第1章 二次函数 章末检测卷 （含解析）
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浙教版2021年九年级数学上册第1章《二次函数》章末检测卷
（满分100分）
一、选择题(共30分)
1．二次函数的图象的顶点坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列各点在抛物线上的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．抛物线y＝2x2﹣5x+1的对称轴是直线（ ）
A．x＝
B．x＝
C．x＝﹣
D．x＝﹣
4．将抛物线y＝x2﹣1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（
）
A．y＝（x﹣2）2﹣2
B．y＝（x﹣2）2﹣4
C．y＝（x+2）2﹣2
D．y＝（x+2）2﹣4
5．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（
）
A．y＝2x2＋4x﹣1
B．y＝x2＋4x﹣2
C．y＝-2x2＋4x+1
D．y＝2x2＋4x+1
6．已知二次函数的图象过点，，，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
7．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．
A．60
B．65
C．70
D．75
9．如图，正方形边长为4，、、、分别是、、、上的点，且．设、两点间的距离为，四边形的面积为，则与的函数图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，2)、(0，3)之间（包含端点），则下列结论：
①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤－；④3≤n≤4中，正确的是（
）
A．①②③
B．①③④
C．①④
D．①③
二、填空题(共21分)
11．已知y＝+3是x的二次函数，则m＝_____．
12．二次函数y＝2x2＋4x＋（m﹣5）的图象与x轴有两个不同交点，则m的取值范围为______．
13．如图所示为抛物线y＝ax2＋2ax﹣3的图象，则一元二次方程ax2＋2ax﹣3＝0的两根为_____________．
14．随着国内新冠疫情逐渐好转，市场对口罩的需求量越来越少，据统计，某口罩厂6月份出货量仅为4月份的40%，设4月份到6月份口罩出厂量平均每月的下降率为，则可列方程为___．
15．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则时的取值范围是________________________．
16．如图，在水平的地面BD上有两根与地面垂直且长度相等的电线杆AB，CD，以点B为坐标原点，直线BD为轴建立平面直角坐标系．已知电线杆之间的电线可近似地看成抛物线则电线最低点离地面的距离是_______米．
17．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是_________________．
三、解答题(共49分)
18．(5分)二次函数图象与x轴交于点，与y轴交于点，求此二次函数的解析式及顶点坐标．
19．(6分)已知二次函数的图象经过（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）三点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）列表描点画出这个二次函数的图象．
x
…
…
y
…
…
20．(6分)已知二次函数的图象过（１，０），（０，３）两点，对称轴为直线x=－１。
（1）求二次函数的解析式；
（2）设函数图象与x轴的交点为A、B，顶点坐标为C，求△ABC的面积。
21．(7分)如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在抛物线上，求的值．
22．(8分)某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售
件，每件盈利
元；（用x的代数式表示）
（2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元；
（3）平均每天赢利1200元是最大日赢利吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出平均日赢利的最大值．
23．(8分)已知直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴．
（1）若抛物线顶点在x轴上，且过（0，1），求抛物线的解析式；
（2）若抛物线不过第一象限，求的取值范围；
（3）若抛物线过点（1，1），当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．
24．(9分)如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点是线段上的一个动点（不与、重合），过点作直线轴交抛物线于点，交直线于点．
（1）求、两点的坐标，及直线的表达式；
（2）若时，求线段的长；
（3）在（2）的条件下，若点是直线上的一个动点，点是抛物线上的一个动点，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【分析】
根据顶点式的意义直接解答即可．
【详解】
解：二次函数y=（x+1）2-4的图象的顶点坐标是（-1，-4）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k）．
2．B
【分析】
分别计算自变量为x＝2，x＝1和x＝－1对应的函数值，即可判断．
【详解】
解：把x＝2代入y＝2x2得：y＝2×22＝8，
∴点（2，1）不在y＝2x2的图像上，
把x＝1代入y＝2x2得：y＝2×12＝2，
∴点（1，2）在y＝2x2的图像上，点（1，－2）在y＝2x2的图像上，
把x＝－1代入y＝2x2得：y＝2×(－1)2＝2，
∴点（－1，－2）不在y＝2x2的图像上，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
3．B
【分析】
由二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣，代入公式即可得答案．
【详解】
解：在y＝2x2﹣5x+1中，a＝2，b＝﹣5，
∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数对称轴方程，掌握二次函数对称轴公式是解答此题的关键.
