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2.3等腰三角形的性质定理
同步练习
一．选择题（共8小题）
1．（2021春?皇姑区期末）如图，△ABC中，点D为BC边上的一点，且BD＝BA，连结AD，BP平分∠ABC交AD于点P，连结PC，若△ABC面积为2cm2，则△BPC的面积为（ ）．
A．0.5cm2
B．1cm2
C．1.5cm2
D．2cm2
2．（2021春?七星关区期末）一等腰三角形的两边长分别为10和5，那么该等腰三角形的周长为（ ）
A．25
B．20
C．20或25
D．都不正确
3．（2021春?长丰县期末）如图，在△ABC中，AB＝AD＝CD，∠C＝38.5°，则∠BAD＝（ ）
A．26°
B．28°
C．36°
D．38.5°
4．（2021春?沙坪坝区校级期末）若等腰三角形的两边a、b满足，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．9
B．12
C．15
D．12或15
5．（2021春?三水区期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
6．（2021春?七星关区期末）已知等腰三角形中有两边长分别为4cm和8cm，那么此三角形的周长为（ ）
A．16cm
B．20cm
C．16cm或20cm
D．以上都不正确
7．（2021春?威宁县期末）等腰三角形的一个底角是80°，则顶角的度数是（ ）
A．20°
B．50°
C．20°或50°
D．50°或80°
8．（2021春?碑林区校级期末）如图，已知△ABC的面积为24，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DF长为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
二．填空题（共4小题）
9．（2021春?皇姑区期末）若等腰三角形的三边长分别为1cm，2cm，xcm，则x＝
．
10．（2021春?渠县校级期末）小明现在有两根5cm，10cm的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选一根
长的木棒．
11．（2021春?叶县期末）定义：等腰三角形的底边与一腰的比值称为“完美比”，若等腰△ABC的周长为13cm，AB＝5cm，则它的“完美比”k＝
．
12．（2021春?宁阳县期末）等腰三角形的一个内角为70°，则这个等腰三角形的三个角的度数为
．
三．解答题（共4小题）
13．（2021春?威宁县期末）如图，在△ABC中，若AB＝AC，∠BAC＝38°，∠CAD＝71°．则AD与BC平行吗？请说明理由．（请将说明过程补充完整）
解：AD∥BC．理由如下：
因为AB＝AC（已知），
所以∠B＝
（等腰三角形的两个底角相等）．
又因为∠BAC＝38°（已知），
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°
（
）．
所以∠C＝∠B＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣38°）＝71°．
而∠CAD＝71°
（
），
所以∠CAD＝
．
所以AD∥BC（
）．
14．（2021春?汝州市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠E的度数．
（2）若F是DE上的一点，且AD＝AF，BF与DE相等吗？请说明理由．
15．（2021春?万州区期末）已知，△ABC三条边的长分别为a、b、c．
（1）若（a﹣2）2+|b﹣4|＝0，当△ABC为等腰三角形，求△ABC的周长．
（2）化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|+2|a+b|．
16．（2020秋?南关区期末）图①、图②均是三个角分别为20°，40°，120°的三角形．在图①、图②中，过三角形的一个顶点作直线把此三角形分成两个等腰三角形（图①、图②中的分割线不同）．要求画出分割线，并标出等腰三角形底角的度数．
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精品试卷·第
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2.3等腰三角形的性质定理
同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2021春?皇姑区期末）如图，△ABC中，点D为BC边上的一点，且BD＝BA，连结AD，BP平分∠ABC交AD于点P，连结PC，若△ABC面积为2cm2，则△BPC的面积为（ ）．
A．0.5cm2
B．1cm2
C．1.5cm2
D．2cm2
解：∵BD＝BA，BP平分∠ABC，
∴AP＝PD，
∴△APB的面积＝△DPB的面积，△APC的面积＝△DPC的面积，
∴△BPC的面积＝×△ABC的面积＝1（cm2），
故选：B．
2．（2021春?七星关区期末）一等腰三角形的两边长分别为10和5，那么该等腰三角形的周长为（ ）
A．25
B．20
C．20或25
D．都不正确
解：①当10为腰长时，三角形的三边长为：10、10、5，满足三角形的三边关系，其周长为10+10+5＝25；
②当5为腰长时，三角形的三边长为：5、5、10，此时10＝5+5，不满足三角形的三边关系，不合题意．
综上所述，该等腰三角形的周长为25．
故选：A．
3．（2021春?长丰县期末）如图，在△ABC中，AB＝AD＝CD，∠C＝38.5°，则∠BAD＝（ ）
A．26°
B．28°
C．36°
D．38.5°
解：∵AD＝DC
∴∠DAC＝∠C，
∵∠C＝38.5°，
∴∠DAC＝38.5°，
∴∠BDA＝∠C+∠DAC═77°，
∵AB＝AD
∴∠BDA＝∠B＝77°，
∴∠BAD＝180°﹣∠BDA﹣∠B＝26°．
故选：A．
4．（2021春?沙坪坝区校级期末）若等腰三角形的两边a、b满足，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．9
B．12
C．15
D．12或15
解：根据题意得，a﹣3＝0，b﹣6＝0，
解得a＝3，b＝6，
当3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6，
∵3+3＝6，
∴不能组成三角形，
当3是底边时，三角形的三边分别为3、6、6，
能组成三角形，周长＝3+6+6＝15，
∴三角形的周长为15．
故选：C．
5．（2021春?三水区期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
6．（2021春?七星关区期末）已知等腰三角形中有两边长分别为4cm和8cm，那么此三角形的周长为（ ）
A．16cm
B．20cm
C．16cm或20cm
D．以上都不正确
