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2.4等腰三角形的判定定理
同步练习
一．选择题（共8小题）
1．（2021春?濮阳期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD，交AB于F，交CA延长线于G，下列说法正确的是（ ）
A．△ABD是等腰三角形
B．△AGF是等腰三角形
C．△BEF是等腰三角形
D．△ADC是等腰要三角形
2．（2020秋?来宾期末）下列长度的线段中，能组成等腰三角形的一组是（ ）
A．1，1，2
B．3，3，5
C．2，2，5
D．3，4，5
3．（2021春?秦都区月考）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝50°，若AB＝6cm，则AC的长为（ ）
A．4m
B．5cm
C．6cm
D．8cm
4．（2021春?和平区期末）如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①②④
B．②③④
C．①②③
D．①③④
5．（2021春?南海区期末）用一条长为36cm的细绳围成一个边长为8cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．14cm
B．8cm或14cm
C．12cm
D．8cm
6．（2021春?龙岗区期末）如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为（ ）
A．20°
B．140°
C．20°或140°
D．40°或140°
7．（2020秋?费县期末）如图，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（ ）
A．9
B．11
C．15
D．18
8．（2020秋?涪城区期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题（共4小题）
9．（2021春?西安期末）如图，∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若∠A＝80°，∠AED＝60°，则∠BFC的度数为
．
10．（2021春?崇州市期中）老师在投影屏上展示了如下一道试题：
已知：如图，BD平分∠ABC，AB＝AD．求证：AD∥BC．
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD（①角平分线定义）．
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB（②等角对等边）．
∴③∠ADB＝∠DBC，
∴AD∥BC（④内错角相等，两直线平行）．
则以上证明过程中，结论或者依据错误的一项是
．
11．（2021春?万柏林区校级月考）如图，△ABC的面积为6cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，则△PBC的面积是
cm2．
12．（2020秋?朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是
秒．
三．解答题（共4小题）
13．（2021春?南海区校级月考）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BP，CQ是△ABC两腰上的高．求证：△BCO是等腰三角形．
14．（2020秋?平阴县期末）如图△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，过O点做EF∥BC，交AB、AC于E、F，请写出图中线段EF与BE、CF间的数量关系，并说明理由．
15．（2021?淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．
16．（2020秋?抚顺县期末）△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．
（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；
（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．
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2.4等腰三角形的判定定理
同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2021春?濮阳期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD，交AB于F，交CA延长线于G，下列说法正确的是（ ）
A．△ABD是等腰三角形
B．△AGF是等腰三角形
C．△BEF是等腰三角形
D．△ADC是等腰要三角形
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AD，
∴∠G＝∠CAD，∠AFG＝∠BAD，
∴∠G＝∠AFG，
∴AG＝AF，
∴△AGF是等腰三角形，
△ABD、△BEF、△ADC无法证明其为等腰三角形，
故选：B．
2．（2020秋?来宾期末）下列长度的线段中，能组成等腰三角形的一组是（ ）
A．1，1，2
B．3，3，5
C．2，2，5
D．3，4，5
解：A、因为1+1＝2，所以不能构成三角形，本选项不符合题意．
B、因为3+3＞5，所以符合题意，能够构成等腰三角形，本选项符合题意．
C、因为2+2＜5，所以不能构成三角形，本选项不符合题意．
D、3，4，5是直角三角形，本选项不符合题意．
故选：B．
3．（2021春?秦都区月考）在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝50°，若AB＝6cm，则AC的长为（ ）
A．4m
B．5cm
C．6cm
D．8cm
解：在△ABC中，
∵∠A＝80°，∠B＝50°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC＝6cm，
故选：C．
4．（2021春?和平区期末）如图，下列4个三角形中，均有AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（ ）
A．①②④
B．②③④
C．①②③
D．①③④
解：图①中，∠A＝36°，AB＝AC，则∠ABC＝∠ACB＝72°，
以B为顶点，在△ABC内作∠ABD＝36°，则∠A＝∠ABD＝36°，
∴△ABD是等腰三角形，
而∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝36°，∠ACB＝72°，
∴∠ACB＝∠BDC＝72°，
∴△BDC是等腰三角形，
故直线BD将△ABC分成了两个小等腰三角形，①符合题意，如图：
图③中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠B＝∠C＝45°，
过A作作AE⊥BC于E，如图：
则△ABE和△ACE是等腰直角三角形，
故直线AE将△ABC分成了两个小等腰三角形，③符合题意；
图④中，∠BAC＝108°，AB＝AC，则∠B＝∠C＝36°，
以A为顶点，在△ABC内作∠BAF＝72°，如图：
则△ABF和△ACF都是等腰三角形，
故④符合题意；
图②是等边三角形，没有直线能将它分成两个小的等腰三角形，
故②不符合题意；
故选：D．
5．（2021春?南海区期末）用一条长为36cm的细绳围成一个边长为8cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的腰长为（ ）
A．14cm
B．8cm或14cm
C．12cm
D．8cm
解：分两种情况：
1、如果8cm长的边为底边，
则腰长为（36﹣8）÷2＝14cm，
2、如果8cm长的边为腰，
