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2.5逆命题和逆定理
同步练习
一．选择题（共8小题）
1．（2021春?南浔区期末）用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设（ ）
A．a＜0
B．a≠0
C．a≥0
D．a≤0
2．（2021春?东阳市期末）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，先假设（ ）
A．每个内角都小于60°
B．每个内角都大于60°
C．没有一个内角小于等于60°
D．每个内角都等于60°
3．（2021春?威宁县期末）用反证法证明命题“在△ABC中，若∠A＜∠B，那么a＜b”的结论的否定应该是（ ）
A．a＞b
B．a≥b
C．a＝b
D．a≤b
4．（2020秋?永年区期末）用反证法证明命题“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”时，证明的第一个步骤是（ ）
A．假设AB不平行于CD
B．假设AB不平行于EF
C．假设CD∥EF
D．假设CD不平行于EF
5．（2021春?嵊州市期末）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①②
B．③④②①
C．①②③④
D．③④①②
6．（2021春?诸暨市期末）对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2，b＝﹣2
B．a＝﹣2，b＝3
C．a＝﹣3，b＝3
D．a＝3，b＝3
7．（2021春?成都月考）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（ ）
A．两锐角都大于45°
B．有一个锐角小于45°
C．有一个锐角大于45°
D．两锐角都小于45°
8．（2021春?龙华区期中）下列说法：
①真命题的逆命题一定是真命题；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等；
④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”．
其中，正确的说法有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题（共4小题）
9．（2021春?余姚市期末）用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，则应假设
．
10．（2021春?新城区期中）用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，第一步应先假设：
．
11．（2021春?南海区校级月考）在用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”时，第一步应该假设
．
12．（2021春?萍乡期末）用反证法证明“若a，b为实数，且ab＝0，则a，b至少有一个为0”的第一步应假设
．
三．解答题（共4小题）
13．（2021春?秦都区月考）用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
14．（2020春?渭南期中）用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．
求证：∠1＝∠A+∠B．
15．（2020秋?滦南县期末）阅读下列文字，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B．
所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．
16．（2017秋?庆元县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）
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2.5逆命题和逆定理
同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2021春?南浔区期末）用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设（ ）
A．a＜0
B．a≠0
C．a≥0
D．a≤0
解：用反证法证明某个命题的结论“a＞0”时，第一步应假设a≤0，
故选：D．
2．（2021春?东阳市期末）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，先假设（ ）
A．每个内角都小于60°
B．每个内角都大于60°
C．没有一个内角小于等于60°
D．每个内角都等于60°
解：用反证法证明“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，应先假设在三角形中，没有一个内角大于或等于60°，即每个内角都小于60°．
故选：A．
3．（2021春?威宁县期末）用反证法证明命题“在△ABC中，若∠A＜∠B，那么a＜b”的结论的否定应该是（ ）
A．a＞b
B．a≥b
C．a＝b
D．a≤b
解：用反证法证明命题“在△ABC中，若∠A＜∠B，那么a＜b”的结论的否定应该是a≥b，
故选：B．
4．（2020秋?永年区期末）用反证法证明命题“如图，如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”时，证明的第一个步骤是（ ）
A．假设AB不平行于CD
B．假设AB不平行于EF
C．假设CD∥EF
D．假设CD不平行于EF
解：∵用反证法证明命题：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF．
∴证明的第一步应是：从结论反面出发，假设CD不平行于EF．
故选：D．
5．（2021春?嵊州市期末）已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾
②因此假设不成立．∴∠B＜90°
③假设在△ABC中，∠B≥90°
④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①②
B．③④②①
C．①②③④
D．③④①②
解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：1、假设在△ABC中，∠B≥90°，
2、由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，
3、∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
