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2.2等腰三角形
同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2021春?峄城区期末）已知等腰三角形的周长为17，一边长为7，则此等腰三角形的底边长为（ ）
A．3
B．7
C．3或7
D．3或5
解：本题可分两种情况：
①当腰长为7时，底边长＝17﹣2×7＝3；经检验，符合三角形三边关系；
②底边长为7，此时腰长＝（17﹣7）÷2＝5，经检验，符合三角形三边关系；
因此该等腰三角形的底边长为3或7．
故选：C．
2．（2021春?威宁县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝25°，则∠CAD的度数为（ ）
A．55°
B．65°
C．75°
D．85°
解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠BAD＝65°，
∴∠CAD＝65°，
故选：B．
3．（2021春?铁西区期末）AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（ ）
A．10
B．5
C．4
D．3
解：∵AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，
∴CD＝5．
故选：B．
4．（2021春?沙坪坝区校级期末）若等腰三角形的两边a、b满足，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．9
B．12
C．15
D．12或15
解：根据题意得，a﹣3＝0，b﹣6＝0，
解得a＝3，b＝6，
当3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6，
∵3+3＝6，
∴不能组成三角形，
当3是底边时，三角形的三边分别为3、6、6，
能组成三角形，周长＝3+6+6＝15，
∴三角形的周长为15．
故选：C．
5．（2021春?新乡期末）已知一等腰三角形的两边长分别为6cm和13cm，则该三角形第三条边的长为（ ）
A．6cm
B．7cm
C．13cm
D．12cm
解：分两种情况考虑：
若6cm为等腰三角形的腰长，则三边分别为6cm，6cm，13cm，6+6＜13，不符合题意，舍去；
若13cm为等腰三角形的腰长，则三边分别为6cm，13cm，13cm，符合题意，
则第三条边的长是13cm．
故选：C．
6．（2021春?盐湖区校级期末）若等腰三角形的一个角是80°，则此等腰三角形的顶角为（ ）
A．80°
B．20°
C．80°或20°
D．40°
解：当80°角为顶角时，则等腰三角形的顶角为80°；
当80°角为底角时，等腰三角形的顶角为180°﹣80°﹣80°＝20°，
即此等腰三角形的顶角为80°或20°．
故选：C．
7．（2021?陕西模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×AB?DE＝AB?DE＝2AB，
∵S△ABC＝AC?BF，
∴AC?BF＝2AB，
∵AC＝AB，
∴BF＝2，
∴BF＝4，
故选：B．
8．（2021春?河南期末）等腰三角形的一边长9cm，另一边长4cm，则它的周长是（ ）
A．22
cm
B．17
cm
C．22cm或17cm
D．无法确定
解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，
∵4+4＜9，
∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；
②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，
此时符合三角形的三边关系定理，
此时等腰三角形的周长是4cm+9cm+9cm＝22cm，
故选：A．
二．填空题（共4小题）
9．（2021春?卧龙区期末）若等腰三角形的周长为12，三边长都是整数，则其底边长为
2或4 ．
解：当腰长为4时，则底边＝12﹣8＝4，因为4﹣4＜4＜4+4，所以符合题意；
当腰长是5时，则底边＝12﹣10＝2，因为5﹣2＜5＜5+2，所以符合题意；
当腰长为3时，则底边＝12﹣6＝6，因为3+3＝6，所以不合题意，故舍去；
当腰长为6时，则底边＝12﹣12＝0，不符合题意，故舍去；
故答案为：2或4．
10．（2021春?宁阳县期末）等腰三角形的一个内角为70°，则这个等腰三角形的三个角的度数为
70°，55°，55°或40°，70°，70° ．
解：70°角是顶角时，底角为（180°﹣70°）＝55°，
此时，三个角的度数为70°，55°，55°；
70°角是底角时，顶角为180°﹣70°×2＝40°，
此时，三个角的度数为40°，70°，70°．
综上所述，这个等腰三角形的三个角的度数为：70°，55°，55°或40°，70°，70°．
故答案为：70°，55°，55°或40°，70°，70°．
11．（2021春?周村区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是
35° ．
解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴∠BAD＝∠CAD＝20°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝＝70°，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°，
故答案为：35°．
12．（2021春?闵行区校级月考）在△ABC中，∠A＝140°，AB＝AC，点D是边BC上一点（不与点B，C重合），过点D作DE⊥BC，交射线BA于点E，连结AD，如果△ADE是等腰三角形，则∠BAD的度数为
35°或110°或125° ．
解：∵∠BAC＝140°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝20°，
分三种情况：
①如图：DE⊥BC，交线段BA于点E，△ADE是等腰三角形，AE＝DE，
∵DE⊥BC，∠B＝20°，
∴∠BED＝70°，
∵AE＝DE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∵∠BED＝∠BAD+∠ADE＝70°，
∴∠BAD＝35°；
②如图：DE⊥BC，交线段BA的延长线于点E，△ADE是等腰三角形，AE＝DE，
∵DE⊥BC，∠B＝20°，
∴∠BED＝70°，
∵AE＝DE，
∴∠EAD＝∠ADE＝55°，
∴∠BAD＝180°﹣∠EAD＝180°﹣55°＝125°；
③如图：DE⊥BC，交线段BA的延长线于点E，△ADE是等腰三角形，AD＝DE，
∵DE⊥BC，∠B＝20°，
∴∠BED＝70°，
∵AD＝DE，
∴∠EAD＝∠AED＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣∠EAD＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：35°或110°
或125°．
