第3章 圆的基本性质单元复习题（含解析）

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浙教版2021年九年级上册第3章《圆的基本性质》单元复习题
一．选择题
1．⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为5cm，点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定
2．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠BAD＝（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠BOC的度数是（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
4．如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（　　）
A． B． C． D．
5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，则∠BAD的度数为（　　）
A．45° B．60° C．72° D．36°
6．如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交 O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（　　）
A．40° B．55° C．70° D．110°
7．若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（　　）
A．π B．π C．π D．2π
8．如图，将正六边形ABCDEF绕它的中点O顺时针旋转一定角度，可以使边BA与AF重合，则旋转角的最小度数为（　　）
A．60° B．90° C．120° D．180°
9．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（　　）
A．25 B．25 C． D．
10．如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二．填空题
11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是 　 　．
12．如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB∠+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA＝　 　度．
13．如图，点A，B，C在⊙O上，∠O＝70°，AO∥BC，AO＝9，的长为 　 　．
14．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转70°后，转到△A'BC'的位置，且使点C'落在AB的延长线上．已知∠C＝22°，则∠BA'C'＝　 　．
15．在半径为10cm的圆中，圆心角为120°的扇形面积是 　 　cm2．
16．如图所示，在平面直角坐标系中，点A．B的坐标分别为（﹣3，0）和（3，0）．月牙①绕点B顺时针方向旋转90°得到月牙②，则点A的对应点A′的坐标是 　 　．
17．如图，已知⊙A的半径为1，圆心的坐标为（4，3）．点P（m，n）是⊙A上的一个动点，则m2+n2的最大值为 　 　．
三．解答题
18．如图，BD＝OD，∠B＝38°，求∠AOD的度数．
19．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB＝CD．求证PB＝PD．
20．如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形，拱的跨度AB为24m，点O是所在圆的圆心，⊙O的半径为13m，求桥拱的高度．（弧的中点到弦的距离）
21．如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．
（1）求证：GE＝FE；
（2）若DF＝3，求BE的长为 　 　．
22．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．
（1）求AB的长；
（2）求⊙O的半径．
23．如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小．
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC、BD相交于点E．
（1）如图1，若AC＝BD，求证：AE＝DE；
（2）如图2，若AC⊥BD，连接OC，求证：∠OCD＝∠ACB．
25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠ABC＝55°，求∠P的度数；
（3）若BC＝3，BE＝2，求CD的长．
26．如图：已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝5cm，CD＝10cm，求圆O的直径；
（3）求劣弧BC的长．
参考答案
一．选择题
1．解：∵OP＝5＞4，
∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：C．
2．解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴点A，B，C，D在⊙O上，
∵∠BCA＝50°，
∴∠ADB＝∠BCA＝50°，
∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
3．解：由题意及旋转变换的性质得：∠AOC＝∠BOD＝50°，
∵∠AOB＝15°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠BOC＝50°﹣15°＝35°，
故选：A．
4．解：如图，
连接OA、OC，OC交AB于点E，
∵点C是弧AB中点，AB＝6，
∴OC⊥AB，且AE＝BE＝3，
∵∠ADC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝AE＝，
故圆心O到弦AB的距离为．
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BAD，
∵四边形OBCD为菱形，
∴∠BOD＝∠BCD，
∴∠BAD+2∠BAD＝180°，
解得：∠BAD＝60°，
故选：B．
6．解：连接OB，OC，
∵∠D＝70°，
∴∠BOC＝2∠D＝140°，
∵OA⊥BC，
∴∠COA＝，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣70°）＝55°，
故选：B．
7．解：∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，
∴此扇形的弧长为＝π．
故选：B．
8．解：连接OA、OB、OF，如图所示：
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝∠AOF＝＝60°，
∴将正六边形ABCDEF绕它的中点O顺时针旋转60°，BA与AF重合，
∴旋转角的最小度数为60°，
故选：A．
9．解：连OC，如图，
∵C是的中点，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴S四边形AOBC＝2×＝．
故选：D．
10．解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，
