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5.4一元一次方程的应用（2） 教案
课题 5.4一元一次方程的应用（2） 单元 第五单元 学科 数学 年级 七年级（上）
学习目标 1.能用一元一次方程解决图形的面积、体积变形、盈亏等问题．2.学习分析几何问题的方法，提高学生的分析能力及数形结合能力．
重点 寻找两个面积体积之间的相等关系．
难点 寻找两个面积体积之间的相等关系．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题 思考自议体会建立一元一次方程的模型思想； 注意理解图形的面积、体积变形、盈亏等问题的等 量关系.
讲授新课 提炼概念1、在解决图形问题时，要抓住用不同方法表示出来的图形面积相等这一关系列出方程即可．2、在解决等积变形问题时，首先要找到在变化过程中不变量，善于利用图形的面积、体积、周长及质量等捕捉等量关系，从而列出方程．典例精讲例3 一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石，形成一个边宽为3.2米的正方形框（如图中阴影部分）．已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石（接缝忽略不计），问标志性建筑的底面边长是多少米？分析 阴影部分的面积＝ 144块边长为0.8米的正方形花岗石的面积．阴影部分可以分割成4个长为（x+3.2）米，宽为3.2米的长方形．如图，若用x表示中间空白正方形的边长，怎样用含x的代数式表示阴影部分的面积呢 你能设计几种不同的计算方法？1、在应用方程解决实际问题时，清楚地分辨各量之间的关系，尤其相等关系是建立方程的关键；2、解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，解题时应养成良好的检验习惯，但具体过程可省略不写；3、对于等积变形问题，它的基本数量关系是相关的面积公式，相等关系的特征是存在不变量，也就是用不同的方法来计算阴影部分的面积，面积不变．你能测量出一个苹果的体积是多少吗？你怎么测量呢？在测量过程中你发现了什么？苹果的体积等于测量时上升部分的水的体积．请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变？1、把一小杯水倒入另一只大杯中；2、用一根15 cm长的铁丝围成一个三角形，然后把它围成长方形；3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改变成球．例4 如图，用直径为200 mm的钢柱锻造一块长、宽、高分别为300 mm，300 mm和80 mm的长方体毛坯底板．问应截取钢柱多长（不计损耗，结果 误差不超过1 mm）？分析：1、在这个问题中的相等关系是：锻造前的（ ）=锻造后的（ ）；2、如果设锻造前圆柱的高为x毫米，也既截取的圆柱长为x毫米，则圆柱的体积怎么表示 ？3、锻造后长方体的长为（ ）毫米，宽为（ ）毫米，高为（ ）毫米，体积怎么计算？4、如何列方程？ 会用一元一次方程解决图形的面积问题． 解应用题时不能盲目地算出结果，应当考虑到实际情况，不符合实际的应舍去．
课堂检测 四、巩固训练1、一标志性建筑的底面呈长方形，长是宽的2倍，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3米的长方形框（如图所示）．已知铺这个框恰好用了504块边长为0.5米的正方向花岗岩（接缝忽略不计）．若设此标志性建筑底面长方形的宽为x米，给出下列方程：①4×3（2x+3）=0.5×0.5×504；②2×3（2x+6）+2×3x=0.5×0.5×504；③（x+6）（2x+6）-2x x=0.5×0.5×504，其中正确的是（ ）A．② B．③ C．②③ D．①②③C2．西湖区某中学为了营造良好的文化氛围，学校决定在学校的一段文化墙上制作一幅永久性的标语，为此，在文化墙上特别做了一个长1640cm的长方形横标框，铺红色衬底．为了使制作时方便、制作出来的标语美观，对有关数据作了如下规定：边空：字宽：字距＝6∶9∶2，如图所示．根据这个规定，若这幅标语名称的字数为14，则边空、字宽、字距各是多少？解：设边空、字宽、字距分别为6x(cm)、9x(cm)、2x(cm)，则6x×2＋9x×14＋2x×(14－1)＝1640，解得x＝10，∴6x＝60，9x＝90，2x＝20，答：边空为60cm，字宽为90cm，字距为20cm.3．如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为10cm，原容器内水的高度为12cm，把一根半径为2cm的玻璃棒垂直插入水中后，问容器内的水将升高多少cm？(圆柱的体积＝底面积×高)解：设容器内的水将升高xcm，据题意得：π·102×12＋π·22(12＋x)＝π·102(12＋x)，1200＋4(12＋x)＝100(12＋x)，1200＋48＋4x＝1200＋100x，96x＝48，x＝0.5.故容器内的水将升高0.5cm.4.一个长方形的养鸡场的一条长边靠墙，墙长14米，其他三边需要用竹篱笆围成.现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成上述养鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成上述养鸡场，其中长比宽多2米，你认为谁的设计符合实际？按照他的设计养鸡场的面积是多少？
课堂小结
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5.4一元一次方程的应用（2）
浙教版 七年级上
新知导入
情境引入
用一元一次方程解决实际问题的基本过程有几个步骤？分别是什么？
实际问题
一元一次方程
设未知数，列方程
解方程
一元一次方程的解（x = a）
实际问题的答案
检 验
典例精讲
例3 一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石，形成一个边宽为3.2米的正方形框（如图中阴影部分）．已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石（接缝忽略不计），问标志性建筑的底面边长是多少米？
本题有哪些量，等量关系是什么？
合作学习
分析 阴影部分的面积＝ 144块边长为0.8米的正方形花岗石的面积．
阴影部分可以分割成4个长为（x+3.2）米，宽为3.2米的长方形．
如图，若用x表示中间空白正方形的边长，怎样用含x的代数式表示阴影部分的面积呢 你能设计几种不同的计算方法？
方案一
方案二
方案三
方案四
阴影部分的面积= 144块边长为0.8米的正方形花岗岩的面积
阴影部分的面积= 4个长为(x+3.2)米、宽为3.2米的长方形
答：这一标志性建筑底面的边长为4米.
