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2.8直角三角形全等的判定
同步练习
一．选择题（共8小题）
1．（2021春?福田区校级期中）如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（ ）
A．∠ABC＝∠ABD
B．∠BAC＝∠BAD
C．AC＝AD
D．AC＝BC
2．（2020秋?郫都区期末）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（ ）
A．HL
B．ASA
C．SAS
D．SSS
3．（2021春?株洲期末）下列语句中不正确的是（ ）
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
4．（2010春?吉安期末）在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（ ）
A．AB＝DE，AC＝DF
B．AC＝EF，BC＝DF
C．AB＝DE，BC＝EF
D．∠C＝∠F，BC＝EF
5．（2014春?栖霞市期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，AE＝5cm，BD＝2cm，则DE的长是（ ）
A．8
B．5
C．3
D．2
6．（2010?温州）如图，AC、BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．（2020秋?禹城市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；
（2）AB＝AC；
（3）∠B＝∠C；
（4）AD是△ABC的一条角平分线．
其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．（2017秋?启东市期中）已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（ ）
A．1
B．2
C．5
D．无法确定
二．填空题（共4小题）
9．（2021春?揭阳期末）如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动
分钟后，△CAP与△PQB全等．
10．（2019春?罗湖区期中）下列语句：①有一边对应相等的两个直角三角形全等；②一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③有两边相等的两直角三角形全等；④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，则这两个直角三角形必全等．其中正确的有
个．
11．（2011?资阳）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝
度．
12．（2020?北京一模）如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝
°．
三．解答题（共4小题）
13．（2021?永嘉县校级模拟）如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2．
求证：△ADE≌△BEC．
14．（2021秋?海淀区校级期中）已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．
15．（2021春?迎泽区校级月考）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．
16．（2021?蓬安县模拟）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
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2.8直角三角形全等的判定
同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2021春?福田区校级期中）如图，已知∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是（ ）
A．∠ABC＝∠ABD
B．∠BAC＝∠BAD
C．AC＝AD
D．AC＝BC
解：A．∵∠ABC＝∠ABD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；
B．∵∠BAC＝∠BAD，∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS），故本选项不符合题意；
C．∵∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝AD，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），故本选项符合题意；
D．根据∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，AC＝BC不能推出Rt△ABC≌Rt△ABD，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（2020秋?郫都区期末）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则能直接判断Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（ ）
A．HL
B．ASA
C．SAS
D．SSS
解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选：A．
3．（2021春?株洲期末）下列语句中不正确的是（ ）
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
解：A、∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，故本选项正确；
B、两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与斜边，可根据HL判定全等．故本选项正确；
C、有两个锐角相等的两个直角三角形相似，故本选项错误；
D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，故本选项正确．
故选：C．
4．（2010春?吉安期末）在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是（ ）
A．AB＝DE，AC＝DF
B．AC＝EF，BC＝DF
C．AB＝DE，BC＝EF
D．∠C＝∠F，BC＝EF
解：A、由SAS能判定△ABC和△DEF全等；
B、当∠A＝∠D＝90°时，AC与EF不是对应边，不能判定△ABC和△DEF全等；
C、由HL能判定△ABC和△DEF全等；
D、由AAS能判定△ABC和△DEF全等．
故选：B．
（2014春?栖霞市期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，AE＝5cm，BD＝2cm，则DE的长是（ ）
A．8
B．5
C．3
D．2
解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE于E，BD⊥CE于D，
∴∠CAE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD，