4．D
【分析】
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】
解：将抛物线y＝x2﹣1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为：y＝（x+2）2﹣1﹣3，
即y＝（x+2）2﹣4，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5．A
【分析】
将2组x、y值代入函数，得到关于a、c的二元一次方程，求解可得函数表达式．
【详解】
解：根据题意得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝2x2＋4x﹣1．
故选：A．
【点睛】
本题考查根据二次函数经过的点的信息，求得函数中的位置参数．
6．C
【分析】
根据二次函数图象具有对称性和二次函数图象上点的坐标特征，可以判断y1、y2、y3的大小，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵
∴函数的对称轴为直线，开口向下，当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，
∵-3＜-1＜2
∴，
由二次函数的对称性可知，和的函数值相等
∵
∴
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．
7．C
【分析】
二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y＝kx+1经过的象限，对比后即可得出结论．
【详解】
解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴一次函数y＝kx+1的图象经过经过第一、二、四象限，
∴A、D选项不符合题意，C符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象、一次函数图象与待定系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．
8．C
【分析】
根据题意，可以先设出每顶头盔降价x元，利润为w元，然后根据题意可以得到w与x的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到降价多少元时，w取得最大值，从而可以得到该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价．
【详解】
解：每顶头盔降价x元，利润为w元，
由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，
即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，准确计算是解题的关键．
9．A
【分析】
本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】
解：∵正方形ABCD边长为4，AE=BF=CG=DH
∴AH=BE=CF=DG，∠A=∠B=∠C=∠D
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴y=4×4-x（4-x）×4
=16-8x+2x2
=2（x-2）2+8
∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上，
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意；
但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
10．D
【分析】
①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（-1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=-2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；③根据两根之积=-3，得到a=-，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．
【详解】
解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），对称轴直线是x=1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．
故①正确；
②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
∵对称轴x=-=1，
∴b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＜0，即3a+b＜0．
故②错误；
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（-1，0），（3，0），
∴-1×3=-3，
∴=-3，则a=-．
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴-1≤-≤-，即-1≤a≤-．
故③正确；
④根据题意知，a=-，-=1，
∴b=-2a=，
∴n=a+b+c=．
∵2≤c≤3，
∴≤≤4，即≤n≤4．
故④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
11．-1
【分析】
根据二次函数定义可得m2﹣m＝2，且m﹣2≠0，再解出m的值即可．
【详解】
解：由题意得：m2﹣m＝2，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】
此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握一般地，形如（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
12．m＜7
【分析】
直接利用二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，故b2﹣4ac＞0，进而得出答案．
【详解】
解：∵若二次函数y＝2x2＋4x＋（m﹣5）的图象与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＝42﹣4（m﹣5）×2＝﹣8m＋56＞0，
解得：m＜7．
