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第1章
三角形的初步认识
单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021春?嵩县期末）不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的角平分线
B．三角形的中线
C．三角形的高
D．三角形的高和中线
解：因为在三角形中，
它的中线、角平分线一定在三角形的内部，
而钝角三角形的两条高在三角形的外部．
故选：C．
2．（3分）（2021春?舞钢市期末）如图，△ABC中，AC边上的高是（ ）
A．线段CD
B．线段AF
C．线段BE
D．线段CE
解：因为点B到AC边的垂线段是BE，所以AC边上的高是BE，
故选：C．
3．（3分）（2021春?锦州期末）已知一个三角形两边的长分别是4和6，则此三角形第三边的长不可能是（ ）
A．1
B．4
C．6
D．9
解：设第三边长为x，则由三角形三边关系定理得6﹣4＜x＜6+4，即2＜x＜10．
因此，本题的第三边应满足2＜x＜10，只有1符合不等式，
故选：A．
4．（3分）（2021?天心区二模）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性
D．垂线段最短
解：根据三角形的稳定性可固定窗户．
故选：C．
5．（3分）（2021春?本溪期末）将一副三角板如图所示放置，使两个直角重合，则∠AFE的度数是（ ）
A．175°
B．165°
C．155°
D．145°
解：∵∠EDC＝45°，
∴∠ADF＝135°，
∵∠AFE是△ADF的一个外角，
∴∠AFE＝∠A+∠ADF＝30°+135°＝165°，
故选：B．
6．（3分）（2021春?沙河口区期末）下列命题正确的是：（ ）
①同位角相等，两直线平行；
②相等的两个角是对顶角；
③同旁内角互补；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
A．①③④
B．①③
C．①④
D．②③
解：①同位角相等，两直线平行，正确，符合题意；
②相等的两个角不一定是对顶角，故原命题错误，不符合题意；
③两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，符合题意，
正确的有①④，
故选：C．
7．（3分）（2021春?闵行区校级月考）下列不能作为判定△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E
B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
C．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D
D．∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E
解：A、AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E，可以利用SAS判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
B、∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，可以利用ASA判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
C、AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D，不能利用SSA判定△ABC≌△DEF，符合题意；
D、∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E，可以利用AAS判定△ABC≌△DEF，不符合题意；
故选：C．
8．（3分）（2021春?浦东新区月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（ ）
A．0＜AD＜12
B．1＜AD＜6
C．0＜AD＜6
D．2＜AD＜12
解：如图，延长中线AD到E，使DE＝AD，
∵AD是三角形的中线，
∴BD＝CD，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝BE，
∵AB＝5，BE＝AC＝7，
∴7﹣5＜AE＜7+5，
即7﹣5＜2AD＜7+5，
∴1＜AD＜6．
故选：B．
9．（3分）（2021春?海淀区校级期末）如图，已知点D，E分别在∠CAB的边AB，AC上，若PA＝12，∠CAB＝60°，由作图痕迹可得，PE的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．6
D．12
解：根据作图痕迹可知：AP是∠BAC的平分线，
∵∠CAB＝60°，
∴∠CAP＝∠PAB＝30°，
当PE⊥AC时，PE最小，
∵PA＝12，∠PAB＝30°，
∴P到AC的最小值是：×12＝6．
故选：C．
10．（3分）（2021春?市中区期末）如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
解：在△AEF和△ABC中，
，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，故②正确
∴∠EAB＝∠FAC＝40°，故①正确，
∴∠C＝∠AFC＝∠AFE＝70°，
∴∠EFB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故⑤正确，
∵AE＝AB，∠EAB＝40°，
∴∠AEB＝∠ABE＝70°，
若∠EBC＝110°，则∠ABC＝40°＝∠EAB，
∴∠EAB＝∠ABC，
∴AE∥BC，显然与题目条件不符，故③错误，
若AD＝AC，则∠ADF＝∠AFD＝70°，
∴∠DAF＝40°，这个显然与条件不符，故④错误．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）（2021?滨江区二模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，如果AG＝8，那么BC的长为 24 ．
解：延长AG交BC于D，如图：
∵点G是△ABC的重心，
∴AD是△ABC的中线，AG＝2DG，
∵AG＝8，
∴DG＝4，AD＝AG+DG＝12，
∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，
∴BC＝2AD＝24，
故答案为：24．
12．（4分）（2021春?莱州市期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于
180° ．
解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，