解这个方程，得x=4
等量关系
请指出下列过程中，哪些量发生了变化？哪些量保持不变？
⑵用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后把它改成长方形。
⑶用一块橡皮泥先做成一个正方体，再把它改做成球。
围成的图形的面积发生了变化，但铁丝的长度不变。
水的底面积，高度发生了变化，水的体积和质量都不变。
形状改变，体积不变。
⑴把一小杯水倒入另一只大杯中。
提炼概念
1、在应用方程解决有关实际问题时，清楚地分辨量之间的关系，尤其相等关系是建立方程的关键。
2、解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体过程可省略不写。
3、对于等积变形问题，它的基本数量关系是相关的面积公式，相等关系的特征是存在不变量，也就是用不同的方法来计算阴影部分的面积，面积不变。
例4 如图，用直径为200mm的钢柱锻造一块长、宽、高分别为300mm，300mm和80mm的长方体毛坯底板.问应截取钢柱多少长（不计损耗，结果误差不超过1mm）？
Φ200
X
80
300
300
无论形状怎么变，立体图形的体积不会变.
1、在解决图形问题时，要抓住用不同方法表示出来的图形面积相等这一关系列出方程即可．
2、在解决等积变形问题时，首先要找到在变化过程中不变量，善于利用图形的面积、体积、周长及质量等捕捉等量关系，从而列出方程．
归纳概念
课堂练习
1、一标志性建筑的底面呈长方形，长是宽的2倍，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3米的长方形框（如图所示）．已知铺这个框恰好用了504块边长为0.5米的正方向花岗岩（接缝忽略不计）．若设此标志性建筑底面长方形的宽为x米，给出下列方程：
①4×3（2x+3）=0.5×0.5×504；
②2×3（2x+6）+2×3x=0.5×0.5×504；
③（x+6）（2x+6）-2x x=0.5×0.5×504，
其中正确的是（ ）
A．② B．③ C．②③ D．①②③
C
2．西湖区某中学为了营造良好的文化氛围，学校决定在学校的一段文化墙上制作一幅永久性的标语，为此，在文化墙上特别做了一个长1640cm的长方形横标框，铺红色衬底．为了使制作时方便、制作出来的标语美观，对有关数据作了如下规定：边空：字宽：字距＝6∶9∶2，如图所示．
根据这个规定，若这幅标语名称的字数为14，则边空、字宽、字距各是多少？
解：设边空、字宽、字距分别为6x(cm)、9x(cm)、2x(cm)，
则6x×2＋9x×14＋2x×(14－1)＝1640，
解得x＝10，∴6x＝60，9x＝90，2x＝20，
答：边空为60cm，字宽为90cm，字距为20cm.
3．如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为10cm，原容器内水的高度为12cm，把一根半径为2cm的玻璃棒垂直插入水中后，问容器内的水将升高多少cm？(圆柱的体积＝底面积×高)
解：设容器内的水将升高xcm，
据题意得：π·102×12＋π·22(12＋x)＝π·102(12＋x)，
1200＋4(12＋x)＝100(12＋x)，
1200＋48＋4x＝1200＋100x，
96x＝48，
x＝0.5.
故容器内的水将升高0.5cm.