则底边为36﹣8﹣8＝20cm，
∵8+8＜20，
∴不能围成腰长是8cm的等腰三角形，
∴这个等腰三角形的腰长为14cm，
故选：A．
6．（2021春?龙岗区期末）如图，∠ABC＝40°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF＝DE，则∠DFB的度数为（ ）
A．20°
B．140°
C．20°或140°
D．40°或140°
解：以D为圆心，以DE长为半径画圆交AB于F，F'点，连接DF，DF'，则DE＝DF＝DF'，
∴∠DFF'＝∠DF'F，
∵BD平分∠ABC，由图形的对称性可知∠DFB＝∠DEB，
∵DE∥AB，∠ABC＝40°
∴∠DEB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠DFB＝140°；
当点F位于点F'处时，
∵DF＝DF'，
∴∠DF'B＝∠DFF'＝40°，
故选：D．
7．（2020秋?费县期末）如图，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为（ ）
A．9
B．11
C．15
D．18
解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，
∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，
∴ED＝EB，FD＝FC，
∵AB＝7，AC＝8，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝7+8＝15．
故选：C．
8．（2020秋?涪城区期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：
①当OB＝AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；
②当OA＝AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；
③当OA＝OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，
1+1+2＝4，
故选：D．
二．填空题（共4小题）
9．（2021春?西安期末）如图，∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若∠A＝80°，∠AED＝60°，则∠BFC的度数为
40° ．
解：∵∠A＝80°，∠AED＝60°，
∴∠ADE＝40°，
∵DF∥BC，
∴∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC＝20°，
∵CF平分∠ACG，
∴∠ACF＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣20°﹣120°＝40°，
故答案为40°．
10．（2021春?崇州市期中）老师在投影屏上展示了如下一道试题：
已知：如图，BD平分∠ABC，AB＝AD．求证：AD∥BC．
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD（①角平分线定义）．
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB（②等角对等边）．
∴③∠ADB＝∠DBC，
∴AD∥BC（④内错角相等，两直线平行）．
则以上证明过程中，结论或者依据错误的一项是 ② ．
证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD①（角平分线定义），
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB②（等边对等角），
∴③∠ADB＝∠DBC，
∴AD∥BC④（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：②．
11．（2021春?万柏林区校级月考）如图，△ABC的面积为6cm2，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，则△PBC的面积是 3 cm2．
解：延长AP交BC于点E，如图所示．
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，
∴∠ABP＝∠EBP．
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝EP．
∵△APC和△EPC等底同高，
∴S△APC＝S△CPE，
∴S△PBC＝S△BPE+S△CPE＝S△ABC＝×6＝3（cm2），
故答案为：3．
12．（2020秋?朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是 4 秒．
解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，
AP＝20﹣3x，AQ＝2x
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4．
故答案为：4．
三．解答题（共4小题）
13．（2021春?南海区校级月考）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BP，CQ是△ABC两腰上的高．求证：△BCO是等腰三角形．
证明：
在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB；
∵BP、CQ分别是两腰AC、AB上的高，
∴∠BQC＝∠CPB＝90°，
∵∠OBC＝90°﹣∠ACB，∠OCB＝90°﹣∠ABC，
∴∠OBC＝∠OCB；
∴OB＝OC，
∴△BCO为等腰三角形．
14．（2020秋?平阴县期末）如图△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，过O点做EF∥BC，交AB、AC于E、F，请写出图中线段EF与BE、CF间的数量关系，并说明理由．
解：EF＝BE+CF，
理由如下：
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBC，
∵EF∥BC，
∴∠OBC＝∠EOB，
∴∠EBO＝∠EOB，
∴EO＝BE，
同理可得OF＝FC，
∴EO+OF＝BE+FC，
即EF＝BE+CF．
15．（2021?淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．
解：（1）证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE．
16．（2020秋?抚顺县期末）△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．
（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；
（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．
解：（1）△APB是直角三角形，
理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝30°＝∠B＝∠APQ，
∵PQ∥AC，
∴∠BPQ＝∠C，
∴∠APB＝60°，
∴∠BAP＝90°，
∴△APB是直角三角形；
（2）当AQ＝QP时，
∴∠QAP＝∠APQ＝30°，
∴∠BQP＝∠QAP+∠APQ＝60°，
当AP＝PQ时，则∠AQP＝∠PAQ＝75°，
∴∠BQP＝105°，
当AQ＝AP时，则∠AQP＝∠APQ＝30°，
∵P不与B、C重合，
∴不存在，
综上所述：∠BQP＝105°或60°．
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