故答案是：m＜7．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与
轴的交点问题，解题的关键是理解二次函数
的图象与
轴有两个不同交点，就是指
．
13．x1＝1，x2＝﹣3
【分析】
根据题意可得抛物线的对称轴为：x＝﹣1，又根据抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可求解．
【详解】
解：抛物线的对称轴为：x＝
＝﹣1，
由图象可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
∴一元二次方程ax2＋2ax﹣3＝0的两根为x1＝1，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
【点睛】
本题主要考查了抛物线与x轴的交点坐标问题，利用数形结合找到抛物线与x轴的另一个交点坐标是解题的关键．
14．
【分析】
根据一元二次方程增长率公式列式即可；
【详解】
依题意可得：；
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析判断是解题的关键．
15．x≤-2或x≥3
【分析】
直接根据两函数图象的交点为A（-2，3）、B（3，-1）两点，进而结合函数图象得出y1≥y2时x的取值范围．
【详解】
解：如图所示：∵抛物线y1=x2+bx+c与直线y2=kx+m相交于A（-2，3）、B（3，-1）两点，
∴y1≥y2时x的取值范围是：x≤-2或x≥3．
故答案为：x≤-2或x≥3．
【点睛】
此题主要考查了二次函数与不等式，正确画出函数图象是解题关键．
16．2.8
【分析】
把抛物线一般式化为顶点式,得到顶点坐标,即可得电线最低点离地面的距离．
【详解】
解：∵，
∴顶点坐标为，
∴电线最低点离地面的距离是2.8米，
故答?为：2.8．
【点睛】
本题考查二次函数的应用,解题的关键是能把抛物线一般式化为顶点式．
17．﹣4或2
【分析】
根据抛物线的对称轴公式，即可建立关于m的等式，解方程求出m的值即可．
【详解】
解：∵y＝﹣x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x，
∵，
①当1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，
∴﹣1﹣m＝3，
解得：m＝﹣4；
②当2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，
∴﹣4+2m＝3，
解得：m（舍去）．
③当﹣12，即﹣2＜m＜4时，当x时，函数最大值为3，
∴3，
解得m＝2或m＝﹣2（舍去），
综上所述，m＝﹣4或m＝2，
故答案为：﹣4或2．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值，掌握抛物线的对称轴公式是解题的关键．
18．，
【分析】
利用待定系数法求得函数解析式，再利用配方法求出函数顶点坐标式即可求解．
【详解】
解：∵二次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点，
由题意得：
解得：
∴二次函数的解析式为：
整理得：．
∴二次函数图象的顶点坐标为．
【点睛】
本题考查待定系数法求解析式和配方法求顶点坐标，解题的关键是熟练掌握准确求出抛物线解析式．
19．（1）y＝﹣x2＋2x＋3；（2）见解析
【分析】
（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，把（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）三点分别代入求出a，b，c即可．
（2）利用描点法画二次函数图象．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）分别代入得，
解得：．
∴y＝﹣x2＋2x＋3.
（2）列表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
描点，连线，如图．
．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：(1)由题意可得，二次函数可设顶点式，然后将点代入，即可求解；（2）根据（1）中二次函数的解析式可求出交点的坐标，进而可求得的面积.
试题解析：（1）由题意得，可设二次函数的解析式为，则将代入到二次函数中，得，解这个二元一次方程组，得
所以，二次函数的解析式；
（2）令，得，所以
令，得，所以
考点：1.二次函数求解析式；2.一元二次方程；3.三角形面积.
21．（1）；（2）或．
【分析】
（1）将，代入，用待定系数法求解即可；
（2）将点代入抛物线表达式即可求出的值．
【详解】
解：（1）把，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）把代入，
得：，
解得：，．
的值为或．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的表达式以及二次函数图像上点的坐标，掌握待定系数法求解是解题的关键．
22．（1）（20＋2x），（40﹣x）；（2）每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元；（3）不是，平均日盈利的最大值为1250元．
【分析】
（1）根据：销售量＝原销售量＋因价格下降而增加的数量，每件利润＝实际售价﹣进价，列式即可；
（1）设每件童装降价x元，则销售量为（20＋2x）件，根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（2）设每件童装降价x元，则销售量为（20＋2x）件，根据总利润＝每件利润×销售数量，列式表示出总利润，根据二次函数的性质即可得出平均日赢利的最大值．
【详解】
解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20＋2x）件，每件盈利（120-80﹣x）=（40﹣x）元，
故答案为：（20＋2x），（40﹣x）；
（2）设每件童装降价x元，则销售量为（20＋2x）件，
根据题意得：（120﹣80﹣x）（20＋2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x＋200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20.
∵为了扩大销售量，尽快减少库存，
∴x＝20.
