初中数学浙教版九年级上册第四章 相似三角形单元测试
一、单选题
1．（2021·上虞模拟）如图所示，在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，下面各个备选答案的量中，保持不变的量是（ ）
A．角 B．边长 C．周长 D．面积
2．（2020九上·武功月考）如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么我们把这样的纸张叫做标准纸.则标准纸的宽和长的比值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·漳浦模拟）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为 ，则小凡的身高约为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·西湖模拟）已知m，n是非零实数，设k＝ ＝ ，则（ ）
A．k2＝3﹣k B．k2＝k﹣3 C．k2＝﹣3﹣k D．k2＝k+3
5．（2021·香坊模拟）如图，在 中，点E在 边上， 、 的延长线交于点F，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·台州期末）如图：点D是△ABC边BC上一点，下列条件中，能使△ABC∽△DAC的是（ ）
A．∠1＝∠C B．∠BAC＝∠BDA；
C．AC2＝CD CB. D．AD2＝BD CD；
7．（2021八下·泰山期末）如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB边于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似。则AQ的长为（ ）
A．3 B．3或 C．3或 D．
8．（2020九上·鄞州期末）如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（ ）
A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
9．（2021·南岸模拟）如图，以点O为位似中心，将 缩小后得到 ，已知 ，则 与 的面积的比为
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9
10．（2021·九龙坡模拟）如图，线段 两个端点的坐标分别为 ， ，以原点为位似中心，将线段 放大得到线段 ，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·肇源模拟）如图，已知矩形OABC与矩形FEDO是位似图形，P是位似中心，若点A的坐标为（0，6），点E的坐标为（2，3），则点B的坐标为 ．
12．（2020·常熟模拟）以小正方形的中心为位似中心，以1：3的比例放大得到一个大正方形，从而得到了一个如图所示的飞镖游戏板.若小明同学向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则镖落在阴影部分的概率是 .
13．（2021·云南）如图，在 中，点D，E分别是 的中点， 与 相交于点F，若 ，则 的长是 ．
14．（2021九上·嘉兴期末）如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，请添加一个条件 ，使得△ADE与△ABC相似.
15．（2021·任城模拟）如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则EF的值为 ．
16．（2021·大庆）已知 ，则
三、解答题
17．（2020·淮安模拟）在一张比例尺为 的地图上，有一块多边形区域的周长是 ，面积是 ，求这个区域的实际周长和面积．
18．（2020九上·包河月考）如图，已知l1//l2//l3，AB=3、BC=5、DF=12，求DE的长。
19．已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k．
（1）如果CD和C′D′是它们的对应高，那么 等于多少？
（2）如果CD和C′D′是它们的对应角平分线，那么 等于多少？如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？
20．（2020九上·商河月考）如图，已知 ，求证：△ABD∽△ACE
21．（2021·韩城模拟）青龙寺是西安最著名的櫻花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的櫻花让这里成为了花的海洋.一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（櫻花树四周被围起来了，底部不易到达）.小明在F处竖立了一根标杆 ，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上.此时测得小刚的眼睛到地面的距离 米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离 米.已知 米， 米， 米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在 上， ， ， ， .根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树 的高度.
22．（2018九上·恩阳期中）如图，四边形 四边形 ，求边 、 的长度和角 的大小．
23．如图，分别按下列要求作出四边形ABCD以O点为位似中心的位似四边形A′B′C′D′.
（1）沿OA的方向放大为原图的2倍；
（2）沿AO的方向放大为原图的2倍．
四、综合题
24．（2021九下·千山期中）在四边形 ABCD 中，BD 平分∠ABC．
（1）如图
1，若∠BAD=∠BDC，求证：BD2=AB BC；
（2）如图2，∠A>90°，∠BAD+∠BDC=180°，
①若∠ABC=90°，AB= ，BC=8，求BD的长；
②若BC=3CD=3a，BD=9， 则 AB 的长为 ▲ ．（用含 a 的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，角度没有改变，
故答案为：A.
