
设EM＝3x，则AF＝4x，
∵EM∥AC，
∴△BEM∽△BCF，
∴ ＝ ，
∴CF＝2EM＝6x，
∴ ；
拓展创新：
（3）
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）同（1）的方法得，CE2＝ED EA，
∵点E为BC中点，
∴CE＝BE，
∴BE2＝ED EA，
∴ ，
∵∠BED＝∠AEB，
∴△BED∽△AEB，
∴∠BDE＝∠ABE，
∴tan∠BDE＝tan∠ABC＝ ＝ ，
故答案为： .
【分析】（1）先判断出△ACD∽△ABC，得出AC2＝AD AB，同理：BC2＝BD AB，即可得出结论；（2设AC＝2m，表示出BC＝2 m，CE＝ m， ＝ ，同（1）的方法得 ＝ ，再判断出△DEM∽△DAF，得出 ＝ ，设EM＝3x，则AF＝4x，表示出CF＝6x，即可得出结论；（3）同（1）的方法得，CE2＝ED EA，进而判断出 ，判断出△BED∽△AEB，得出∠BDE＝∠ABE，即可得出结论.
1 / 1初中数学浙教版九年级上册4.5 相似三角形的性质及应用同步练习
一、单选题
1．（2021·湘西）如图，在 中， ， 于点 ， ， ， ，则 的长是（ ）
A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：C.
【分析】证明 ，可得，据此即可求出CD的长.
2．（2021·济宁）如图，已知 ．
⑴以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交 于点M，交 于点N．
⑵分别以M，N为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点P．
⑶作射线 交 于点D．
⑷分别以A，D为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
⑸作直线 ，交 ， 分别于点E，F．
依据以上作图，若 ， ， ，则 的长是（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接
垂直平分
，
平分
同理可知
四边形 是平行四边形
又
平行四边形 是菱形
又
，
解得：
故答案为：C
【分析】利用作法得AD平分，EF垂直平分AD，所以，EA=ED，FA=FD，再证明四边形AEDF为菱形得到AE=AF=2，然后利用平行线分线段成比例计算CD即可。
3．（2021·文山模拟）如图，在 中，若 ，则 （ ）
A．4 B．8 C．9 D．12
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：AB=1：2，
∴ ，
∵△ADE的面积为3，
∴S△ABC=3×4=12．
故答案为：D．
【分析】由DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边对应成比例可求出解。
4．（2021·河北）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴ ，
∴ （cm），
故答案为：C．
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质可得结果。相似三角形对应边、对应高、对应线、对应角平分线的比、周长之比都是等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
5．（2021·迁西模拟）如图， ，下列说法错误的是（ ）
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．点B与点
D．点C与点E是对应位似点 D． 是相似比
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、∵BC∥ED，
∴△ADE∽△ABC，
∵△ADE与△ABC对应点的连线相交于一点，对应边平行或在同一条直线上，
∴△ADE与△ABC是位似图形，不符合题意；
B、点A是两个三角形的位似中心，不符合题意；
C、B与D、C与E是对应位似点，不符合题意；
D、AC：AB不是相似比，AE：AC是相似比，符合题意；
故答案为：D．
【分析】先求出△ADE∽△ABC，再对每个选项一一判断求解即可。
6．（2021·迁西模拟）如图， 与 交于点 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ACB和△AED中， （已知），∠CAB=∠EAD
∴△ACB∽△AED
∴ 即 ，解得ED=3．
故答案为：B．
【分析】先求出△ACB∽△AED，再求出，最后计算求解即可。
7．（2021九下·曹县期中）如图，把 沿着 的方向平移到 的位置，它们重叠部分的面积是 面积的一半，若 ，则 移动的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽△HEC，
∴ ，
∴EC：BC=1： ，
∵BC=2 ，
∴EC= ，
∴BE=BC-EC=2 - ．
故答案为：C．
【分析】先求出△ABC∽△HEC，再求出EC= ，最后计算求解即可。
8．（2021·招远模拟）小刚身高 ，测得他站立在阳光下的影子长为 ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设手臂竖直举起时总高度 ，列方程得：
，
解得 ，
，
所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为 ．
故答案为：B．
【分析】同一时刻，物体的实际高度与影长成比例，根据等量关系列方程。
9．（2021·南宁模拟）《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF＝30步，GH＝750步．正方形小城ABCD的边长是（ ）
A．150步 B．200步 C．250步 D．300步
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点E，G分别为CD，AD的中点，
∴ ， ，
∴ ，
又题意可得 ， ，
∴ ，
∴ ，
而EF＝30步，GH＝750步，
即 ，
∴ ，
解得： ，
∴ 步；
【分析】根据题意可知，从而可以得出对应边的比相等，即可求解。
10．（2021·婺城模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以其三边为边向外作正方形，延长EA交BG于点M，连接IM交AB于点N，若M是BG的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形AEDC是正方形，
∴∠EAC=∠DCA=90°，EA∥DC，
∴∠MAB=∠CBA，
又∵四边形AFGB是正方形，
∴AB=BG，∠ABG=90°，
∴∠ACB=∠ABM=90°，
∴△ACB∽△MBA，
∴，
又∵M是BG中点，设BM=a，
∴AB=BG=2a，AM=，
∴
AE∥DC，IM与BC相交于O，
∴
∴.
