初中数学浙教版九年级上册4.6 相似多边形同步练习
一、单选题
1．（2021九上·铁西期末）两个相似多边形的一组对应边分别是3cm和4.5cm，如果它们的周长之和是80cm，那么较大的多边形的周长是（ ）
A．16cm B．32cm C．48cm D．52cm
2．（2021九上·甘井子期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．120°
3．（2020九上·玉屏月考）把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（ ）
A． :1 B．4:1 C．3:1 D．2:1
4．（2020·临潭模拟）如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）
A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2
5．（2021九上·慈溪期末）如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（ ）
A．x=y B．3x=2y C．x=1，y=2 D．x=3，y=2
6．（2020九上·吉安期末）两个相似多边形的周长比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（ ）．
A．16cm2 B．54cm2 C．32cm2 D．48cm2
7．（2020九上·邢台月考）一个长方形各边按 扩大后，得到的图形与原图形比较，下列说法中正确的是（ ）
A．周长扩大原来的16倍 B．周长缩小原来的
C．面积扩大原来的16倍 D．面积缩小原来的
8．（2020九上·广东月考）若两个相似多边形的面积之比为 ，则这两个多边形的周长之比为 （ ）
A． B．16：81 C．4：9 D．2：3
9．（2020九上·永年期中）将矩形按照如图所示的方式向外扩张得到新矩形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸 ，若所得新矩形与原矩形相似，则a的值的个数可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数个
10．（2020九上·莲池期中）如图，在 的小正方形网格中，勤奋学习小组的同学画出了五边形 和五边形 则下列说法中，错误的是（ ）
A．五边形 五边形
B．
C．五边形 的周长是五边形 周长的 倍．
D．
二、填空题
11．（2021八下·拱墅期中）已知矩形ABCD的周长的平方与面积的比为18，则矩形ABCD的较长的一边与较短的一边的长度的比等于 .
12．（2021九下·杭州开学考）复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如A3纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A4纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即A3纸与A4纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为 .
13．（2020九上·洪洞期中）若两个相似五边形的相似比为 3:5， 则它们的面积比为
14．（2020九上·峡江期末）如果两个相似多边形面积之比为4：9，则它们的边长之比为 ．
15．（2020九上·运城月考）如图，方桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影（正方形）示意图，已知方桌边长1.2 m，桌面离地面1.2 m，灯泡离地面3.6 m，则地面上阴影部分的面积为 ．
16．（2020九上·孝义期末）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为 ．
三、解答题
17．（2020九上·镇海期末）两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为28cm2，求较小相似多边形的周长与面积.
18．（2018九上·太原期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．
19．（2018九上·碑林月考）如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
20．若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，请问四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似吗？若相似，相似比是多少？
21．已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD各边的长．
22．如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度．
23．如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张An+1纸．
（1）求：A1纸面积是A2纸面积的多少倍，A2纸周长是A4纸周长的多少倍；
（2）根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比；
（3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示）
四、综合题
24．（2019九上·海口期末）阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形.例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形.
任务：
（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为 ；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为 ；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）.
请从下列A、B两题中任选一条作答.
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含m，n，b的式子表示）.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】由题可知，这两个相似多边形的相似比为 ，
∵相似图形的周长比等于相似比，
∴它们的周长之比为 ，
∴较大的多边形周长为 ，
故答案为：C.
【分析】根据相似图形的相似比等于周长比，从而计算即可.
2．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，
∴∠E＝∠A＝80°，
故答案为：B
【分析】根据相似多边形的对应角相等可求解.
3．【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】设原矩形的长为2a，宽为b，
则对折后的矩形的长为b，宽为a，
∵对折后所得的矩形与原矩形相似，
∴ ，
∴大矩形与小矩形的相似比是 ：1；
故答案为：A.
【分析】设原矩形的长为2a，宽为b，根据对折后所得的矩形与原矩形相似可得比例式求解.
4．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设留下矩形的宽为xcm，
∵留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
∴ ，
解得
则留下矩形的面积为 .
故答案为：C.
【分析】根据相似多边形的对应边成比例可得比例式求得留下矩形的宽度，再由矩形的面积=长×宽可判断求解.
5．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，当矩形ABCD∽矩形EFGH时，有，
∴，
∴3x=2y.
故答案为B.