【分析】因为在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似，根据相似三角形的性质可知角度没有改变.
2．【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设原形的宽和长分别为：a，b，则新的矩形的宽和长分别是： ，
∵得到的两个矩形都和原来的矩形相似，
∴ ，即： ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】设原形的宽和长分别为：a，b，可得到：新的矩形的宽和长分别是： ，根据相似多边形的对应边成比例，即可得到答案.
3．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意得：
头顶至肚脐的长度为 ，
∴ ，
∴小凡的身高约为 ；
故答案为：C.
【分析】根据黄金分割比求出头顶至肚脐的长度为 ，然后再加上 肚脐至足底的长度即得结论.
4．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解： ，
又∵ ，
∴ ，
∴k2＝k+3，
故答案为：D.
【分析】根据比例的性质以及等量代换可得出结果.
5．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ， ，
A、 ，
，
，
，
，不符合题意；
B、 ，
，
，
，
，
，符合题意；
C、 ，
，
，
，
，不符合题意；
D、 ，
，
，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得出 ， ， ， ，根据相似三角形的判定得出 ，，再根据相似三角形 的性质得到比例式即可。
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∠C=∠C，∠1＝∠C
△ABC和△DAC不相似，故A不符合题意；
B、∠BAC＝∠BDA，∠B=∠B
∴△ABD∽△ABC，而△ABC和△DAC不相似，故B不符合题意；
C、∵∠C=∠C
∴当即AC2＝CD CB时，△ABC∽△DAC，故C符合题意；
D、AD2＝BD CD，不能证明△ABC∽△DAC，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的判定方法，要使△ABC∽△DAC，可知A，B，D不符合题意；利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C作出判断.
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AC=4，P是AC的中点，
∴AP=AC=2，
①若，则，
∴，
解得：，
②若，则，
∴，
解得：，
所以AQ的长为3或.
故答案为：B.
【分析】先求出AP=2，再分类讨论，利用相似三角形的性质计算求解即可。
8．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 矩形ABCD∽矩形FAHG，
∴，AF=DE，
∴AF·BC=AB·AH，
∵S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG，
∴S阴影部分=
=
=
=
∴能求出矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差就一定能求出△BIJ面积.
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的对应边成比例可证得AF·BC=AB·AH，再根据S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG，利用矩形的面积公式和三角形的面积公式就可推出S阴影部分=，即可证得一定能求出△BIJ面积的条件的选项。
9．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵OB=3OB′，
∴ ，
∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴ ．
∴ ，
故选D．
【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
10．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，点D的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∴ ，
∴位似比为 ，
∵C（ ，1），
∴点A的坐标为：（ ，3）．
故答案为：C．
【分析】由D、B的坐标，可求出OD=1，OB=3，可得，根据位似图形的性质可得位似比为 ，由点C坐标即可求出A点坐标.
11．【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为 ，点E的坐标为 ，
∴OD=3，AD=3，DE=2，
∵矩形OABC与矩形FEDO是位似图形，P是位似中心，
∴DE//OP，OD//BC，AB//OP，
∵AD=DO，
∴OP=AB=OC，
∵DE//OP，
∴△ADE∽△AOP，
∴ ，即 ，
解得，OP=4，
∵OD//BC，
∴△POD∽△PCB，
∴ ，即 ，
解得，BC=6，
∴点B的坐标为 ，
故答案为： .
【分析】根据位似图形的概念得到DE//OP，OD//BC，AB//OP，根据相似三角形性质求出BC，进而求出点B的坐标．
12．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： 小正方形与大正方形位似比为1：3，故其面积比为 ，
∴阴影部分面积占总面积的比值为 ，
飞镖落在阴影部分的概率是 ，
故答案为： .
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值.故先用位似图形性质求出阴影区域的面积与总面积的比值即可得出答案.