故答案为：A
【分析】利用正方形的性质及平行线的性质可证得∠MAB=∠CBA，AB=BG，∠ACB=∠ABM=90°，由此可推出△ACB∽△MBA，利用相似三角形的性质可得对应边成比例；利用线段中点的定义表示出AB，AM的长，利用比列式可表示出AC，BC，IA的长；利用平行线分线等成比列定理可表示出CO的长；根据BO=BC-OC，可表示出BO的长，然后求出BN与AN的比值.
二、填空题
11．（2021·徐州）如图，在 中，点 分别在边 上，且 ， 与四边形 的面积的比为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
∵∠B=∠B，
∴ ，
∴
∴ 与四边形 的面积的比= .
故答案是： .
【分析】证明 ，可得，据此即可求出结论.
12．（2021·吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为 的竹竿 斜靠在石坝旁，量出竿上 长为 时，它离地面的高度 为 ，则坝高 为 ．
【答案】2.7
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过 作 于 ，则 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为：2.7
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
13．（2021八下·历下期末）已知点D与点A（0，6）、B（0，﹣4）、C（x，y）是平行四边形的四个顶点，其中x、y满3x﹣4y+12＝0，则CD的最小值为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，
∴CD过线段AB的中点M，即CM=DM，
∵A（0，6），B（0，-4），
∴M（0，1），
∵点到直线的距离垂线段最短，
∴过M作直线CF的垂线交直线CF于点C，此时CM最小，
直线3x-4y+12=0，令x=0得到y=3；令y=0得到x=-4，即F（-4，0），E（0，3），
∴OE=3，OF=4，EM=2，EF= =5，
∵△EOF∽△ECM，
∴ ，即 ，
解得：CM= ，
则CD的最小值为 ．
故答案为 ．
【分析】根据平行四边形的性质可知：对角线AB、CD互相平分，可得CD过线段AB的中点M，即CM=DM，根据A与B坐标求出M的坐标，要求CD的最小值只需要求出CM的最小值即可。
14．（2021八下·泰山期末）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置B绕点O旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为
【答案】0.4m
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
又∵∠AOB=∠COD，
∴，
即，
∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，
∴，
解得：CD=0.4，
∴栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.4m.
【分析】先求出∠ABO=∠CDO=90°，再求出，最后计算求解即可。
15．（2021·东营）如图，正方形纸片ABCD的边长为12，点F是AD上一点，将 沿CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E．若 ，则GE的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
四边形ABCD是正方形
因为折叠， ，设垂足为H
，
故答案为 ．
【分析】由"ASA"可证出，可得，由锐角三角函数可求DO的长，即可求解。
16．（2021·包头）如图，在 中， ，过点B作 ，垂足为B，且 ，连接CD，与AB相交于点M，过点M作 ，垂足为N．若 ，则MN的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵MN⊥BC，DB⊥BC，
∴AC∥MN∥DB，
∴ ，
∴
即 ，
又∵ ，
∴ ，
解得 ，
故填： ．
【分析】先证明 ，再求出 ，最后计算求解即可。
三、解答题
17．（2021·南通）如图，利用标杆 测量楼高，点A，D，B在同一直线上， ， ，垂足分别为E，C.若测得 ， ， ，楼高 是多少？
【答案】解：∵ ， ，
∴ m，
∵ ， ，
∴ ∥ ，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∴楼高 是9米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由 ， ，可得 ∥ ，可证△ADE∽△ABC，可得，代入相应数据，即可求出BC.
