浙教版九年级数学上册：3.6 圆内接四边形 同步练习（含答案）

3.6
圆内接四边形
一．选择题
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O上，∠A＝60°，则∠BCD的度数是（　　）
A．15°
B．30°
C．60°
D．120°
2．如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD＝110°，则∠AEB的度数为（　　）
A．70°
B．35°
C．40°
D．20°
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，CE⊥AB交⊙O于点E，连接OB、OE，则∠BOE的度数为（　　）
A．18°
B．20°
C．25°
D．40°
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（　　）
A．54°
B．62°
C．72°
D．82°
5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120°，则∠BOD的度数为（　　）
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若，∠BDC＝50°，则∠ADC的度数是（　　）
A．125°
B．130°
C．135°
D．140°
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝50°，则∠B的度数为（　　）
A．50°
B．65°
C．75°
D．130°
8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝125°，则∠BOD的度数为（　　）
A．55°
B．65°
C．110°
D．125°
9．圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数分别为60o、80o、120o，则∠D的度数为（　　）
A．60o
B．80o
C．100o
D．120o
10．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（　　）
A．70°
B．110°
C．130°
D．140°
二．填空题
11．在图中四边形ABCD的四个顶点都在圆上，我们称这样的四边形叫做　
　，那么BD所对的圆周角是　
　，圆心角是　
　；优弧BAD所对的圆周角是　
　；圆心角是　
　由于两个圆心角的和是　
　，所有∠A+∠C＝　
　．
12．如果四边形ABCD内接于⊙O，且∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D＝　
　．
13．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°．若点E在上，则∠E＝　
　°．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2＝64°，∠3+∠4＝　
　°．
15．如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB＝AD，点E在CD的延长线上，且DE＝BC，连结AE，若AE＝4，则四边形ABCD的面积为　
　．
三．解答题
16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且AD平分∠BDF，AE⊥CD于点E．
（1）求证：AB＝AC．
（2）若BD＝11，DE＝2，求CD的长．
17．四边形ABCD、ABEF都是⊙O的内接四边形，AD∥BE，CD∥EF，AD与EF交于点G．
求证：AF∥BC．
为了证明结论，小明进行了探索．请在下列框图中补全他的证明思路：
小明的证明思路
要证AF∥BC，只要证∠CBA+∠FAB＝180°．由已知条件①　
　，易证∠FEB+∠FAB＝180°，故只要证②　
　，由已知条件AD∥BE，易证③　
　，故只要证∠CBA＝∠DGE．由已知条件四边形ABCD是⊙O的内接四边形，CD∥EF，易证∠CDA+CBA＝180°，④　
　，即可得证．
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．
（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；
（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．
19．（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E．求证：∠A+∠BCD＝180°，∠DCE＝∠A．
（2）依已知条件和（1）中的结论：
①如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；
②如图3，若点C在⊙O内，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系．
参考答案
一．选择题
1．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝120°，
故选：D．
2．解：如图，连接DE，
∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠BED＝180°，
∵∠BCD＝110°，
∴∠BED＝70°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝90°﹣70°＝20°，
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D＝100°，
∴∠ABC＝180°﹣∠D＝80°，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB+∠ABC＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣80°＝10°，
∵在同圆或等圆中，圆周角是所对弧的圆心角的一半，
∴∠BOE＝2∠BCE＝20°，
故选：B．
4．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝108°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°，
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
故选：C．
6．解：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．