【分析】画出图形，由相似图形的对应边成比例进行解答即可.
6．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的周长比是3：4
∴两个相似多边形的面积比是9：16
∵其中小多边形的面积为18cm2
∴较大多边形的面积为 cm2
故答案为：C．
【分析】先求出两个相似多边形的面积比是9：16，再计算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：一个长方形按 放大后，得到的图形与原图形相似，边长扩大到原来的4倍，
所以周长扩大到原来的4倍，面积扩大到原来的16倍，
所以A、B、D不符合题意，C符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据相似图形的性质逐项判定即可。
8．【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： 两个相似多边形的面积之比为 ，
两个相似多边形的对应边之比为 ，
两个多边形的周长之比为 ，
故答案为：D．
【分析】根据相似多边形的性质：周长比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求解即可。
9．【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：新矩形与原矩形相似，因此可得到对应边成比例，对应角相等，与a的取值无关，
故答案为：D．
【分析】根据相似多边形的对应边成比例，对应角相等进行分析判断．
10．【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：从图看出，在五边形ABCDE和五边形FGHMN中，
∠A=∠F，∠B=∠G，∠C=∠H，∠D=∠M，∠E=∠N，
∴五边形ABCDE∽五边形FGHMN
故A不符合题意；
从图形看出：HM=MN，∴
故B不符合题意；
根据相似多边形的周长比等于相似比，得
五边形 的周长是五边形 周长的 倍
故C不符合题意；
∵五边形ABCDE∽五边形FGHMN
∴FG∶AB=2∶1
∴FG=2AB
故D符合题意
故答案为：D
【分析】根据相似多边形的判定和性质来判断即可．
11．【答案】2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设矩形的长、宽分别为a、b（a≥b）.
则 ＝18，即4a2+（8﹣18）ab+4b2＝0.
两边都除以b2，
令t＝ ，则4t2+（8﹣18）t+4＝0.
解得t＝ + ＝2.
故答案为：2.
【分析】设矩形的长、宽分别为a、b（a≥b）.根据已知条件“ 矩形ABCD的周长的平方与面积的比为18 ”可求解.
12．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：这些型号的复印纸的长与宽分别为a、b ,
∵得到的矩形与原来的矩形相似，
∴,
∴a2=b2,
∴,
故答案为：.
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a , 根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式,计算即可
13．【答案】9:25
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似五边形的相似比为3:5，
∴它们的面积比为9:25．
故答案为：9:25．
【分析】根据形似多边形面积的比等于相似比的平方解答即可
14．【答案】2：3
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，面积比为4：9，
∴对应边的比为2：3，
故答案是：2：3．
【分析】根据相似三角形的性质求出对应边的比为2：3，作答即可。
15．【答案】3.24 m2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意由图可知，
，
由于面积比等于相似比的平方，故地面上阴影部分的面积为
×1.2×1.2=3.24m2．
【分析】将四棱锥中高的比转化为相似比解答即可。
16．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，
∵得到的矩形都和原来的矩形相似，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴这些型号的复印纸的长宽之比为 ，
故答案为： ．
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
17．【答案】解：设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，
根据题意得 ， ，
解得x＝24，y＝36，
所以较小相似多边形的周长为24cm，面积为36cm2.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，根据相似多边形的 周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方列出方程，求解即可.
