浙教版2021年九年级上册第1章《二次函数》本章达标测试卷（含解析）

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浙教版2021年九年级上册第1章《二次函数》本章达标测试卷
（满分120分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．二次函数y＝（x﹣1）2+3图象的顶点坐标是（　　）
A．（1，3）
B．（1，﹣3）
C．（﹣1，3）
D．（﹣1，﹣3）
2．将抛物线y＝2x2向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x﹣4）2﹣1
B．y＝2（x+4）2+1
C．y＝2（x﹣4）2+1
D．y＝2（x+4）2﹣1
3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如表：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
﹣5
﹣5
﹣9
﹣17
…
则该函数的对称轴为（　　）
A．y轴
B．直线x＝
C．直线x＝1
D．直线x＝
4．若关于x的二次函数y＝x2+x﹣a+与x轴有两个不同的交点，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥2
B．a≤2
C．a＞2
D．a＜2
5．一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（　　）
A．﹣2
B．﹣4
C．2
D．4
7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误的是（　　）
A．ac＜0
B．2a﹣b＝0
C．b2﹣4ac＞0
D．a﹣b+c＝0
8．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y＝2（1+x）2
B．y＝（2+x）2
C．y＝2+2x2
D．y＝（1+2x）2
9．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y2＜y1
B．y2＜y3＜y1
C．y1＜y3＜y2
D．y1＜y2＜y3
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＝0；③b2﹣4ac＜8a；④5a+b+c＞0．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．y＝﹣2x2+5x﹣1的图象不经过　
　象限．
12．顶点为（3，1），形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为　
　．
13．已知抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3（2≤x≤5），则函数的最小值为　
　．
14．已知函数y＝x2﹣2x﹣3，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是　
　．
15．抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是　
　．
16．已知抛物线y＝ax2+bx+8经过点（3，2），则代数式3a+b+8的值为　
　．
17．如图，桥拱是抛物线形．若以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，则抛物线的解析式是y＝﹣x2．当水面距桥拱顶0.98m时，水面宽AB为　
　m．
18．抛物线y＝x2﹣x﹣2与y轴的负半轴交于C点，直线y＝kx+1交抛物线于A，B两点（A点在B点的左边），使得△ABC被y轴分成的两部分面积差为2，则k的值为　
　．
三．解答题（共8小题，满分58分）
19．（6分）已知二次函数y＝x2+4x﹣6．
（1）将二次函数的解析式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
20．（6分）二次函数y＝a（x﹣h）2的图象如图，已知a＝，OA＝OC，试求该抛物线的解析式．
21．（6分）如图，二次函数y＝x2+x+3的图象与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
22．（6分）一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x（元）与每月租出的车辆数（y）有如下关系：
x（元）
3000
3200
3500
4000
y（辆）
100
96
90
80
（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式；
（2）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．
23．（8分）如图所示，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
（1）求抛物线的解析式并写出顶点M的坐标；
（2）若点C在抛物线上，且点C的横坐标为8，求四边形AMBC的面积．
24．（8分）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为ym2．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果要围成面积为48m2的花圃，AB的长是多少？
（3）能围成比48m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积．
25．（9分）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
26．（9分）已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，DP的长最大？
（3）是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：∵y＝（x﹣1）2+3，
∴顶点坐标为（1，3），
故选：A．
2．解：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），
把点（0，0）先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（﹣4，1）
所以平移后所得的抛物线的解析式y＝2（x+4）2+1，
故选：B．
3．解：由表格可得，
该函数的对称轴是：直线x＝，
故选：B．
4．解：由题意得，1﹣4×（﹣a+）＞0，
解得，a＞2，
故选：C．
5．解：A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．
故选：C．
6．解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，
可知函数的对称轴x＝1，
∴＝1，
∴b＝2；
∴y＝﹣x2+2x+4，
将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；
故选：B．
7．解：由图象可知a＜0，c＞0，
∴ac＜0，
∴A选项不符合题意，
∵对称轴为x＝，
∴2a+b＝0，
∴B选项符合题意，
由抛物线的顶点位置可知，
∵a＜0，
∴4ac﹣b2＜0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴C选项不合题意，
∵抛物线与x轴右侧的交点的横坐标为3，对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴左侧的交点为﹣1，
即a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝a﹣b+c＝0，
∴D选项不合题意，
故选：B．
8．解：根据题意可得，y与x的函数关系式为：y＝2+2x+（2+2x）x＝2（1+x）2．
故选：A．
9．解：y＝（x﹣2）2+3的开口向上，对称轴为直线x＝2，
∵A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数y＝（x﹣2）2+3的图象上，且B在对称轴上，A到对称轴的距离最远，
∴y2＜y3＜y1，
故选：B．
10．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∴由于对称轴＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②抛物线过（3，0），
∴x＝3，y＝9a+3b+c＝0，故②正确；
③顶点坐标为：（，）
由图象可知：＜﹣2，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣8a，
即b2﹣4ac＞8a，故③错误；
④由图象可知：＞1，a＞0，
∴2a+b＜0，
∵9a+3b+c＝0，
∴c＝﹣9a﹣3b，
∴5a+b+c＝5a+b﹣9a﹣3b＝﹣4a﹣2b＝﹣2（2a+b）＞0，故④正确；
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．解：∵y＝﹣2x2+5x﹣1＝﹣2（x﹣）2+，
∴抛物线开口向下，顶点为（，），抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），
∴该函数图象不经过第二象限．
故答案为：第二．