∵三个三角形全等，
∴∠4+∠9+∠6＝180°，
又∵∠5+∠7+∠8＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．
故答案为：180°．
13．（4分）（2021?淮安）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是
4 ．
解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，
4﹣1＜a＜4+1，即3＜a＜5，
又∵第三边的长是偶数，
∴a为4．
故答案为：4．
14．（4分）（2021春?沙坪坝区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°．将三角形沿EF翻折，使点C与边AB上的D点重合．若∠EFD＝2∠AED，则∠AED的度数为 40° ．
解：设∠EFD＝2∠AED＝2x．
由折叠性质可知，∠EDF＝∠C＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，
∠DEF＝∠CEF，
∴∠DEF＝180°﹣∠EDF﹣∠EFD＝180°﹣30°﹣2x＝150°﹣2x，
∴∠CEF＝150°﹣2x，
∵∠DEF+∠CEF+∠AED＝180°，
∴150°﹣2x+150°﹣2x+x＝180°，
解得x＝40°，
即∠AED＝40°．
故答案为：40°．
15．（4分）（2021春?岳麓区月考）今年长沙马拉松中三名参赛者甲、乙、丙．他们来自不同职业：医生，教师，会计．已知甲和医生不同年龄，丙比会计年轻，医生比乙年长．则甲的职业是 会计 ．
解：记已知条件为①，②，③，
由①知甲不是医生，由③知乙也不是医生，故知丙是医生，
假定甲是教师，则乙应是会计，
但由②知丙比乙年轻，由③又得丙比乙年长，两者矛盾，故甲不是教师，
∴甲是会计．
故答案为：会计．
16．（4分）（2021春?射阳县校级期末）如图，AB＝12cm，∠CAB＝∠DBA＝62°，AC＝BD＝9cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设点Q的运动速度为xcm/s．当以B、P、Q顶点的三角形与△ACP全等时，x的值为
3或 ．
解：①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
，
解得；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
，
解得；
综上所述，当x＝3或时，△ACP与△BPQ全等．
故答案为3或．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）（2021秋?兴义市期末）在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；
∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝100°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝50°，
∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°，
∠ECD＝90°﹣70°＝20°
18．（6分）（2021春?河南期末）写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．
解：命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直．
原命题是假命题．
反例：如图1，∠CAB
的两边与∠CDB的两边分别垂直，但∠CAB+∠CDB＝180°，∠CAB与∠CDB不一定相等；
逆命题是假命题．
反例：如解图2，∠AOC＝∠BOD，但AB与CD不一定垂直．
19．（8分）（2021春?深圳期中）如图，把一个长为10m的梯子AB斜靠在墙上，测得BM＝6m，梯子沿墙下滑到CD位置，测得∠ABM＝∠DCM，DM＝8m，求梯子下滑的高度．
解：∵在△ABM与△DCM中，，
∴△ABM≌△DCM（AAS），
∴BM＝CM＝6m，AM＝DM＝8m，
∴AC＝AM﹣CM＝2m．
即梯子下滑的高度是2m．
20．（8分）（2021春?清远期末）如图，O是AB上一点，过点O作射线OC．
（1）利用尺规作图分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）试判断OD与OE的位置关系，并说明理由．
解：（1）如图，OD、OE为所作；
（2）OD⊥OE．
理由如下：
∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COD＝AOC，∠EOC＝∠BOC，
∴∠COD+∠EOC＝（∠AOC+∠BOC）＝×180°＝90°，
即∠DOE＝90°，
∴OD⊥OE．
21．（8分）（2021春?张店区期末）已知，在△ABC中，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，且AD＝CE．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．
（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠D＝∠E＝90°，
在Rt△ACD和Rt△CBE中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△CBE（HL），
∴∠DCA＝∠EBC，
∵∠E＝90°，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，
∴∠DCA+∠ECB＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°；
（2）解：△ODE等腰直角三角形，
理由如下：如图2，连接OC，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点O是AB中点，
∴AO＝BO＝CO，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠BOC+∠BEC+∠ECO+∠EBO＝360°，
∴∠EBO+∠ECO＝180°，且∠DCO+∠ECO＝180°，
∴∠DCO＝∠EBO，
由（1）知，Rt△ACD≌Rt△CBE，
∴DC＝BE，
在△DCO和△EBO中，
，
∴△DCO≌△EBO（SAS），
∴EO＝DO，∠EOB＝∠DOC，
∵∠COE+∠EOB＝90°，
∴∠DOC+∠COE＝90°，
∴∠DOE＝90°，且DO＝EO，
∴△ODE是等腰直角三角形．
22．（10分）（2021春?卢龙县期末）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．