答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元；
（3）1200元不是最大日盈利．
设每件童装降价x元，则销售量为（20＋2x）件，
根据题意得：（120﹣80﹣x）（20＋2x）＝（20＋2x）（40﹣x）＝﹣2x2＋60x＋800＝﹣2（x﹣15）2＋1250，
所以平均日盈利的最大值为1250元．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键．
23．（1）y＝x2﹣2x+1；（2）≥1；（3）或
【分析】
（1）根据题意得出b＝2a，c＝1，把b＝2a，c＝﹣1代入a+b+c＝0，即可求得a＝1，b＝﹣2；
（2）根据题意抛物线开口向下，交于y轴的负半轴，即可得出a＜0，c＜0，c﹣a≤0，即可求得
≥1；
（3）抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，即该点坐标为（﹣1，4）或（﹣1，﹣4），即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1．
∴
，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线顶点在x轴上，
∴顶点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵抛物线过（0，1），
∴c＝1，
解得：a＝1，b＝﹣2，
∴抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x+1；
（2）∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2+c﹣a，
∵抛物线不过第一象限，
∴a＜0，c≤0，c﹣a≤0，
∴
；
（3）∵对称轴为直线x＝1，抛物线过点（1，1），
∴该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2+1，
∵当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，
∴当x＝﹣1时，对应的点到x轴的距离最大，
∴抛物线过（﹣1，4）或（﹣1，﹣4），
∴4＝a（﹣1﹣1）2+1或﹣4＝a（﹣1﹣1）2+1，
解得：a＝，或a＝．
故a的值为或．
【点睛】
本题考查的待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，代表的意义及函数特征等。．
24．（1），，；（2）4；（3）存在，，，
【分析】
（1）令，解方程即可求出、两点的坐标，令，求出C点，再根据待定系数法即可求出直线的表达式；
（2）设
则，，可表示出DE，PE，根据列出方程即可求解；
（3）根据题意分情况作图，根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】
解：（1）令，则，∴，
∴，
令，则，∴
设直线的表达式为
将，代入，得
解得，
∴直线的表达式为
（2）设
则，
∴
当时，，解得，（舍去）
此时，的长为4．
（3）由（2）得
①当BC为平行四边形CMBQ的对角线时，如图
∵点是直线上的一个动点
∴Q点的横坐标为4，
∵B（6，0）
故B、Q的横坐标相差2，
∴C、M的横坐标也相差2
∴M的横坐标为0+2=2
代入抛物线得M（2，-8）
故C、M的纵坐标相差2，即M点向左平移2个单位，向上平移2个单位得到C点，
∴Q的坐标为B点向左平移2个单位，向上平移2个单位，即Q（4,2）
②当BC为平行四边形BCMQ的一边时，如图
∵点是直线上的一个动点
∴Q点的横坐标为4，
∵B（6，0）
故B、Q的横坐标相差2，
∴C、M的横坐标也相差2
故M的横坐标为-2，代入抛物线得M（-2，0），与A点重合，
故C、M的纵坐标相差6，即C点向左平移2个单位，向上平移6个单位得到M点，
∴Q的坐标为B点向左平移2个单位，向上平移6个单位，即Q（4,6）
③当BC为平行四边形BCQM的一边时，如图
∵点是直线上的一个动点
∴Q点的横坐标为4，
∵C（0，-6）
故C、Q的横坐标相差4，
∴B、M的横坐标也相差4
故M的横坐标为6+4=10，代入抛物线得M（10，24），
故B、M的纵坐标相差24，即B点向右平移4个单位，向上平移24个单位得到M点，
∴Q的坐标为C点向右平移4个单位，向上平移24个单位，即Q（4,18）
综上，点的坐标为，，．
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精品试卷·第
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浙教版2021年九年级数学上册第1章《二次函数》章末检测卷
（满分100分）
一、选择题(共30分)
1．二次函数的图象的顶点坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列各点在抛物线上的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．抛物线y＝2x2﹣5x+1的对称轴是直线（ ）
A．x＝
B．x＝
C．x＝﹣
D．x＝﹣
4．将抛物线y＝x2﹣1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（
）
A．y＝（x﹣2）2﹣2
B．y＝（x﹣2）2﹣4
C．y＝（x+2）2﹣2
D．y＝（x+2）2﹣4
5．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为（
）
A．y＝2x2＋4x﹣1
B．y＝x2＋4x﹣2
C．y＝-2x2＋4x+1
D．y＝2x2＋4x+1