18．【答案】解：∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，
∴ = = ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=4
∴ = = ，
∴DE=8，AE=2，
∴AD=AE+DE=2+8=10
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2可得对应边的比例，将AB=CD=4代入比例式中，可得DE与AE的长度，相加即可得到AD的长度。
19．【答案】解：当 时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
解得x=1.2
答：当x为1.2m时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据两个矩形相似可得比例式，于是可列方程求解。
20．【答案】解：相似．
理由：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似；
∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比是：
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据已知可证四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似，可得四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比k1k2的值，可得出答案。
21．【答案】解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14，
∴AB：BC：CD：DA=7：8：11：14，
∵四边形ABCD的周长为40，
∴AB=40× =7，BC=40× =8，CD=40× =11，DA=40× =14．
∴四边形ABCD各边的长分别为：AB=7，BC=8，CD=11，DA=14
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】利用四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，可得出对应边成比例，再由四边形ABCD的周长为40，利用相似多边形的周长比等于相似比，可求出四边形ABCD各边的长。
22．【答案】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，
∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°， ， ，
∴ ，
∴EH=28（cm）．
答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据已知条件：四边形ABCD和四边形EFGH相似，可得出它们的对应边成比例，对应角相等，就可求出∠α、∠β的大小及EH的长度。
23．【答案】解：（1）∵A1纸对裁后可以得到两张A2纸，
∴A1纸面积是A2纸面积2倍；
∵设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b，
∴A2纸周长是A4纸周长的2倍．
故答案为：2，2；
（2）∵设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，
∴=，即=，即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为：1；
（3）∵A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半，
∴A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量为a，
同理，A3纸的重量是a克，
∴A8纸张的重量是（）7a克．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）根据A1纸对裁后可以得到两张A2纸即可得出A1纸面积是A2纸面积2倍；设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b，由此可得出结论；
（2）设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，求出的值即可；
（3）A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半得出A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量，找出规律即可得出结论．
24．【答案】（1）
（2）
（3）；； 或 ； 或 .
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH= AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴相似比为： == ；
故答案为：
（ 2 ）解：在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC相似的相似比为： = ，
故答案为：
（ 3 ）解：A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即 a：b=b：a，
∴a= b；
故答案为：
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和 a，
则b： a=a：b，
∴a= b；
故答案为：
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a= a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ = ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： 或 ；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： b或 b.
【分析】（1）根据中点定义得出AH= AD，然后根据相似多边形的对应边之比等于相似比即可由求出答案；
（2）根据勾股定理求出AB，然后根据相似三角形对应边的比等于相似比，即可由得出结论；
（3）A、①根据矩形ABEF∽矩形FECD得出比例式即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论；
B、①分FM是矩形DFMN的长或DF是矩形DFMN的长两种情况，先根据相似矩形得出AF，AG，最后用矩形GABH∽矩形ABCD建立方程即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论.。
1 / 1初中数学浙教版九年级上册4.6 相似多边形同步练习
一、单选题
1．（2021九上·铁西期末）两个相似多边形的一组对应边分别是3cm和4.5cm，如果它们的周长之和是80cm，那么较大的多边形的周长是（ ）
A．16cm B．32cm C．48cm D．52cm
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】由题可知，这两个相似多边形的相似比为 ，
∵相似图形的周长比等于相似比，
∴它们的周长之比为 ，
∴较大的多边形周长为 ，
故答案为：C.
【分析】根据相似图形的相似比等于周长比，从而计算即可.
2．（2021九上·甘井子期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．120°
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，
∴∠E＝∠A＝80°，
故答案为：B
【分析】根据相似多边形的对应角相等可求解.
3．（2020九上·玉屏月考）把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（ ）
A． :1 B．4:1 C．3:1 D．2:1
【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】设原矩形的长为2a，宽为b，
则对折后的矩形的长为b，宽为a，
∵对折后所得的矩形与原矩形相似，
∴ ，
∴大矩形与小矩形的相似比是 ：1；
故答案为：A.
【分析】设原矩形的长为2a，宽为b，根据对折后所得的矩形与原矩形相似可得比例式求解.
4．（2020·临潭模拟）如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）
A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设留下矩形的宽为xcm，
∵留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
∴ ，
解得
则留下矩形的面积为 .
故答案为：C.
【分析】根据相似多边形的对应边成比例可得比例式求得留下矩形的宽度，再由矩形的面积=长×宽可判断求解.
5．（2021九上·慈溪期末）如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（ ）
A．x=y B．3x=2y C．x=1，y=2 D．x=3，y=2
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，当矩形ABCD∽矩形EFGH时，有，
∴，
∴3x=2y.
故答案为B.
【分析】画出图形，由相似图形的对应边成比例进行解答即可.
