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2.7探索勾股定理
同步练习
一．选择题（共8小题）
1．（2021春?龙口市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB+BC＝8，AC＝4，则△ABC的面积为（ ）
A．6
B．7.5
C．10
D．12
2．（2021春?武安市期末）已知直角三角形的斜边长为15，一直角边长为12，则另一条直角边长为（ ）
A．
B．3
C．27
D．9
3．（2021春?南川区期中）三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ ）
A．3
B．12
C．9
D．4
4．（2021春?临沭县期末）若直角三角形的两条边长分别为a、b，且满足a＝3，b＝4，则该直角三角形的第三边的长为（ ）
A．5
B．
C．5或
D．不确定
5．（2021春?望城区期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2020秋?和平区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点A，B，C均在网格的格点上，则△ABC的三条边中边长是无理数的有（ ）
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条
7．（2021春?伊通县期末）如图所示，数轴上点A、B分别对应1、2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴正半轴于点M，则点M所对应的数为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2021春?长沙县月考）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．148
B．100
C．196
D．144
二．填空题（共4小题）
9．（2021春?海淀区校级期中）如图，以直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形的面积分别为S1，S2，S3．则它们满足的数量关系为
．
10．（2021春?自贡期末）Rt△ABC中，∠B＝90°，D为BC上的一点，若DC＝DA＝5，△ACD的面积为10，则BD的长为
．
11．（2021?鼓楼区校级模拟）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为
．
12．如图，三个直角三角形（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）拼成一个直角梯形（两底分别为a、b，高为a+b），利用这个图形，小明验证了勾股定理．请你填写计算过程中留下的空格：
S梯形＝（上底+下底）?高＝（a+b）?（a+b），即S梯形＝（
）①
S梯形＝Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ（罗马数字表示相应图形的面积）
＝
+
+
，即S梯形＝（
）②
由①、②，得a2+b2＝c2．
三．解答题（共4小题）
13．（2021春?周口期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝26，AC＝24，点D为△ABC外一点，连接BD，CD，测得CD＝8，BD＝6，求四边形ABDC的面积．
14．（2021春?阳东区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
15．（2021春?安阳期末）如图，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D都在格点上．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）判断∠ABC是不是直角？并说明理由．
16．（2021春?西城区校级期末）如图，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为
，
；
（2）请你参考以上方法：
①把图3中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形，在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a＝
．（注：小正方形边长都是1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参考图2的画法，在数轴上用M表示数a，图中标出必要线段长．
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精品试卷·第
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2.7探索勾股定理
同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2021春?龙口市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB+BC＝8，AC＝4，则△ABC的面积为（ ）
A．6
B．7.5
C．10
D．12
解：设BC＝x，
∵AB+BC＝8，
∴AB＝8﹣x，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴BC＝3，
∴S＝＝＝6，
即△ABC的面积为6，
故选：A．
2．（2021春?武安市期末）已知直角三角形的斜边长为15，一直角边长为12，则另一条直角边长为（ ）
A．
B．3
C．27
D．9
解：∵直角三角形的斜边长为15，一直角边长为12，
∴另一条直角边长＝，
故选：D．
3．（2021春?南川区期中）三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ ）
A．3
B．12
C．9
D．4
解：如图，
由题意可得：AB＝4，AC＝5，
∵AC2＝AB2+BC2，
∴BC2＝25﹣16＝9，
∴S＝9，
故选：C．
4．（2021春?临沭县期末）若直角三角形的两条边长分别为a、b，且满足a＝3，b＝4，则该直角三角形的第三边的长为（ ）
A．5
B．
C．5或
D．不确定
解：①当a，b为两直角边时，根据勾股定理，
第三边长为：＝＝5，
且3+4＞5，
②当b为斜边长时，根据勾股定理，
第三边长为：＝，
且3+＞4，
∴该直角三角形的第三边的长为5或，
故选：C．
5．（2021春?望城区期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：A、∵ab+c2+ab＝（a+b）（a+b），
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵4×ab+c2＝（a+b）2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、∵4×ab+（b﹣a）2＝c2，
∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