13．【答案】9
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点D，E分别为BC和AC中点，
∴DE= AB，DE∥AB，
∴△DEF∽△ABF，
∴ ，
∵BF=6，
∴EF=3，
∴BE=6+3=9，
故答案为：9．
【分析】根据三角形中位线定理可得DE= AB，DE∥AB，可证△DEF∽△ABF，可得，据此求出EF，利用BE=EF+BF计算即得.
14．【答案】 或 或 （答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当∠B=∠ADE时
∵∠A=∠A
∴ △ADE∽△ABC ；
当∠C=∠AED时
∵∠A=∠A
∴ △ADE∽△ABC ；
当 时
∵∠A=∠A
∴ △ADE∽△ABC ；
故答案为：∠B=∠ADE或∠C=∠AED或.
【分析】观察图形，可知图中隐含条件为∠A=∠A，再根据有两组对应角相等的两三角形相似和有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可得答案。
15．【答案】4
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵AD∥BE∥CF，
∴ ，
∵AB＝3，BC＝6，DE＝2，
∴EF＝ ＝4，
故答案为：4．
【分析】根据平行线分线段成比例额定理列出比例式，代入计算。
16．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设 ，
则 ，
故 ，
故答案为： ．
【分析】先求出 ，再化简求值即可。
17．【答案】解：设实际周长是 ，则： ， 解得： ( )； 面积之比等于相似比的平方，设实际面积是 平方厘米，则： ， 解得： ( )．
【知识点】比例线段
【解析】【分析】利用相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
18．【答案】解：∵l1∥l2∥l3
∴AB：BC=DE：EF
∵AB=3，BC=5，DF=12
∴3:5=DE：（12-DE）
∴DE=4.5
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据题意，由平行线段分线段成比例，计算得到答案即可。
19．【答案】（1）解：相似三角形的相似比等于其对应高的比，
∴ =k
（2）解：当其为角平分线时， =k．
当其为中线时， =k
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的相似比等于对应高的比求解。（2）相似三角形的对应角平分线以及对应中线都等于相似三角形的相似比。
20．【答案】证明：∵
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先由 得 ，再得到 ，进而证明 ．
21．【答案】解：过点D作 于点P，交 于点N，过点M作 于点Q，交 于点K，
由题意可得： ， 米， ， 米， 米.
， ， ，
，
， ，
， .
， .
（米）.
答：这棵樱花树 的高度是8.8米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，证得△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB．
22．【答案】解：∵四边形 四边形 ，
∴ ， ， ．
∴ ， ， ．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据四边形相似，由对应边对应成比例，进行计算得到答案即可。
23．【答案】（1）解：如图所示：四边形A″B″C″D″符合题意
（2）解：如图所示：四边形A′B′C′D′符合题意.
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）连接OA，并延长OA，放大为原图的2倍，所以位似比为1：2。
（2）连接AO并延长AO，使得A′O=2AO，即可得出符合题目的图。
24．【答案】（1）解： 是∠ABC的平分线，
，
，
，
，
（2）①BD= ；②
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）①如图，延长BA到点M，使BM=BC，
是∠ABC的平分线，
，
，
（SAS），
则 ，BM=BC=8，DM=DC，
，
，
，
即 ，
解得：DM=DC= ，
连接MC与BD交于点O，
∵∠MBC=90°，BC=BM=8，
∴ 为等腰直角三角形，
∵BO平分∠MBC，
∴BD⊥MC，BO=CO=MO= ，
在直角 中，
，
；
故答案为： ；
②如图，延长BA到点M，使BM=BC，
连接DM，
∵BC=3CD=3a，
，
同（2）①可证 ， ，
，
，
即 ，
，
，
故答案为： ．
【分析】（1）先利用角平分线得出 ，进而得出 ，即可得出结论；
（2）①先做辅助线，延长BA到点M，使BM=BC，先证明 ，之后再证明 来求到DM，最后连接CM构造等腰直角三角形求出BO和OD，即可得出结论；②同（2）的方法做辅助线，延长BA到点M，使BM=BC，再利用 和 即可得出结论．
1 / 1初中数学浙教版九年级上册第四章 相似三角形单元测试
一、单选题
1．（2021·上虞模拟）如图所示，在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，下面各个备选答案的量中，保持不变的量是（ ）
A．角 B．边长 C．周长 D．面积
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，角度没有改变，
故答案为：A.