18．（2021·陕西模拟）如图，强强同学为了测量学校一棵笔直的大树OE的高度，先在操场上点A处放一面平面镜，从点A处后退1m到点B处，恰好在平面镜中看到树的顶部E点的像；再将平面镜向后移动4m（即AC＝4m）放在C处，从点C处向后退1.5m到点D处，恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点的像，测得强强的眼睛距地面的高度FB、GD为1.5m，已知点O，A，B，C，D在同一水平线上，且GD⊥OD，FB⊥OD，EO⊥OD.求大树OE的高度.（平面镜的大小忽略不计）
【答案】解：由已知得，AB＝1m，CD＝1.5m，AC＝4m，FB＝GD＝1.5m，∠AOE＝∠ABF＝∠CDG＝90°，∠BAF＝∠OAE，∠DCG＝∠OCE.
∵∠BAF＝∠OAE，∠ABF＝∠AOE，
∴△BAF∽△OAE，
∴FB：AB=OE：OA，即1.5：1＝OE：OA，
∴OE＝1.5OA，
∵∠DCG＝∠OCE，∠CDG＝∠COE，
∴△GDC∽△EOC，
∴GD：CD=OE：OC，即1.5：1.5=OE：(OA+4)，
∴OE＝OA+4，
∵OE＝1.5OA，
∴1.5OA＝OA+4，
∴OA＝8m，OE＝12m.
答：大树的高度OE为12m
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用有两组对应角相等的两三角形相似可证得△BAF∽△OAE，利用相似三角形的性质可求出OE=1.5OA；再证明△GDC∽△EOC，利用相似三角形的性质可求出OE=OA+4，由此建立关于OA的方程，解方程求出OA的长；同时可求出OE的长.
19．（2021·渭滨模拟）九年级活动小组计划利用所学的知识测量操场旗杆高度.测量方案如下：如图，小卓在小越和旗杆之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小卓看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时看到旗杆顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记点C重合，这时测得小卓眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝1米，然后在阳光下，小越从D点沿DM方向走了15.8米到达F处此时旗杆的影子顶端与小越的影子顶端恰好重合，测得FG＝1.6米，FH＝3.2米，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM若测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据图中提供的相关信息求出旗杆的高AB.
【答案】解：由题意可得：∠BCA＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC，
故△ABC∽△EDC，
则 ，
即 ＝1.5，
∴AB＝1.5BC，
∵GF∥AB，
∴△GFH∽△ABH，
∴ ，
∴ ，
解得：BC＝10，
经检验，BC＝10是上述分式方程的解且符合实际意义，
故AB＝1.5BC＝15米.
答：旗杆的高AB为15米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】首先判断出 △ABC∽△EDC， 根据相似三角形对应边成比例得出 ，从而得出AB＝1.5BC，再判断出 △GFH∽△ABH， 根据相似三角形对应边成比例得出 ， 进而得出BC的长，即可得出答案.
20．（2021·禹州模拟）某校数学实践社团开展了一次“利用数学知识测量学校操场上旗杆高度”的实践活动，该校九年级学生积极参与.小红和小华决定利用下午课间的时间，用测量影长的方式求出旗杆高度.同一时刻测量站在旗杆旁边的小红（CD）和旗杆AB的影长时，发现旗杆的影子一部分落在地面上（BF），另一部分落在了距离旗杆24m的教学楼上（EF）.经测量，小红落在地面上的影长DG为2.4m，教学楼上的影长EF为2m.已知小红的身高是1.6m，请根据小红和小华的测量结果，求出旗杆AB的高度.