故选：B．
7．解：∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠DAB＝50°，
∴∠CAB＝×50°＝25°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣25°＝65°，
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝125°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝55°，
∴∠BOD＝2∠A＝110°，
故选：C．
9．解：在四边形ABCD中，
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴∠D＝360°﹣60°﹣80°﹣120°＝100°，
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，
故选：B．
二．填空题
11．解：在图中四边形ABCD的四个顶点都在圆上，我们称这样的四边形叫做
圆内接四边形，那么BD所对的圆周角是∠BCD，圆心角是∠BOD；优弧BAD所对的圆周角是∠BAD；圆心角是∠BOD由于两个圆心角的和是
180°，所有∠A+∠C＝180°．
故答案是：圆内接四边形；∠BCD；∠BOD；∠BAD；∠BOD；180°；180°．
12．解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，∠B+∠D＝180°，
即x+3x＝180，
∴x＝45°，
∴∠A＝45°，∠B＝90°，∠C＝135°，
∴∠D＝90°．
故答案为90°．
13．解：∵∠C+∠BAD＝180°，
∴∠BAD＝180°﹣110°＝70°，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝（180°﹣70°）＝55°，
∵四边形ABDE为圆的内接四边形，
∴∠E+∠ABD＝180°，
∴∠E＝180°﹣55°＝125°．
故答案为125．
14．解：如图，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠DAB+∠DCB＝180°，∠B+∠D＝180°，
又∵△AOC为等腰三角形，
∴∠5＝∠OCA，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+2∠5＝180°，
∵∠1+∠2＝64°，
∴∠3+∠4＝180°﹣64°﹣2∠5＝116°﹣2∠5，
∵∠1+∠2+∠B＝180°，∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝∠1+∠2＝64°，
∴∠O＝2∠D＝128，
在等腰三角形AOC中，
2∠5＝180°﹣∠O＝180°﹣128°＝52°，
∴∠3+∠4＝116°﹣52°＝64°，
故答案为64．
15．解：如图，连接AC，BD．
∵∠BCD＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵AB＝AD，BC＝DE，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE＝4，S△ABC＝S△ADE，
∴∠CAE＝∠BAD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ACE＝×4×4＝8．
故答案为8．
三．解答题
16．（1）证明：∵AD平分∠BDF，
∴∠ADF＝∠ADB，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠ABC，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）解：过点A作AG⊥BD，垂足为点G．
∵AD平分∠BDF，AE⊥CF，AG⊥BD，
∴AG＝AE，∠AGB＝∠AEC＝90°，
在Rt△AED和Rt△AGD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AGD，
∴GD＝ED＝2，
在Rt△AEC和Rt△AGB中，
，
∴Rt△AEC≌Rt△AGB（HL），
∴BG＝CE，
∵BD＝11，
∴BG＝BD﹣GD＝11﹣2＝9，
∴CE＝BG＝9，
∴CD＝CE﹣DE＝9﹣2＝7．
17．解：①∠FEB与∠FAB分别是与所对圆周角，与组成圆周，
其圆心角之和为360°，故∠FEB+∠FAB＝180°，
此处应填ABEF是⊙O内接四边形；
②∵∠FEB+∠FAB＝180°，要证∠CBA+∠PAB＝180°，
只需证∠FEB＝∠CBA，故此处填∠CBA＝∠FEB；
③AD∥BE，内错角相等，即∠FEB＝∠DGE；
④已证∠CDA+∠CBA＝180°，
要证∠CBA＝∠DGE，只需证∠CDA+∠DGE＝180°．
故答案为：①四边形ABEF是⊙O内接四边形；②∠CBA＝∠FEB；③∠FEB＝∠DGE；④∠CDA+∠DGE＝180°
18．（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
又∵∠ADC＝86°，
∴∠ABC＝94°，
∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°；
（2）证明：∵AC＝EC，
∴∠E＝∠CAE，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠E，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
又∵∠CBE+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠CBE，
在△ADC和△EBC中，
，
∴△ADC≌△EBC，
∴AD＝BE．
19．解：（1）连接AC，BD，
则：∠1＝∠4，∠2＝∠7，∠3＝∠6，∠5＝∠8，
∴∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8＝2（∠1+∠2+∠5+∠6）＝360°，
∴∠1+∠2+∠5+∠6＝180°，
∴∠A+∠BCD＝180°；
∵∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠DCE＝∠A；
（2）①连接DE，
∵∠A+∠BED＝180°，∠BDE＞∠BCD，
∴∠A+∠BCD＜180°；
②延长DC交⊙O于点E，连接BE，
∵∠A+∠E＝180°，∠BCD＞∠E，
∴∠A+∠BCD＞180°．