6．（2020秋?和平区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点A，B，C均在网格的格点上，则△ABC的三条边中边长是无理数的有（ ）
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条
解：由勾股定理得：AB＝，是无理数；
BC＝，是无理数；
AC＝，是有理数．
∴△ABC的三条边中边长是无理数的有2条，
故选：C．
7．（2021春?伊通县期末）如图所示，数轴上点A、B分别对应1、2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴正半轴于点M，则点M所对应的数为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：∵OA＝1，OB＝2，
∴AB＝1，
由作图可知：OB＝2，BC＝AB＝1，∠OBC＝90°，
∴OM＝OC＝，
∴点M所对应的数为，
故选：B．
8．（2021春?长沙县月考）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．148
B．100
C．196
D．144
解：设将CA延长到点D，连接BD，
根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，
∵∠BCD＝90°，
∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，
∴BD＝25，
∴AD+BD＝12+25＝37，
∴这个风车的外围周长是37×4＝148．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
9．（2021春?海淀区校级期中）如图，以直角三角形的三边为边，分别向直角三角形外部作等边三角形，三个等边三角形的面积分别为S1，S2，S3．则它们满足的数量关系为 S1+S2＝S3 ．
解：设AC＝a，BC＝b，AB＝c，
∵△ABC是直角三角形，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2，
又∵S1＝×sin60°a?a＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
∴S1+S2＝S3，
故答案是：S1+S2＝S3．
10．（2021春?自贡期末）Rt△ABC中，∠B＝90°，D为BC上的一点，若DC＝DA＝5，△ACD的面积为10，则BD的长为
3 ．
解：设BD＝x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB＝＝，
∵△ACD的面积为10，
∴×DC×AB＝10，即×5×＝10，
解得：x1＝3，x2＝﹣3（舍去），
∴BD的长为3，
故答案为：3．
11．（2021?鼓楼区校级模拟）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”．若AB＝10，AE＝8，则正方形EFGH的面积为 4 ．
解：直角三角形直角边的较短边为＝6，
正方形EFGH的面积＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4．
故答案为：4．
12．如图，三个直角三角形（Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）拼成一个直角梯形（两底分别为a、b，高为a+b），利用这个图形，小明验证了勾股定理．请你填写计算过程中留下的空格：
S梯形＝（上底+下底）?高＝（a+b）?（a+b），即S梯形＝（ a2+2ab+b2 ）①
S梯形＝Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ（罗马数字表示相应图形的面积）
＝ ab + c2 + ab ，即S梯形＝（ 2ab+c2 ）②
由①、②，得a2+b2＝c2．
解：因为，
又因为S梯形＝Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ＝ab+c2+ab＝，
所以＝，
得c2＝a2+b2．
故答案为：a2+2ab+b2，ab，c2，ab，2ab+c2．
三．解答题（共4小题）
13．（2021春?周口期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝26，AC＝24，点D为△ABC外一点，连接BD，CD，测得CD＝8，BD＝6，求四边形ABDC的面积．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝，
∵CD＝8，BD＝6，
∴CD2+BD2＝82+62＝100，
AC2＝100，
∴CD2+BD2＝AC2，
∴∠D＝90°，
∴S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD
＝
＝
＝144．
14．（2021春?阳东区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4（cm）；
（2）由题意得：BP＝tcm，分两种情况：
①当∠APB＝90°时，如图1所示：
点P与点C重合，
∴BP＝BC＝4cm，
∴t＝4；
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4s或s．
15．（2021春?安阳期末）如图，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D都在格点上．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）判断∠ABC是不是直角？并说明理由．
解：（1）由勾股定理可得：AB＝，BC＝，
CD＝，AD＝，
∴四边形ABCD的周长＝2，
（2）∠ABC是直角，理由如下：
连接AC，由勾股定理可得：AC＝，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ABC是直角．
26．（2021春?西城区校级期末）如图，把两个边长为1的小正方形沿着对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形，由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．
（1）图2中A、B两点表示的数分别为
﹣ ， ；
（2）请你参考以上方法：
①把图3中5×1的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形，在图3中画出裁剪线，并在图4的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的边长a＝ ．（注：小正方形边长都是1，拼接不重叠也无空隙）
②在①的基础上，参考图2的画法，在数轴上用M表示数a，图中标出必要线段长．
解：（1）由题意，OA＝OB＝，
∴A点表示﹣，B点表示．
故答案为：﹣，．
（2）图形如图所示：大正方形的边长a＝＝，
故答案为：．
（3）如图，点M即为所求．
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