【答案】解：延长AE交BF的延长线于点M，如图所示：
由AB∥EF，易得△DCG∽△FEM，
∴ ，
∵DG=2.4，CD=1.6，EF=2，
，
解得FM =3，
∴ BM = BF+ FM=27，
由题意，根据AB∥EF，易得△DCG∽△BAM，
∴ ，
∴ ，
∴AB=18m，
答：旗杆AB的高度为18m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】本题考查相似三角形的应用，先做辅助线把实际问题转化为数学问题，进而得到 △DCG∽△FEM ，列出比例式，计算即可.
21．（2021九上·越城期末）已知：在 中，点D、E分别在AC、AB上，且满足 ，求证： .
【答案】证明： ， ，
∽ ，
即 .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据有两组角对应相等的三角形相似证明 ∽ ，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求证答案.
22．（2021九上·莲湖期末）如图所示是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，AB⊥BC于点B，CE⊥BC于点C，测得BD＝150m，DC＝75m，EC＝60m，求河宽AB.
【答案】解：∵AB⊥BC，CE⊥BC
∴∠ABD=∠ECD=90°
∵∠ADB=∠CDE
∴△ABD∽△ECD
∴即.
解之：AB=120.
答：河宽为120m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用垂直的定义可证得∠ABD=∠ECD，图形中隐含对顶角相等，由此可推出△ABD∽△ECD；然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求出AB的长.
23．（2021九上·武功期末）王老师要装修自己带阁楼的新居（下图为新居剖面图），在建造客厅到阁楼的楼梯 时，为避免上楼时墙角 碰头，设计墙角 到楼梯的竖直距离 为 ，他量得客厅高 ，楼梯洞口宽 ，阁楼阳台宽 .请你帮助王老师解决问题：要使墙角 到楼梯的竖直距离 为 ，楼梯底端 到墙角 的距离 是多少米？
【答案】解：根据题意，有 ，
∴ .
又 ，
∴ ∽ .
∴ .
∴ .
解得 .
∴ .
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用已知条件可知AF∥BC，利用平行线的性质可推出∠ACB=∠GAF；再利用有两组对应角相等的两三角形相似可得到△ABC∽△GFA，利用相似三角形的对应边成比例，可得到建立BC的方程，解方程求出BC的值，然后求出CD的长.
四、综合题
24．（2021·江岸模拟）问题背景：
（1）如图1，在 中， ， 于D，求证： ；
（2）如图2，在 中， ，点E为 中点， 于D， 交 于F，若 ，求 的值；
（3）如图3，在 中， ，点E为 中点， 于D， 交 于F，若 ，直接写出 的值 .
【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ ，
∴AC2＝AD AB，
同理：BC2＝BD AB，
∴ ＝ ＝ ，
即 ＝ ；
尝试应用：
（2）解：设AC＝2m，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴BC＝2 m，
∵点E为BC中点，
∴CE＝ BC＝ m，
∴ ＝ ，
∵CD⊥AE，
同（1）的方法得， ＝ ，
过点E作EM∥AC交BF于M，
∴△DEM∽△DAF，
∴ ＝ ，
设EM＝3x，则AF＝4x，
∵EM∥AC，
∴△BEM∽△BCF，
∴ ＝ ，
∴CF＝2EM＝6x，
∴ ；
拓展创新：
（3）
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（3）同（1）的方法得，CE2＝ED EA，
∵点E为BC中点，
∴CE＝BE，
∴BE2＝ED EA，
∴ ，
∵∠BED＝∠AEB，
∴△BED∽△AEB，
∴∠BDE＝∠ABE，
∴tan∠BDE＝tan∠ABC＝ ＝ ，
故答案为： .
【分析】（1）先判断出△ACD∽△ABC，得出AC2＝AD AB，同理：BC2＝BD AB，即可得出结论；（2设AC＝2m，表示出BC＝2 m，CE＝ m， ＝ ，同（1）的方法得 ＝ ，再判断出△DEM∽△DAF，得出 ＝ ，设EM＝3x，则AF＝4x，表示出CF＝6x，即可得出结论；（3）同（1）的方法得，CE2＝ED EA，进而判断出 ，判断出△BED∽△AEB，得出∠BDE＝∠ABE，即可得出结论.
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