理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A＝＝3，
则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，
故选：B．
二．填空题
11．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝55°，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，
∴∠D＝∠B＝35°．
故答案为：35°．
12．解：∵五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E＝540°，
∵∠EAB∠+∠C+∠CDE+∠E＝430°，
∴∠B＝540°﹣430°＝110°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠CDA＝180°，
∴∠CDA＝180°﹣110°＝70°．
故答案为70．
13．解：连接OC，
∵∠AOB＝70°，AO∥BC，
∴∠AOB＝∠OBC＝70°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝40°，
∵AO＝9，
∴的长为：＝2π，
故答案为2π．
14．解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转70°后，转到△A'BC'的位置，且使点C'落在AB的延长线上，
∴∠ABC＝∠A′BC′＝180°﹣70°＝110°，∠C＝∠C′＝22°，
∴∠BA′C′＝180°﹣∠A′BC′﹣∠C′＝180°﹣110°﹣22°＝48°，
故答案为：48°．
15．解：扇形的面积＝＝π（cm2）．
故答案为：π．
16．解：连接A′B，由月牙①顺时针旋转90°得月牙②，
可知A′B⊥AB，且A′B＝AB，由A（﹣3，0）、B（3，0），
得AB＝6，于是可得A′的坐标为（3，6）．
故答案为：（3，6）．
17．解：作射线OA交⊙O于P′点，如图，
∵圆心A的坐标为（4，3），点P的坐标为（m，n），
∴OA＝＝5，OP＝，
∴m2+n2是点P点圆点的距离的平方，
∴当点P运动到P′处，点P离圆点最远，即m2+n2有最大值，
此时OP＝OA+AP′＝5+1＝6，则m2+n2＝36．
故答案为：36．
三．解答题
18．解：∵BD＝OD，∠B＝38°，
∴∠DOB＝∠B＝38°，
∴∠ADO＝∠DOB+∠B＝2×38°＝76°，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝76°，
∴∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠ADO＝180°﹣76°﹣76°＝28°．
19．证明：连接BD．
∵AB＝CD，
∴＝
∴﹣＝﹣，即＝，
∴∠B＝∠D，
∴PB＝PD．
20．解：如图所示：过O作OD⊥AB交于C，垂足为D，
则AD＝BD＝×24＝12（m），
设CD＝xm，则OD＝（13﹣x）m，
根据勾股定理得：122+（13﹣x）2＝132，
解得：x＝8，
即桥拱的高度为8m．
21．（1）证明：∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴△ADF≌△ABG，
∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠BAG+∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝FE，
（2）解：设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，
∴EF＝3+x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝3，
∵∠C＝90°，
∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得，x＝2，
即BE＝2，
22．解：（1）连接AC，如图，
∵CD⊥AB，
∴AF＝BF，即CD垂直平分AB，
∴CA＝CB＝3，
∵AO⊥BC，
∴CE＝BE，即AE垂直平分BC，
∴AB＝AC＝3；
（2）∵AB＝AC＝BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴AE⊥BC，
∴AE平分∠BAC，即∠OAF＝30°，
在Rt△OAF中，∵OF＝AF＝×＝，
∴OA＝2OF＝，
即⊙O的半径为．
23．解（1）连接OA并延长AO交BC于E，
∵AB＝AC，
∴弧AB＝弧AC，
∵AE过圆心O，
∴AE垂直平分BC（平分弧的直径垂直平分弧所对的弦），
∴AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAE，
∵OA＝OB，
∴∠ABD＝∠BAE，
∴∠BAC＝2∠ABD；
（2）设∠ABD＝x，
由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x，
∴∠BDC＝3x，
△BCD是等腰三角形，
①若BD＝BC，
则∠C＝∠BDC＝3x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝3x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴3x+3x+2x＝180°，
解得x＝22.5°，
∴∠BCD＝3x＝67.5°，
②若BC＝CD，则∠BDC＝∠CBD＝3x，
∴∠ABC＝∠ACB＝4x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴4x+4x+2x＝180°，
∴x＝18°，
∴∠BCD＝4x＝72°，
综上所述，△BCD是等腰三角形，∠BCD为67.5°或72°．
24．证明：（1）∵AC＝BD，
∴＝，
即+＝+，
∴＝，
∴∠ADB＝∠CAD，
∴AE＝DE；
（2）作直径CF，连接DF，如图2，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠CAD＝90°，
∵∠ACB＝∠ADE，∠F＝∠CAD，
∴∠ACB+∠F＝90°，
∵CF为直径，
∴∠CDF＝90°，
∴∠F+∠FCD＝90°，
∴∠ACB＝∠FCD，
即∠OCD＝∠ACB．
25．解：（1）如图，∵，
∴∠P＝∠C，
∵∠1＝∠C，
∴∠1＝∠P，
∴CB∥PD；
（2）∵CD⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∵∠CBE＝55°，
∴∠C＝90°﹣55°＝35°，
∴∠P＝∠C＝35°；
（3）∵CE⊥BE，
∴CE2＝CB2﹣BE2，
∵CB＝3，BE＝2，
∴CE＝，
∵AB⊥CD
∴DE＝CE，CD＝2CE＝2．
26．解：（1）∵CE＝ED，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣5）cm，
CE＝CD＝×10＝5cm，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得：
OC2＝OE2+CE2，
即R2＝（R﹣5）2+（5）2，
解得R＝10．
∴圆O的直径2R＝20cm；
（3）在Rt△OEC中，OE＝10﹣5＝5＝OC，
∴∠OCE＝30°，
∴∠EOC＝60°，
∴劣弧BC的长是＝cm．
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