4.一个长方形的养鸡场的一条长边靠墙，墙长14米，其他三边需要用竹篱笆围成.现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成上述养鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成上述养鸡场，其中长比宽多2米，你认为谁的设计符合实际？按照他的设计养鸡场的面积是多少？
解:先看小王的设计：
设宽为x米，则长为 (x+5) 米,根据题意,得
2x+(x+5)=35
解得 x= 10
因为小王设计的长为X+5=10+5=15米＞ 14米， 所以小王的设计不符合实际。
再看小赵的设计：
设设计宽为x米，则长为(x+2) 米 ,根据题意，得
2x+(x+2)=35
解得 x=11
因为小赵的设计的长为 x + 2 = 1 1+ 2=13米＜ 14米，
所以小赵的设计符合要求。
此时，鸡场的面积为 11×13=143平方米。
14米
课堂总结
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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5.4一元一次方程的应用（2） 学案
课题 5.4一元一次方程的应用（2） 单元 第五单元 学科 数学 年级 七年级上册
学习目标 1.能用一元一次方程解决图形的面积、体积变形、盈亏等问题．2.学习分析几何问题的方法，提高学生的分析能力及数形结合能力．
重点 寻找两个面积体积之间的相等关系．
难点 寻找两个面积体积之间的相等关系．
教学过程
导入新课 引入思考请指出下列过程中，哪些量发生了变化？哪些量保持不变？⑴把一小杯水倒入另一只大杯中。⑵用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后把它改成长方形。⑶用一块橡皮泥先做成一个正方体，再把它改
新知讲解 提炼概念1、在解决图形问题时，要抓住用不同方法表示出来的图形面积相等这一关系列出方程即可．2、在解决等积变形问题时，首先要找到在变化过程中不变量，善于利用图形的面积、体积、周长及质量等捕捉等量关系，从而列出方程． 典例精讲 例3 一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石，形成一个边宽为3.2米的正方形边框， 已知铺这个边框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石（接缝忽略不计），问纪念碑建筑的底面边长是多少米？总结：1、在应用方程解决问有关实际问题时，清楚地分辨量之间的关系，尤其相等关系是 的关键。2、解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体过程可省略不写。3、对于等积变形问题，它的基本数量关系是相关的面积公式，相等关系的特征是存在不变量，也就是用不同的方法来计算阴影部分的面积，面积不变。例4 如图，用直径为200mm的钢柱锻造一块长、宽、高分别为300mm，300mm和80mm的长方体毛坯底板.问应截取钢柱多少长（不计损耗，结果误差不超过1mm）？总结：无论形状怎么变，几何体的 不会变.
课堂练习 巩固训练1、一标志性建筑的底面呈长方形，长是宽的2倍，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为3米的长方形框（如图所示）．已知铺这个框恰好用了504块边长为0.5米的正方向花岗岩（接缝忽略不计）．若设此标志性建筑底面长方形的宽为x米，给出下列方程：①4×3（2x+3）=0.5×0.5×504；②2×3（2x+6）+2×3x=0.5×0.5×504；③（x+6）（2x+6）-2x x=0.5×0.5×504，其中正确的是（ ）A．② B．③ C．②③ D．①②③ 2．西湖区某中学为了营造良好的文化氛围，学校决定在学校的一段文化墙上制作一幅永久性的标语，为此，在文化墙上特别做了一个长1640cm的长方形横标框，铺红色衬底．为了使制作时方便、制作出来的标语美观，对有关数据作了如下规定：边空：字宽：字距＝6∶9∶2，如图所示．根据这个规定，若这幅标语名称的字数为14，则边空、字宽、字距各是多少？ 3．如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为10cm，原容器内水的高度为12cm，把一根半径为2cm的玻璃棒垂直插入水中后，问容器内的水将升高多少cm？(圆柱的体积＝底面积×高)4.一个长方形的养鸡场的一条长边靠墙，墙长14米，其他三边需要用竹篱笆围成.现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成上述养鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成上述养鸡场，其中长比宽多2米，你认为谁的设计符合实际？按照他的设计养鸡场的面积是多少？引入思考提炼概念典例精讲 例31、在应用方程解决实际问题时，清楚地分辨各量之间的关系，尤其相等关系是建立方程的关键；2、解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，解题时应养成良好的检验习惯，但具体过程可省略不写；3、对于等积变形问题，它的基本数量关系是相关的面积公式，相等关系的特征是存在不变量，也就是用不同的方法来计算阴影部分的面积，面积不变．例4巩固训练1. C2.解：设边空、字宽、字距分别为6x(cm)、9x(cm)、2x(cm)，则6x×2＋9x×14＋2x×(14－1)＝1640，解得x＝10，∴6x＝60，9x＝90，2x＝20，答：边空为60cm，字宽为90cm，字距为20cm.3.解：设容器内的水将升高xcm，据题意得：π·102×12＋π·22(12＋x)＝π·102(12＋x)，1200＋4(12＋x)＝100(12＋x)，1200＋48＋4x＝1200＋100x，96x＝48，x＝0.5.故容器内的水将升高0.5cm4.
课堂小结
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