【分析】因为在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似，根据相似三角形的性质可知角度没有改变.
2．（2020九上·武功月考）如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么我们把这样的纸张叫做标准纸.则标准纸的宽和长的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设原形的宽和长分别为：a，b，则新的矩形的宽和长分别是： ，
∵得到的两个矩形都和原来的矩形相似，
∴ ，即： ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】设原形的宽和长分别为：a，b，可得到：新的矩形的宽和长分别是： ，根据相似多边形的对应边成比例，即可得到答案.
3．（2021·漳浦模拟）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为 ，则小凡的身高约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意得：
头顶至肚脐的长度为 ，
∴ ，
∴小凡的身高约为 ；
故答案为：C.
【分析】根据黄金分割比求出头顶至肚脐的长度为 ，然后再加上 肚脐至足底的长度即得结论.
4．（2021·西湖模拟）已知m，n是非零实数，设k＝ ＝ ，则（ ）
A．k2＝3﹣k B．k2＝k﹣3 C．k2＝﹣3﹣k D．k2＝k+3
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解： ，
又∵ ，
∴ ，
∴k2＝k+3，
故答案为：D.
【分析】根据比例的性质以及等量代换可得出结果.
5．（2021·香坊模拟）如图，在 中，点E在 边上， 、 的延长线交于点F，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ， ，
A、 ，
，
，
，
，不符合题意；
B、 ，
，
，
，
，
，符合题意；
C、 ，
，
，
，
，不符合题意；
D、 ，
，
，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质得出 ， ， ， ，根据相似三角形的判定得出 ，，再根据相似三角形 的性质得到比例式即可。
6．（2021九上·台州期末）如图：点D是△ABC边BC上一点，下列条件中，能使△ABC∽△DAC的是（ ）
A．∠1＝∠C B．∠BAC＝∠BDA；
C．AC2＝CD CB. D．AD2＝BD CD；
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∠C=∠C，∠1＝∠C
△ABC和△DAC不相似，故A不符合题意；
B、∠BAC＝∠BDA，∠B=∠B
∴△ABD∽△ABC，而△ABC和△DAC不相似，故B不符合题意；
C、∵∠C=∠C
∴当即AC2＝CD CB时，△ABC∽△DAC，故C符合题意；
D、AD2＝BD CD，不能证明△ABC∽△DAC，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的判定方法，要使△ABC∽△DAC，可知A，B，D不符合题意；利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C作出判断.
7．（2021八下·泰山期末）如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB边于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似。则AQ的长为（ ）
A．3 B．3或 C．3或 D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AC=4，P是AC的中点，
∴AP=AC=2，
①若，则，
∴，
解得：，
②若，则，
∴，
解得：，
所以AQ的长为3或.
故答案为：B.
【分析】先求出AP=2，再分类讨论，利用相似三角形的性质计算求解即可。
8．（2020九上·鄞州期末）如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（ ）
A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 矩形ABCD∽矩形FAHG，
∴，AF=DE，
∴AF·BC=AB·AH，
∵S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG，
∴S阴影部分=
=
=
=
∴能求出矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差就一定能求出△BIJ面积.
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的对应边成比例可证得AF·BC=AB·AH，再根据S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG，利用矩形的面积公式和三角形的面积公式就可推出S阴影部分=，即可证得一定能求出△BIJ面积的条件的选项。
9．（2021·南岸模拟）如图，以点O为位似中心，将 缩小后得到 ，已知 ，则 与 的面积的比为
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵OB=3OB′，
∴ ，
∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴ ．
∴ ，
故选D．
【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
10．（2021·九龙坡模拟）如图，线段 两个端点的坐标分别为 ， ，以原点为位似中心，将线段 放大得到线段 ，若点 的坐标为 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，点D的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∴ ，
∴位似比为 ，
∵C（ ，1），
∴点A的坐标为：（ ，3）．
故答案为：C．
【分析】由D、B的坐标，可求出OD=1，OB=3，可得，根据位似图形的性质可得位似比为 ，由点C坐标即可求出A点坐标.