6．（2020九上·吉安期末）两个相似多边形的周长比是3：4，其中小多边形的面积为18cm2，则较大多边形的面积为（ ）．
A．16cm2 B．54cm2 C．32cm2 D．48cm2
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的周长比是3：4
∴两个相似多边形的面积比是9：16
∵其中小多边形的面积为18cm2
∴较大多边形的面积为 cm2
故答案为：C．
【分析】先求出两个相似多边形的面积比是9：16，再计算求解即可。
7．（2020九上·邢台月考）一个长方形各边按 扩大后，得到的图形与原图形比较，下列说法中正确的是（ ）
A．周长扩大原来的16倍 B．周长缩小原来的
C．面积扩大原来的16倍 D．面积缩小原来的
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：一个长方形按 放大后，得到的图形与原图形相似，边长扩大到原来的4倍，
所以周长扩大到原来的4倍，面积扩大到原来的16倍，
所以A、B、D不符合题意，C符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据相似图形的性质逐项判定即可。
8．（2020九上·广东月考）若两个相似多边形的面积之比为 ，则这两个多边形的周长之比为 （ ）
A． B．16：81 C．4：9 D．2：3
【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： 两个相似多边形的面积之比为 ，
两个相似多边形的对应边之比为 ，
两个多边形的周长之比为 ，
故答案为：D．
【分析】根据相似多边形的性质：周长比等于相似比，面积之比等于相似比的平方求解即可。
9．（2020九上·永年期中）将矩形按照如图所示的方式向外扩张得到新矩形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸 ，若所得新矩形与原矩形相似，则a的值的个数可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数个
【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：新矩形与原矩形相似，因此可得到对应边成比例，对应角相等，与a的取值无关，
故答案为：D．
【分析】根据相似多边形的对应边成比例，对应角相等进行分析判断．
10．（2020九上·莲池期中）如图，在 的小正方形网格中，勤奋学习小组的同学画出了五边形 和五边形 则下列说法中，错误的是（ ）
A．五边形 五边形
B．
C．五边形 的周长是五边形 周长的 倍．
D．
【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：从图看出，在五边形ABCDE和五边形FGHMN中，
∠A=∠F，∠B=∠G，∠C=∠H，∠D=∠M，∠E=∠N，
∴五边形ABCDE∽五边形FGHMN
故A不符合题意；
从图形看出：HM=MN，∴
故B不符合题意；
根据相似多边形的周长比等于相似比，得
五边形 的周长是五边形 周长的 倍
故C不符合题意；
∵五边形ABCDE∽五边形FGHMN
∴FG∶AB=2∶1
∴FG=2AB
故D符合题意
故答案为：D
【分析】根据相似多边形的判定和性质来判断即可．
二、填空题
11．（2021八下·拱墅期中）已知矩形ABCD的周长的平方与面积的比为18，则矩形ABCD的较长的一边与较短的一边的长度的比等于 .
【答案】2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设矩形的长、宽分别为a、b（a≥b）.
则 ＝18，即4a2+（8﹣18）ab+4b2＝0.
两边都除以b2，
令t＝ ，则4t2+（8﹣18）t+4＝0.
解得t＝ + ＝2.
故答案为：2.
【分析】设矩形的长、宽分别为a、b（a≥b）.根据已知条件“ 矩形ABCD的周长的平方与面积的比为18 ”可求解.
12．（2021九下·杭州开学考）复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如A3纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A4纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即A3纸与A4纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为 .
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：这些型号的复印纸的长与宽分别为a、b ,
∵得到的矩形与原来的矩形相似，
∴,
∴a2=b2,
∴,
故答案为：.
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a , 根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式,计算即可
13．（2020九上·洪洞期中）若两个相似五边形的相似比为 3:5， 则它们的面积比为
【答案】9:25
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似五边形的相似比为3:5，
∴它们的面积比为9:25．
故答案为：9:25．
【分析】根据形似多边形面积的比等于相似比的平方解答即可
14．（2020九上·峡江期末）如果两个相似多边形面积之比为4：9，则它们的边长之比为 ．
【答案】2：3
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，面积比为4：9，
∴对应边的比为2：3，
故答案是：2：3．
【分析】根据相似三角形的性质求出对应边的比为2：3，作答即可。
15．（2020九上·运城月考）如图，方桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影（正方形）示意图，已知方桌边长1.2 m，桌面离地面1.2 m，灯泡离地面3.6 m，则地面上阴影部分的面积为 ．
【答案】3.24 m2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意由图可知，
，
由于面积比等于相似比的平方，故地面上阴影部分的面积为
×1.2×1.2=3.24m2．
【分析】将四棱锥中高的比转化为相似比解答即可。
16．（2020九上·孝义期末）如图所示，复印纸的型号有A0，A1，A2，A3，A4等，它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号（如A3）的复印纸沿较长边的中点对折，就能得到两张下一型号（A4）的复印纸，且得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么这些型号的复印纸的长、宽之比为 ．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，
∵得到的矩形都和原来的矩形相似，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∴这些型号的复印纸的长宽之比为 ，
故答案为： ．
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a，根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
三、解答题
17．（2020九上·镇海期末）两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为28cm2，求较小相似多边形的周长与面积.