三．解答题（共4小题）
13．（2021春?项城市期末）已知等腰三角形的周长为15，其一边长为7，另外两边长分别是多少？
解：①当等腰三角形的底长为7时，腰长＝（15﹣7）÷2＝4；
则等腰三角形的三边长为7、4、4；能构成三角形．
②当等腰三角形的腰长为7时，底长＝15﹣2×7＝1；
则等腰三角形的三边长为7、7、1，亦能构成三角形．
故等腰三角形另外两边的长为7，1或4，4．
14．（2021春?兴隆县期末）已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C，AD是△ABC外角∠EAC的平分线．先猜想AD与BC的位置关系，再进行说理．
解：AD∥BC．
理由：∵AD是△ABC外角∠EAC的平分线，
∴∠EAD＝∠CAD＝∠EAC，
∵∠B＝∠C，∠EAC是三角形ABC的外角，
∴∠EAC＝∠B+∠C，
∴∠CAD＝∠C，
∴AD∥BC．
15．（2021春?南召县期末）已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6；3n；n+2．（n为正整数）
（1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长；
（2）若这个三角形的三条边都不相等，且为正整数，直接写出n的最大值为
7 ．
解：（1）①如果n+2＝3n，
解得n＝1，
三角形三边的长为3，3，7，不符合三角形三边关系；
②如果n+6＝3n，
解得n＝3，
三角形三边的长为5，9，9，符合三角形三边关系．
综上所述，等腰三角形三边的长为5，9，9；
（2）n的最大值为7．
由三角形三边关系知，，
解得，
∵三角形的三条边都不相等，且为正整数，
∴n的最大值为7．
故答案为：7．
16．（2021春?曾都区期末）上学期我们利用三角板探究了两个角之间的关系，现在我们利用量角器来开展两角之间数量关系的探究活动．已知射线AM∥BN，连接AB，P是射线AM上的一个动点（不与点A重合）．
（1）如图1，当PB平分∠ABN时，利用量角器探究发现∠ABP＝∠APB，请说明理由．
（2）如图2，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D，利用量角器探究发现∠APB与∠ADB之间的数量关系保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，点P继续在射线AM上运动，当运动到使∠ACB＝∠ABD时，我们发现∠CBD与∠A之间存在某种数量关系，请你用含∠A的式子表示∠CBD．
（2）∠APB＝2∠ADB．
理由：∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∵AM∥BN，
∴∠PBN＝∠APB，∠ADB＝∠DBN．
∴∠APB＝2∠ADB．
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
∵∠ACB＝∠ABD，
∴∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC＝∠DBN，
∵BC，BD分别平分∠ABP，∠PBN，
∴，
∵∠ABN+∠A＝180°，
∴．
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2.2等腰三角形
同步练习
一．选择题（共8小题）
1．（2021春?峄城区期末）已知等腰三角形的周长为17，一边长为7，则此等腰三角形的底边长为（ ）
A．3
B．7
C．3或7
D．3或5
2．（2021春?威宁县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，∠B＝25°，则∠CAD的度数为（ ）
A．55°
B．65°
C．75°
D．85°
3．（2021春?铁西区期末）AD是等腰三角形ABC的顶角平分线，BD＝5，则CD等于（ ）
A．10
B．5
C．4
D．3
4．（2021春?沙坪坝区校级期末）若等腰三角形的两边a、b满足，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．9
B．12
C．15
D．12或15
5．（2021春?新乡期末）已知一等腰三角形的两边长分别为6cm和13cm，则该三角形第三条边的长为（ ）
A．6cm
B．7cm
C．13cm
D．12cm
6．（2021春?盐湖区校级期末）若等腰三角形的一个角是80°，则此等腰三角形的顶角为（ ）
A．80°
B．20°
C．80°或20°
D．40°
7．（2021?陕西模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．（2021春?河南期末）等腰三角形的一边长9cm，另一边长4cm，则它的周长是（ ）
A．22
cm
B．17
cm
C．22cm或17cm
D．无法确定
二．填空题（共4小题）
9．（2021春?卧龙区期末）若等腰三角形的周长为12，三边长都是整数，则其底边长为
．
10．（2021春?宁阳县期末）等腰三角形的一个内角为70°，则这个等腰三角形的三个角的度数为
．
11．（2021春?周村区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是
．
12．（2021春?闵行区校级月考）在△ABC中，∠A＝140°，AB＝AC，点D是边BC上一点（不与点B，C重合），过点D作DE⊥BC，交射线BA于点E，连结AD，如果△ADE是等腰三角形，则∠BAD的度数为
．
三．解答题（共4小题）
13．（2021春?项城市期末）已知等腰三角形的周长为15，其一边长为7，另外两边长分别是多少？
14．（2021春?兴隆县期末）已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C，AD是△ABC外角∠EAC的平分线．先猜想AD与BC的位置关系，再进行说理．
15．（2021春?南召县期末）已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6；3n；n+2．（n为正整数）
（1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长；
（2）若这个三角形的三条边都不相等，且为正整数，直接写出n的最大值为
．
16．（2021春?曾都区期末）上学期我们利用三角板探究了两个角之间的关系，现在我们利用量角器来开展两角之间数量关系的探究活动．已知射线AM∥BN，连接AB，P是射线AM上的一个动点（不与点A重合）．
（1）如图1，当PB平分∠ABN时，利用量角器探究发现∠ABP＝∠APB，请说明理由．
（2）如图2，BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D，利用量角器探究发现∠APB与∠ADB之间的数量关系保持不变，请写出它们的关系，并说明理由．
（3）在（2）的条件下，点P继续在射线AM上运动，当运动到使∠ACB＝∠ABD时，我们发现∠CBD与∠A之间存在某种数量关系，请你用含∠A的式子表示∠CBD．
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