二、填空题
11．（2021·肇源模拟）如图，已知矩形OABC与矩形FEDO是位似图形，P是位似中心，若点A的坐标为（0，6），点E的坐标为（2，3），则点B的坐标为 ．
【答案】
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵点A的坐标为 ，点E的坐标为 ，
∴OD=3，AD=3，DE=2，
∵矩形OABC与矩形FEDO是位似图形，P是位似中心，
∴DE//OP，OD//BC，AB//OP，
∵AD=DO，
∴OP=AB=OC，
∵DE//OP，
∴△ADE∽△AOP，
∴ ，即 ，
解得，OP=4，
∵OD//BC，
∴△POD∽△PCB，
∴ ，即 ，
解得，BC=6，
∴点B的坐标为 ，
故答案为： .
【分析】根据位似图形的概念得到DE//OP，OD//BC，AB//OP，根据相似三角形性质求出BC，进而求出点B的坐标．
12．（2020·常熟模拟）以小正方形的中心为位似中心，以1：3的比例放大得到一个大正方形，从而得到了一个如图所示的飞镖游戏板.若小明同学向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则镖落在阴影部分的概率是 .
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： 小正方形与大正方形位似比为1：3，故其面积比为 ，
∴阴影部分面积占总面积的比值为 ，
飞镖落在阴影部分的概率是 ，
故答案为： .
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值.故先用位似图形性质求出阴影区域的面积与总面积的比值即可得出答案.
13．（2021·云南）如图，在 中，点D，E分别是 的中点， 与 相交于点F，若 ，则 的长是 ．
【答案】9
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点D，E分别为BC和AC中点，
∴DE= AB，DE∥AB，
∴△DEF∽△ABF，
∴ ，
∵BF=6，
∴EF=3，
∴BE=6+3=9，
故答案为：9．
【分析】根据三角形中位线定理可得DE= AB，DE∥AB，可证△DEF∽△ABF，可得，据此求出EF，利用BE=EF+BF计算即得.
14．（2021九上·嘉兴期末）如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，请添加一个条件 ，使得△ADE与△ABC相似.
【答案】 或 或 （答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当∠B=∠ADE时
∵∠A=∠A
∴ △ADE∽△ABC ；
当∠C=∠AED时
∵∠A=∠A
∴ △ADE∽△ABC ；
当 时
∵∠A=∠A
∴ △ADE∽△ABC ；
故答案为：∠B=∠ADE或∠C=∠AED或.