【答案】解：设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，
根据题意得 ， ，
解得x＝24，y＝36，
所以较小相似多边形的周长为24cm，面积为36cm2.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，根据相似多边形的 周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方列出方程，求解即可.
18．（2018九上·太原期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．
【答案】解：∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，
∴ = = ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=4
∴ = = ，
∴DE=8，AE=2，
∴AD=AE+DE=2+8=10
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2可得对应边的比例，将AB=CD=4代入比例式中，可得DE与AE的长度，相加即可得到AD的长度。
19．（2018九上·碑林月考）如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
【答案】解：当 时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
解得x=1.2
答：当x为1.2m时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据两个矩形相似可得比例式，于是可列方程求解。
20．若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，请问四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似吗？若相似，相似比是多少？
【答案】解：相似．
理由：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似；
∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比是：
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据已知可证四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似，可得四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比k1k2的值，可得出答案。
21．已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14，若四边形ABCD的周长为40，求四边形ABCD各边的长．
【答案】解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且A1B1：B1C1：C1D1：D1A1=7：8：11：14，
∴AB：BC：CD：DA=7：8：11：14，
∵四边形ABCD的周长为40，
∴AB=40× =7，BC=40× =8，CD=40× =11，DA=40× =14．
∴四边形ABCD各边的长分别为：AB=7，BC=8，CD=11，DA=14
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】利用四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，可得出对应边成比例，再由四边形ABCD的周长为40，利用相似多边形的周长比等于相似比，可求出四边形ABCD各边的长。
22．如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度．
【答案】解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，
∴∠α=∠B=83°，∠D=∠H=118°， ， ，
∴ ，
∴EH=28（cm）．
答：∠α=83°，∠β=81°，EH=28cm
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据已知条件：四边形ABCD和四边形EFGH相似，可得出它们的对应边成比例，对应角相等，就可求出∠α、∠β的大小及EH的长度。
23．如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张An+1纸．
（1）求：A1纸面积是A2纸面积的多少倍，A2纸周长是A4纸周长的多少倍；
（2）根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比；
（3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示）
【答案】解：（1）∵A1纸对裁后可以得到两张A2纸，
∴A1纸面积是A2纸面积2倍；
∵设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b，
∴A2纸周长是A4纸周长的2倍．
故答案为：2，2；
（2）∵设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，
∴=，即=，即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为：1；
（3）∵A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半，
∴A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量为a，
同理，A3纸的重量是a克，
∴A8纸张的重量是（）7a克．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）根据A1纸对裁后可以得到两张A2纸即可得出A1纸面积是A2纸面积2倍；设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b，由此可得出结论；
（2）设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，求出的值即可；
（3）A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半得出A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量，找出规律即可得出结论．
四、综合题
24．（2019九上·海口期末）阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形.例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形.
任务：
（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为 ；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为 ；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）.
请从下列A、B两题中任选一条作答.
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含m，n，b的式子表示）.
【答案】（1）
（2）
（3）；； 或 ； 或 .
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH= AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴相似比为： == ；
故答案为：
（ 2 ）解：在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC相似的相似比为： = ，
故答案为：
（ 3 ）解：A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即 a：b=b：a，
∴a= b；
故答案为：
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和 a，
则b： a=a：b，
∴a= b；
故答案为：
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a= a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ = ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： 或 ；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： b或 b.
【分析】（1）根据中点定义得出AH= AD，然后根据相似多边形的对应边之比等于相似比即可由求出答案；
（2）根据勾股定理求出AB，然后根据相似三角形对应边的比等于相似比，即可由得出结论；
（3）A、①根据矩形ABEF∽矩形FECD得出比例式即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论；
B、①分FM是矩形DFMN的长或DF是矩形DFMN的长两种情况，先根据相似矩形得出AF，AG，最后用矩形GABH∽矩形ABCD建立方程即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论.。
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