6．已知二次函数的图象过点，，，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
7．在同一直角坐标系中，一次函数y＝kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（ ）元．
A．60
B．65
C．70
D．75
9．如图，正方形边长为4，、、、分别是、、、上的点，且．设、两点间的距离为，四边形的面积为，则与的函数图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，2)、(0，3)之间（包含端点），则下列结论：
①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤－；④3≤n≤4中，正确的是（
）
A．①②③
B．①③④
C．①④
D．①③
二、填空题(共21分)
11．已知y＝+3是x的二次函数，则m＝_____．
12．二次函数y＝2x2＋4x＋（m﹣5）的图象与x轴有两个不同交点，则m的取值范围为______．
13．如图所示为抛物线y＝ax2＋2ax﹣3的图象，则一元二次方程ax2＋2ax﹣3＝0的两根为_____________．
14．随着国内新冠疫情逐渐好转，市场对口罩的需求量越来越少，据统计，某口罩厂6月份出货量仅为4月份的40%，设4月份到6月份口罩出厂量平均每月的下降率为，则可列方程为___．
15．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则时的取值范围是________________________．
16．如图，在水平的地面BD上有两根与地面垂直且长度相等的电线杆AB，CD，以点B为坐标原点，直线BD为轴建立平面直角坐标系．已知电线杆之间的电线可近似地看成抛物线则电线最低点离地面的距离是_______米．
17．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为3，那么m的值是_________________．
三、解答题(共49分)
18．(5分)二次函数图象与x轴交于点，与y轴交于点，求此二次函数的解析式及顶点坐标．
19．(6分)已知二次函数的图象经过（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）三点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）列表描点画出这个二次函数的图象．
x
…
…
y
…
…
20．(6分)已知二次函数的图象过（１，０），（０，３）两点，对称轴为直线x=－１。
（1）求二次函数的解析式；
（2）设函数图象与x轴的交点为A、B，顶点坐标为C，求△ABC的面积。
21．(7分)如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在抛物线上，求的值．
22．(8分)某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售
件，每件盈利
元；（用x的代数式表示）
（2）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元；
（3）平均每天赢利1200元是最大日赢利吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出平均日赢利的最大值．
23．(8分)已知直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴．
（1）若抛物线顶点在x轴上，且过（0，1），求抛物线的解析式；
（2）若抛物线不过第一象限，求的取值范围；
（3）若抛物线过点（1，1），当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，求a的值．
24．(9分)如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点是线段上的一个动点（不与、重合），过点作直线轴交抛物线于点，交直线于点．
（1）求、两点的坐标，及直线的表达式；
（2）若时，求线段的长；
（3）在（2）的条件下，若点是直线上的一个动点，点是抛物线上的一个动点，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【分析】
根据顶点式的意义直接解答即可．
【详解】
解：二次函数y=（x+1）2-4的图象的顶点坐标是（-1，-4）．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：y=a（x-h）2+k（a≠0）的顶点坐标为（h，k）．
2．B
【分析】
分别计算自变量为x＝2，x＝1和x＝－1对应的函数值，即可判断．
【详解】
解：把x＝2代入y＝2x2得：y＝2×22＝8，
∴点（2，1）不在y＝2x2的图像上，
把x＝1代入y＝2x2得：y＝2×12＝2，
∴点（1，2）在y＝2x2的图像上，点（1，－2）在y＝2x2的图像上，
把x＝－1代入y＝2x2得：y＝2×(－1)2＝2，
∴点（－1，－2）不在y＝2x2的图像上，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
3．B
【分析】
由二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣，代入公式即可得答案．
【详解】
解：在y＝2x2﹣5x+1中，a＝2，b＝﹣5，
∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数对称轴方程，掌握二次函数对称轴公式是解答此题的关键.