【分析】观察图形，可知图中隐含条件为∠A=∠A，再根据有两组对应角相等的两三角形相似和有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可得答案。
15．（2021·任城模拟）如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2，则EF的值为 ．
【答案】4
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵AD∥BE∥CF，
∴ ，
∵AB＝3，BC＝6，DE＝2，
∴EF＝ ＝4，
故答案为：4．
【分析】根据平行线分线段成比例额定理列出比例式，代入计算。
16．（2021·大庆）已知 ，则
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设 ，
则 ，
故 ，
故答案为： ．
【分析】先求出 ，再化简求值即可。
三、解答题
17．（2020·淮安模拟）在一张比例尺为 的地图上，有一块多边形区域的周长是 ，面积是 ，求这个区域的实际周长和面积．
【答案】解：设实际周长是 ，则： ， 解得： ( )； 面积之比等于相似比的平方，设实际面积是 平方厘米，则： ， 解得： ( )．
【知识点】比例线段
【解析】【分析】利用相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
18．（2020九上·包河月考）如图，已知l1//l2//l3，AB=3、BC=5、DF=12，求DE的长。
【答案】解：∵l1∥l2∥l3
∴AB：BC=DE：EF
∵AB=3，BC=5，DF=12
∴3:5=DE：（12-DE）
∴DE=4.5
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据题意，由平行线段分线段成比例，计算得到答案即可。
19．已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k．
（1）如果CD和C′D′是它们的对应高，那么 等于多少？
（2）如果CD和C′D′是它们的对应角平分线，那么 等于多少？如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？
【答案】（1）解：相似三角形的相似比等于其对应高的比，
∴ =k
（2）解：当其为角平分线时， =k．
当其为中线时， =k
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的相似比等于对应高的比求解。（2）相似三角形的对应角平分线以及对应中线都等于相似三角形的相似比。
20．（2020九上·商河月考）如图，已知 ，求证：△ABD∽△ACE
【答案】证明：∵
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先由 得 ，再得到 ，进而证明 ．
21．（2021·韩城模拟）青龙寺是西安最著名的櫻花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的櫻花让这里成为了花的海洋.一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（櫻花树四周被围起来了，底部不易到达）.小明在F处竖立了一根标杆 ，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上.此时测得小刚的眼睛到地面的距离 米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离 米.已知 米， 米， 米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在 上， ， ， ， .根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树 的高度.
【答案】解：过点D作 于点P，交 于点N，过点M作 于点Q，交 于点K，
由题意可得： ， 米， ， 米， 米.
， ， ，
，
， ，
， .
， .
（米）.
答：这棵樱花树 的高度是8.8米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，证得△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB．
22．（2018九上·恩阳期中）如图，四边形 四边形 ，求边 、 的长度和角 的大小．
【答案】解：∵四边形 四边形 ，
∴ ， ， ．
∴ ， ， ．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据四边形相似，由对应边对应成比例，进行计算得到答案即可。
23．如图，分别按下列要求作出四边形ABCD以O点为位似中心的位似四边形A′B′C′D′.
（1）沿OA的方向放大为原图的2倍；
（2）沿AO的方向放大为原图的2倍．
【答案】（1）解：如图所示：四边形A″B″C″D″符合题意
（2）解：如图所示：四边形A′B′C′D′符合题意.
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）连接OA，并延长OA，放大为原图的2倍，所以位似比为1：2。
（2）连接AO并延长AO，使得A′O=2AO，即可得出符合题目的图。
四、综合题
24．（2021九下·千山期中）在四边形 ABCD 中，BD 平分∠ABC．
（1）如图
1，若∠BAD=∠BDC，求证：BD2=AB BC；
（2）如图2，∠A>90°，∠BAD+∠BDC=180°，
①若∠ABC=90°，AB= ，BC=8，求BD的长；
②若BC=3CD=3a，BD=9， 则 AB 的长为 ▲ ．（用含 a 的代数式表示）．
【答案】（1）解： 是∠ABC的平分线，
，
，
，
，
（2）①BD= ；②
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）①如图，延长BA到点M，使BM=BC，
是∠ABC的平分线，
，
，
（SAS），
则 ，BM=BC=8，DM=DC，
，
，
，
即 ，
解得：DM=DC= ，
连接MC与BD交于点O，
∵∠MBC=90°，BC=BM=8，
∴ 为等腰直角三角形，
∵BO平分∠MBC，
∴BD⊥MC，BO=CO=MO= ，
在直角 中，
，
；
故答案为： ；
②如图，延长BA到点M，使BM=BC，
连接DM，
∵BC=3CD=3a，
，
同（2）①可证 ， ，
，
，
即 ，
，
，
故答案为： ．
【分析】（1）先利用角平分线得出 ，进而得出 ，即可得出结论；
（2）①先做辅助线，延长BA到点M，使BM=BC，先证明 ，之后再证明 来求到DM，最后连接CM构造等腰直角三角形求出BO和OD，即可得出结论；②同（2）的方法做辅助线，延长BA到点M，使BM=BC，再利用 和 即可得出结论．
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