∴∠CAE＝∠BCD，
又∵∠AEC＝∠CDB＝90°，AC＝BC，
∴△AEC≌△CDB．
∴CE＝BD＝2，CD＝AE＝5，
∴ED＝CD﹣CE＝5﹣2＝3（cm）．
故选：C．
6．（2010?温州）如图，AC、BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：①在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SAS）；
②∵在△ABC和△DBC中
，
∴△ABC≌△DBC（SAS）；
③∵在△ABC和△ABD中
，
∴△ABC≌△ABD（SAS）；
④∵DE∥AC，
∴∠ACB＝∠DEC，
∵在△ABC和△DCE中
∴△ABC≌△DCE（AAS）．
故选：D．
7．（2020秋?禹城市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC的中点，以下结论：
（1）△ABD≌△ACD；
（2）AB＝AC；
（3）∠B＝∠C；
（4）AD是△ABC的一条角平分线．
其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：∵AD＝AD、∠ADB＝∠ADC、BD＝CD
∴（1）△ABD≌△ACD正确；
∴（2）AB＝AC正确；
（3）∠B＝∠C正确；
∠BAD＝∠CAD
∴（4）AD是△ABC的角平分线．
故选：D．
8．（2017秋?启东市期中）已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（ ）
A．1
B．2
C．5
D．无法确定
解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，
∵∠EDF+∠FDC＝90°，
∠GDC+∠FDC＝90°，
∴∠EDF＝∠GDC，
于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，
，
∴△DEF≌△DCG，
∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，
所以，S△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
9．（2021春?揭阳期末）如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动
4 分钟后，△CAP与△PQB全等．
解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；
则BP＝xm，BQ＝2xm，则AP＝（12﹣x）m，
分两种情况：
①若BP＝AC，则x＝4，
AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，
∴△CAP≌△PBQ；
10．（2019春?罗湖区期中）下列语句：①有一边对应相等的两个直角三角形全等；②一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③有两边相等的两直角三角形全等；④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，则这两个直角三角形必全等．其中正确的有 2 个．
解：①直角三角形两直角对应相等，有一边对应相等的两个直角三角形只具备一边与一角对应相等，所以有一边对应相等的两个直角三角形不一定全等；
②直角三角形是特殊的三角形，所以一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；
③如果一个直角三角形的两直角边与另一个直角三角形的一条直角边与斜边分别相等，那么这两个直角三角形不全等，所以有两边相等的两直角三角形不一定全等；
④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，根据HL可得这两个直角三角形必全等．
所以正确的结论是②④．
故答案为2．
11．（2011?资阳）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝ 45 度．
解：∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E
∴∠EAF+∠AFE＝90°，∠DBF+∠BFD＝90°，
又∵∠BFD＝∠AFE（对顶角相等）
∴∠EAF＝∠DBF，
在Rt△ADC和Rt△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BD＝AD，
即∠ABC＝∠BAD＝45°．
故答案为：45．
12．（2020?北京一模）如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝ 90 °．
解：在Rt△AEC和Rt△DAB中
∴Rt△AEC≌Rt△DAB（HL），
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠EAC+∠ABD＝90°，
∴∠AFB＝90°，即∠CFD＝90°，
∴∠ACD+∠BDC＝90°，
故答案为90．
三．解答题（共4小题）
13．（2021?永嘉县校级模拟）如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2．
求证：△ADE≌△BEC．
证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE．
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠B＝90°．
∴△ADE和△EBC是直角三角形，而AD＝BE．
∴△ADE≌△BEC．
14．（2021秋?海淀区校级期中）已知：如图，点E、F在线段BD上，AF⊥BD，CE⊥BD，AD＝CB，DE＝BF，求证：AF＝CE．
证明：∵DE＝BF，
∴DE+EF＝BF+EF；
∴DF＝BE；
在Rt△ADF和Rt△BCE中
，
∴Rt△ADF≌Rt△BCE，
∴AF＝CE．
15．（2021春?迎泽区校级月考）如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．
解：连接BD，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），
∴AD＝CD，
∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，
∴∠E＝∠F＝90°，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．
16．（2021?蓬安县模拟）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．
证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°
AC＝BD，BC为公共边，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；
（2）△OBC是等腰三角形，
∵Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，
∴OB＝OC，
∴△OBC是等腰三角形．
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