4．D
【分析】
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】
解：将抛物线y＝x2﹣1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为：y＝（x+2）2﹣1﹣3，
即y＝（x+2）2﹣4，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
5．A
【分析】
将2组x、y值代入函数，得到关于a、c的二元一次方程，求解可得函数表达式．
【详解】
解：根据题意得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝2x2＋4x﹣1．
故选：A．
【点睛】
本题考查根据二次函数经过的点的信息，求得函数中的位置参数．
6．C
【分析】
根据二次函数图象具有对称性和二次函数图象上点的坐标特征，可以判断y1、y2、y3的大小，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵
∴函数的对称轴为直线，开口向下，当x＜2时，y随x的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，
∵-3＜-1＜2
∴，
由二次函数的对称性可知，和的函数值相等
∵
∴
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．
7．C
【分析】
二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y＝kx+1经过的象限，对比后即可得出结论．
【详解】
解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴一次函数y＝kx+1的图象经过经过第一、二、四象限，
∴A、D选项不符合题意，C符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象、一次函数图象与待定系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．
8．C
【分析】
根据题意，可以先设出每顶头盔降价x元，利润为w元，然后根据题意可以得到w与x的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到降价多少元时，w取得最大值，从而可以得到该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价．
【详解】
解：每顶头盔降价x元，利润为w元，
由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，
即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，准确计算是解题的关键．
9．A
【分析】
本题考查了动点的函数图象，先判定图中的四个小直角三角形全等，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，得函数y的表达式，结合选项的图象可得答案．
【详解】
解：∵正方形ABCD边长为4，AE=BF=CG=DH
∴AH=BE=CF=DG，∠A=∠B=∠C=∠D
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG
∴y=4×4-x（4-x）×4
=16-8x+2x2
=2（x-2）2+8
∴y是x的二次函数，函数的顶点坐标为（2，8），开口向上，
从4个选项来看，开口向上的只有A和B，C和D图象开口向下，不符合题意；
但是B的顶点在x轴上，故B不符合题意，只有A符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键．
10．D
【分析】
①由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（-1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项①作出判断；②根据抛物线开口方向判定a的符号，由对称轴方程求得b与a的关系是b=-2a，将其代入（3a+b），并判定其符号；③根据两根之积=-3，得到a=-，然后根据c的取值范围利用不等式的性质来求a的取值范围；④把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c=c，利用c的取值范围可以求得n的取值范围．
【详解】
解：①∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），对称轴直线是x=1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴根据图示知，当x＞3时，y＜0．
故①正确；
②根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
∵对称轴x=-=1，
∴b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＜0，即3a+b＜0．
故②错误；
③∵抛物线与x轴的两个交点坐标分别是（-1，0），（3，0），
∴-1×3=-3，
∴=-3，则a=-．
∵抛物线与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴-1≤-≤-，即-1≤a≤-．
故③正确；
④根据题意知，a=-，-=1，
∴b=-2a=，
∴n=a+b+c=．
∵2≤c≤3，
∴≤≤4，即≤n≤4．
故④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
11．-1
【分析】
根据二次函数定义可得m2﹣m＝2，且m﹣2≠0，再解出m的值即可．
【详解】
解：由题意得：m2﹣m＝2，且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点睛】
此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握一般地，形如（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
12．m＜7
【分析】
直接利用二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，故b2﹣4ac＞0，进而得出答案．
【详解】