解：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，
当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm＝8cm不满足三角形的三边关系；
当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．
故选：B．
7．（2021春?威宁县期末）等腰三角形的一个底角是80°，则顶角的度数是（ ）
A．20°
B．50°
C．20°或50°
D．50°或80°
解：∵等腰三角形的底角为80°，
∴它的一个顶角为180°﹣80°﹣80°＝20°．
故选：A．
8．（2021春?碑林区校级期末）如图，已知△ABC的面积为24，AB＝AC＝8，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DF＝2DE，则DF长为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
解：连接AD，
则：S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
即：×8?DF+8?DE＝24，
可得：DE+DF＝6，
∵DF＝2DE，
∴DF＝4，
故选：A．
二．填空题（共4小题）
9．（2021春?皇姑区期末）若等腰三角形的三边长分别为1cm，2cm，xcm，则x＝ 2 ．
解：当2为底时，三角形的三边为1，2，1，不能构成三角形；
当1为底时，三角形的三边为1，2，2，可以构成三角形，
此时x＝2．
故答案为：2．
10．（2021春?渠县校级期末）小明现在有两根5cm，10cm的木棒，他想以这两根木棒为边做一个等腰三角形，还需再选一根
10cm 长的木棒．
解：①5cm是腰长时，三角形的三边长分别为5cm、5cm、10cm，
∵5+5＝10，
∴5cm、5cm、10cm不能组成三角形；
②5cm是底边时，三角形的三边长分别为5cm、10cm、10cm，
能够组成三角形，
综上所述，还需再选一根10cm长的木棒．
故答案为：10cm．
11．（2021春?叶县期末）定义：等腰三角形的底边与一腰的比值称为“完美比”，若等腰△ABC的周长为13cm，AB＝5cm，则它的“完美比”k＝ 0.6或1.25 ．
解：当AB腰时，则底边＝3cm；
此时，完美比k＝＝0.6；
当AB为底边时，则腰为4；
此时，完美比k＝＝1.25；
故答案为：0.6或1.25．
12．（2021春?宁阳县期末）等腰三角形的一个内角为70°，则这个等腰三角形的三个角的度数为
70°，55°，55°或40°，70°，70° ．
解：70°角是顶角时，底角为（180°﹣70°）＝55°，
此时，三个角的度数为70°，55°，55°；
70°角是底角时，顶角为180°﹣70°×2＝40°，
此时，三个角的度数为40°，70°，70°．
综上所述，这个等腰三角形的三个角的度数为：70°，55°，55°或40°，70°，70°．
故答案为：70°，55°，55°或40°，70°，70°．
三．解答题（共4小题）
13．（2021春?威宁县期末）如图，在△ABC中，若AB＝AC，∠BAC＝38°，∠CAD＝71°．则AD与BC平行吗？请说明理由．（请将说明过程补充完整）
解：AD∥BC．理由如下：
因为AB＝AC（已知），
所以∠B＝ ∠C （等腰三角形的两个底角相等）．
又因为∠BAC＝38°（已知），
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°
（
三角形内角和定理 ）．
所以∠C＝∠B＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣38°）＝71°．
而∠CAD＝71°
（
已知 ），
所以∠CAD＝ ∠C ．
所以AD∥BC（
内错角相等，两直线平行 ）．
解：AD∥BC．理由如下：
因为AB＝AC（已知），
所以∠B＝∠C（等腰三角形的两个底角相等）．
又因为∠BAC＝38°（已知），
在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°
（
三角形内角和定理）．
所以∠C＝∠B＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣38°）＝71°．
而∠CAD＝71°
（
已知），
所以∠CAD＝∠C．
所以AD∥BC（
内错角相等，两直线平行）．
故答案为：∠C；三角形内角和定理；已知；∠C；内错角相等，两直线平行．
14．（2021春?汝州市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的角平分线交AC于点D，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．
（1）若∠BAC＝50°，求∠E的度数．
（2）若F是DE上的一点，且AD＝AF，BF与DE相等吗？请说明理由．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝65°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝32.5°，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠CBD＝32.5°．
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AE∥BC，
∴∠AEF＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠AEF，
∵AD＝AF，
∴∠ADF＝∠AFD，
∵∠ADB＝180°﹣∠ADF，∠AFE＝180°﹣∠AFD，
∴∠ADB＝∠AFE，
在△ABD与△AEF中，
，
∴△ABD≌△AEF（AAS），
∴BD＝EF，
∴BD+DF＝EF+DF，
∴BF＝DE．
15．（2021春?万州区期末）已知，△ABC三条边的长分别为a、b、c．
（1）若（a﹣2）2+|b﹣4|＝0，当△ABC为等腰三角形，求△ABC的周长．
（2）化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|+2|a+b|．
（2）∵△ABC三条边的长分别为a、b、c，
∴a﹣b﹣c＜0，a+b﹣c＞0，a+b＞0，
∴|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|+2|a+b|＝﹣a+b+c﹣a﹣b+c+2a+2b＝2b+2c．
16．（2020秋?南关区期末）图①、图②均是三个角分别为20°，40°，120°的三角形．在图①、图②中，过三角形的一个顶点作直线把此三角形分成两个等腰三角形（图①、图②中的分割线不同）．要求画出分割线，并标出等腰三角形底角的度数．
解：如图所示：
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