4、因此假设不成立．∴∠B＜90°，
故选：D．
6．（2021春?诸暨市期末）对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．a＝﹣2，b＝﹣2
B．a＝﹣2，b＝3
C．a＝﹣3，b＝3
D．a＝3，b＝3
解：A．∵a＝﹣2，b＝﹣2，
∴|a|＝|b|，a＝b，∴不能作为对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”，是假命题的反例，故此选项错误；
B．∵a＝﹣2，b＝3，
∴|a|≠|b|，∴不能作为对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”，是假命题的反例，故此选项错误；
C．∵a＝﹣3，b＝3，
∴|a|＝|b|，a≠b，∴能作为对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”，是假命题的反例，故此选项正确；
D．∵a＝3，b＝3，
∴|a|＝|b|，a＝b，∴不能作为对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”，是假命题的反例，故此选项错误；
故选：C．
7．（2021春?成都月考）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（ ）
A．两锐角都大于45°
B．有一个锐角小于45°
C．有一个锐角大于45°
D．两锐角都小于45°
解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中两锐角都大于45°，
故选：A．
8．（2021春?龙华区期中）下列说法：
①真命题的逆命题一定是真命题；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等；
④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”．
其中，正确的说法有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：①真命题的逆命题不一定是真命题，例如：对顶角相等是真命题，其逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，故本小题说法错误；
②等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故本小题说法错误；
③三角形三边的垂直平分线交于一点且这一点到三角形三个顶点的距离相等，本小题说法正确；
④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”，本小题说法正确；
故选：B．
二．填空题（共4小题）
9．（2021春?余姚市期末）用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，则应假设
∠B＝∠C ．
解：用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，
应假设∠B＝∠C，
故答案为：∠B＝∠C．
10．（2021春?新城区期中）用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，第一步应先假设： 两直线平行，同位角不相等 ．
解：用反证法证明“两直线平行，同位角相等”时，第一步应先假设：两直线平行，同位角不相等，
故答案为：两直线平行，同位角不相等．
11．（2021春?南海区校级月考）在用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”时，第一步应该假设 一个三角形中有两个角是直角 ．
解：用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角”时，
第一步应该假设一个三角形中有两个角是直角，
故答案为：一个三角形中有两个角是直角．
12．（2021春?萍乡期末）用反证法证明“若a，b为实数，且ab＝0，则a，b至少有一个为0”的第一步应假设
a≠0，b≠0 ．
解：反证法证明“若a，b为实数，且ab＝0，则a，b至少有一个为0”的第一步，应假设a≠0，b≠0，
故答案为：a≠0，b≠0．
三．解答题（共4小题）
13．（2021春?秦都区月考）用反证法证明：任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
证明：假设△ABC的三个外角中至少有两个直角，
则△ABC的三个内角中至少有两个直角，不妨设∠B＝∠C＝90°，
所以∠A+∠B+∠C＞180°，
这与三角形内角和等于180°相矛盾，
所以任意三角形的三个外角中至多有一个直角．
14．（2020春?渭南期中）用反证法求证：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角．
求证：∠1＝∠A+∠B．
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角，
求证：∠1＝∠A+∠B，
证明：假设∠1≠∠A+∠B，
在△ABC中，∠A+∠B+∠2＝180°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠2，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠2，
∴∠1＝∠A+∠B，
与假设相矛盾，
∴假设不成立，
∴原命题成立即：∠1＝∠A+∠B．
15．（2020秋?滦南县期末）阅读下列文字，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．
证明：假设AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B．
所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC．
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．
解：有错误．改正：
假设AC＝BC，则∠A＝∠B，又∠C＝90°，
所以∠B＝∠A＝45°，这与∠A≠45°矛盾，所以AC＝BC不成立，所以AC≠BC．
16．（2017秋?庆元县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）
∴∠APD+∠CPD≥∠ADP+∠CDP，即∠APC≥∠ADC，
又∵∠APB＝∠ADC，
∴∠APC≥∠APB，与∠APB＞∠APC矛盾，
∴PB≥PC不成立，
综上所述，得：PB＜PC．
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