解：∵若二次函数y＝2x2＋4x＋（m﹣5）的图象与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＝42﹣4（m﹣5）×2＝﹣8m＋56＞0，
解得：m＜7．
故答案是：m＜7．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与
轴的交点问题，解题的关键是理解二次函数
的图象与
轴有两个不同交点，就是指
．
13．x1＝1，x2＝﹣3
【分析】
根据题意可得抛物线的对称轴为：x＝﹣1，又根据抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可求解．
【详解】
解：抛物线的对称轴为：x＝
＝﹣1，
由图象可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
∴一元二次方程ax2＋2ax﹣3＝0的两根为x1＝1，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
【点睛】
本题主要考查了抛物线与x轴的交点坐标问题，利用数形结合找到抛物线与x轴的另一个交点坐标是解题的关键．
14．
【分析】
根据一元二次方程增长率公式列式即可；
【详解】
依题意可得：；
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析判断是解题的关键．
15．x≤-2或x≥3
【分析】
直接根据两函数图象的交点为A（-2，3）、B（3，-1）两点，进而结合函数图象得出y1≥y2时x的取值范围．
【详解】
解：如图所示：∵抛物线y1=x2+bx+c与直线y2=kx+m相交于A（-2，3）、B（3，-1）两点，
∴y1≥y2时x的取值范围是：x≤-2或x≥3．
故答案为：x≤-2或x≥3．
【点睛】
此题主要考查了二次函数与不等式，正确画出函数图象是解题关键．
16．2.8
【分析】
把抛物线一般式化为顶点式,得到顶点坐标,即可得电线最低点离地面的距离．
【详解】
解：∵，
∴顶点坐标为，
∴电线最低点离地面的距离是2.8米，
故答?为：2.8．
【点睛】
本题考查二次函数的应用,解题的关键是能把抛物线一般式化为顶点式．
17．﹣4或2
【分析】
根据抛物线的对称轴公式，即可建立关于m的等式，解方程求出m的值即可．
【详解】
解：∵y＝﹣x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x，
∵，
①当1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，
∴﹣1﹣m＝3，
解得：m＝﹣4；
②当2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，
∴﹣4+2m＝3，
解得：m（舍去）．
③当﹣12，即﹣2＜m＜4时，当x时，函数最大值为3，
∴3，
解得m＝2或m＝﹣2（舍去），
综上所述，m＝﹣4或m＝2，
故答案为：﹣4或2．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值，掌握抛物线的对称轴公式是解题的关键．
18．，
【分析】
利用待定系数法求得函数解析式，再利用配方法求出函数顶点坐标式即可求解．
【详解】
解：∵二次函数的图象与y轴交于点，与x轴交于点，
由题意得：
解得：
∴二次函数的解析式为：
整理得：．
∴二次函数图象的顶点坐标为．
【点睛】
本题考查待定系数法求解析式和配方法求顶点坐标，解题的关键是熟练掌握准确求出抛物线解析式．
19．（1）y＝﹣x2＋2x＋3；（2）见解析
【分析】
（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，把（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）三点分别代入求出a，b，c即可．
（2）利用描点法画二次函数图象．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）分别代入得，
解得：．
∴y＝﹣x2＋2x＋3.
（2）列表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…
描点，连线，如图．
．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：(1)由题意可得，二次函数可设顶点式，然后将点代入，即可求解；（2）根据（1）中二次函数的解析式可求出交点的坐标，进而可求得的面积.
试题解析：（1）由题意得，可设二次函数的解析式为，则将代入到二次函数中，得，解这个二元一次方程组，得
所以，二次函数的解析式；
（2）令，得，所以
令，得，所以
考点：1.二次函数求解析式；2.一元二次方程；3.三角形面积.
21．（1）；（2）或．
【分析】
（1）将，代入，用待定系数法求解即可；
（2）将点代入抛物线表达式即可求出的值．
【详解】
解：（1）把，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）把代入，
得：，
解得：，．
的值为或．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的表达式以及二次函数图像上点的坐标，掌握待定系数法求解是解题的关键．
22．（1）（20＋2x），（40﹣x）；（2）每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元；（3）不是，平均日盈利的最大值为1250元．
【分析】
（1）根据：销售量＝原销售量＋因价格下降而增加的数量，每件利润＝实际售价﹣进价，列式即可；
（1）设每件童装降价x元，则销售量为（20＋2x）件，根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（2）设每件童装降价x元，则销售量为（20＋2x）件，根据总利润＝每件利润×销售数量，列式表示出总利润，根据二次函数的性质即可得出平均日赢利的最大值．
【详解】
解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20＋2x）件，每件盈利（120-80﹣x）=（40﹣x）元，
故答案为：（20＋2x），（40﹣x）；
（2）设每件童装降价x元，则销售量为（20＋2x）件，
根据题意得：（120﹣80﹣x）（20＋2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x＋200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20.