12．解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∵形状与函数y＝x2的图象相同且开口方向相反，
∴a＝，
把a＝，顶点（3，1）代入得：
y＝（x﹣3）2+1＝x2+2x﹣2，
故答案为：y＝x2+2x﹣2．
13．解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该函数图象开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的在增大而减小，
∵2≤x≤5，
∴当x＝2时，该函数取得最小值，此时y＝﹣3，
故答案为：﹣3．
14．解：∵函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该函数图象开口向上，当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，
故答案为：x＜1．
15．解：∵抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数），
∴当y＝0时，0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k，
∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4×2×（﹣k）＝4k2+4＞0，
∴0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k有两个不相等的实数根，
∴抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴有两个交点，
故答案为：2．
16．解：∵抛物线y＝ax2+bx+8经过点（3，2），
∴9a+3b+8＝2，
∴3a+b＝﹣2，
∴3a+2b+8＝﹣2+8＝6．
故答案为6．
17．解：根据题意，当y＝﹣0.98时，﹣x2＝﹣0.98，
解得x＝±1.4，
则AB＝1.4﹣（﹣1.4）＝2.8（m），
故答案为：2.8．
18．解：设直线直线y＝kx+1与y轴的交点为点D，则D（0，1），
∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与y轴的负半轴交于C点，
∴C（0，﹣2），
∴CD＝3，
联立方程组，
解得，，或，
∴A（），B（），
∵△ABC被y轴分成的两部分面积差为2．
∴﹣＝2，
或﹣＝2，
解得，k＝，或k＝﹣，
解法二：联立方程组，
消去y得到，x2﹣（1+k）x﹣3＝0．
若S△BOD﹣S△AOD＝2，则有?|xB|?CD﹣?|xA|?CD＝2，
∴xB+xA＝，
∴1+k＝，
∴k＝．
若S△AOD﹣S△BOD＝2，则有?|xA|?CD﹣?|xB|?CD＝2，
∴xB+xA＝﹣，
∴1+k＝﹣，
∴k＝﹣，
综上所述，k＝或k＝﹣．
三．解答题（共8小题，满分58分）
19．解：（1）y＝x2+4x+4﹣6﹣4＝（x2+4x+4）﹣10
＝（x+2）2﹣10；
（2）y＝（x+2）2﹣10，
∵a＝1＞0，
∴二次函数图象的开口向上．对称轴是直线x＝﹣2，顶点坐标是（﹣2，﹣10）．
20．解：把a＝代入得：y＝（x﹣h）2，
根据OA＝OC，得到h2＝h，即h（h﹣2）＝0，
解得：h＝0（不合题意，舍去）或h＝2，
则抛物线解析式为y＝（x﹣2）2＝x2﹣2x+2．
21．解：（1）y＝x2+x+3，令x＝0，则y＝3，
令y＝0，即y＝x2+x+3＝0，
解得：x＝4或﹣1，
故点A、B、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0）、（0，3）；
（2）△ABC的面积＝×AB×OC＝（4+1）×3＝．
22．解：（1）由表格数据可知y与x是一次函数关系，
设其解析式为y＝kx+b．
由题意可得：，
解得：，
∴y与x间的函数关系是y＝﹣x+160．
（2）设租赁公司获得的月收益为w元，
依题意可得：w＝xy＝﹣x2+160x．
当x＝﹣＝4000时，Wmax＝320000（元），
答：当每辆车的月租金为4000元时，公司获得最大月收益320000元．
23．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0）．
∴函数的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝（x2﹣4x﹣5）＝x2﹣x﹣，
点M坐标为（2，﹣3）；
（2）当x＝8时，y＝（x+1）（x﹣5）＝9，即点C（8，9），
因为AB＝5+1＝6，
且△ABM、△ABC的高分别是点M、点C纵坐标的绝对值，
所以S四边形AMBC＝S△ABM+S△ABC＝+＝36．
24．解：（1）由题意得：
y＝x（30﹣3x），即y＝﹣3x2+30x．
（2）当y＝68时，﹣3x2+30x＝48．
解此方程得x1＝8，x2＝2．
当x＝8时，30﹣3x＝6＜10，符合题意；
当x＝2时，30﹣3x＝24＞10，不符合题意，舍去；
∴当AB的长为8m时，花圃的面积为68m2．
（3）能．
y＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75
而由题意：0＜30﹣3x≤10，
即≤x＜10
又当x＞5时，y随x的增大而减小，
∴当x＝m时面积最大，最大面积为m2．
25．解：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，
将x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5，
∴点（2，4）不在抛物线上；
（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），
化简得（，），
顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，
而＝﹣（m﹣3）2+5，
∴m＝3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，
此时顶点坐标为：（2，5）；
（3）设直线EF解析式为y＝kx+b，将E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：
，解得，
∴直线EF的解析式为y＝2x+1，
由得：或，
∴直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），
而（2，5）在线段EF上，
∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，
∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此时2m+3＝5），
∴此时抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝＝＝1．
26．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，
∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴A（0，3），
∴直线AB解析式为y＝x+3，
∵点P在线段AB上方抛物线上，
∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），
∴D（t，t+3），
∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝，
∵a＝﹣1＜0，
∴当时，DP的长最大，
此时，点P的坐标为（﹣，）；
（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形，
设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3），
∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
∵PE∥x轴交抛物线于点E，
∴E、P关于对称轴对称，
∴xE﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣t，
∴xE＝﹣2﹣t，
∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|，
∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°，
∴PD＝PE，
①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t，
∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t，
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2，
∴P（﹣2，3），
②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t，
∴﹣t2﹣3t＝2+2t，
解得：t1＝，t2＝（舍去），
∴P（，），
综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时，使△PDE为等腰直角三角形．
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精品试卷·第
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