∵为了扩大销售量，尽快减少库存，
∴x＝20.
答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元；
（3）1200元不是最大日盈利．
设每件童装降价x元，则销售量为（20＋2x）件，
根据题意得：（120﹣80﹣x）（20＋2x）＝（20＋2x）（40﹣x）＝﹣2x2＋60x＋800＝﹣2（x﹣15）2＋1250，
所以平均日盈利的最大值为1250元．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键．
23．（1）y＝x2﹣2x+1；（2）≥1；（3）或
【分析】
（1）根据题意得出b＝2a，c＝1，把b＝2a，c＝﹣1代入a+b+c＝0，即可求得a＝1，b＝﹣2；
（2）根据题意抛物线开口向下，交于y轴的负半轴，即可得出a＜0，c＜0，c﹣a≤0，即可求得
≥1；
（3）抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，即该点坐标为（﹣1，4）或（﹣1，﹣4），即可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1．
∴
，
∴b＝﹣2a，
∵抛物线顶点在x轴上，
∴顶点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵抛物线过（0，1），
∴c＝1，
解得：a＝1，b＝﹣2，
∴抛物线的函数解析式为y＝x2﹣2x+1；
（2）∵b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c＝a（x﹣1）2+c﹣a，
∵抛物线不过第一象限，
∴a＜0，c≤0，c﹣a≤0，
∴
；
（3）∵对称轴为直线x＝1，抛物线过点（1，1），
∴该点是抛物线的顶点，则函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2+1，
∵当﹣1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，
∴当x＝﹣1时，对应的点到x轴的距离最大，
∴抛物线过（﹣1，4）或（﹣1，﹣4），
∴4＝a（﹣1﹣1）2+1或﹣4＝a（﹣1﹣1）2+1，
解得：a＝，或a＝．
故a的值为或．
【点睛】
本题考查的待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，代表的意义及函数特征等。．
24．（1），，；（2）4；（3）存在，，，
【分析】
（1）令，解方程即可求出、两点的坐标，令，求出C点，再根据待定系数法即可求出直线的表达式；
（2）设
则，，可表示出DE，PE，根据列出方程即可求解；
（3）根据题意分情况作图，根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】
解：（1）令，则，∴，
∴，
令，则，∴
设直线的表达式为
将，代入，得
解得，
∴直线的表达式为
（2）设
则，
∴
当时，，解得，（舍去）
此时，的长为4．
（3）由（2）得
①当BC为平行四边形CMBQ的对角线时，如图
∵点是直线上的一个动点
∴Q点的横坐标为4，
∵B（6，0）
故B、Q的横坐标相差2，
∴C、M的横坐标也相差2
∴M的横坐标为0+2=2
代入抛物线得M（2，-8）
故C、M的纵坐标相差2，即M点向左平移2个单位，向上平移2个单位得到C点，
∴Q的坐标为B点向左平移2个单位，向上平移2个单位，即Q（4,2）
②当BC为平行四边形BCMQ的一边时，如图
∵点是直线上的一个动点
∴Q点的横坐标为4，
∵B（6，0）
故B、Q的横坐标相差2，
∴C、M的横坐标也相差2
故M的横坐标为-2，代入抛物线得M（-2，0），与A点重合，
故C、M的纵坐标相差6，即C点向左平移2个单位，向上平移6个单位得到M点，
∴Q的坐标为B点向左平移2个单位，向上平移6个单位，即Q（4,6）
③当BC为平行四边形BCQM的一边时，如图
∵点是直线上的一个动点
∴Q点的横坐标为4，
∵C（0，-6）
故C、Q的横坐标相差4，
∴B、M的横坐标也相差4
故M的横坐标为6+4=10，代入抛物线得M（10，24），
故B、M的纵坐标相差24，即B点向右平移4个单位，向上平移24个单位得到M点，
∴Q的坐标为C点向右平移4个单位，向上平移24个单位，即Q（4,18）
综上，点的坐标为，，．
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精品试卷·第
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