（1）若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝ 140 °，∠DBC+∠DCB＝ 90 °，∠ABD+∠ACD＝ 50 °．
（2）若∠A＝55°则∠ABD+∠ACD＝ 35 °．
（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系．
解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°．
又∵∠EDF＝90°，∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝180°﹣90°＝90°．
∴∠ABD+∠ACD
＝∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）
＝140°﹣90°
＝50°．
故答案为：140，90，50．
（2）由（1）知：∠ABD+∠ACD＝∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB），∠DBC+∠DCB＝90°．
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．
∴∠ABD+∠ACD＝180°﹣∠A﹣90°＝90°﹣∠A．
∴当∠A＝55°，∠ABD+∠ACD＝90°﹣55°＝35°．
故答案为：35．
（3）由（2）可知：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
23．（10分）（2021?长沙模拟）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如图．
（1）请证明文中的∠ADE＞∠B
（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？
小敏同学提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折痕交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小敏的方法完成证明．
解：（1）∵∠ADE是△EBD的一个外角，∠B为与∠ADE不相邻的内角．
∴∠ADE＞∠B．
（2）证明：∵将△ABC折叠，使点B落在点C上，
∴BF＝CF，
在△ACF中，AF+FC＞AC，即AF+BF＞AC，
∴AB＞AC．
24．（10分）（2021春?宽城区期末）如图，在△ABC中，点E是边AC上一点，∠AEB＝∠ABC．
（1）如图1，作∠BAC的平分线交CB、BE于D、F两点．求证：∠EFD＝∠ADC．
（2）如图2，作△ABC的外角∠BAG的平分线，交CB的延长线于点D，延长BE、DA交于点F，试探究（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（2）探究（1）中结论仍成立；
理由：∵AD平分∠BAG，
∴∠BAD＝∠GAD，
∵∠FAE＝∠GAD，
∴∠FAE＝∠BAD，
∵∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，
又∵∠AEB＝∠ABC，
∴∠EFD＝∠ADC．
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第1章
三角形的初步认识
单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021春?嵩县期末）不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的角平分线
B．三角形的中线
C．三角形的高
D．三角形的高和中线
2．（3分）（2021春?舞钢市期末）如图，△ABC中，AC边上的高是（ ）
A．线段CD
B．线段AF
C．线段BE
D．线段CE
3．（3分）（2021春?锦州期末）已知一个三角形两边的长分别是4和6，则此三角形第三边的长不可能是（ ）
A．1
B．4
C．6
D．9
4．（3分）（2021?天心区二模）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性
D．垂线段最短
5．（3分）（2021春?本溪期末）将一副三角板如图所示放置，使两个直角重合，则∠AFE的度数是（ ）
A．175°
B．165°
C．155°
D．145°
6．（3分）（2021春?沙河口区期末）下列命题正确的是：（ ）
①同位角相等，两直线平行；
②相等的两个角是对顶角；
③同旁内角互补；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
A．①③④
B．①③
C．①④
D．②③
7．（3分）（2021春?闵行区校级月考）下列不能作为判定△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E
B．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
C．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D
D．∠A＝∠D，AC＝DF，∠B＝∠E
8．（3分）（2021春?浦东新区月考）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（ ）
A．0＜AD＜12
B．1＜AD＜6
C．0＜AD＜6
D．2＜AD＜12
9．（3分）（2021春?海淀区校级期末）如图，已知点D，E分别在∠CAB的边AB，AC上，若PA＝12，∠CAB＝60°，由作图痕迹可得，PE的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．6
D．12
10．（3分）（2021春?市中区期末）如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．（4分）（2021?滨江区二模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，如果AG＝8，那么BC的长为
．
12．（4分）（2021春?莱州市期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于
．
13．（4分）（2021?淮安）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是
．
14．（4分）（2021春?沙坪坝区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°．将三角形沿EF翻折，使点C与边AB上的D点重合．若∠EFD＝2∠AED，则∠AED的度数为
．
15．（4分）（2021春?岳麓区月考）今年长沙马拉松中三名参赛者甲、乙、丙．他们来自不同职业：医生，教师，会计．已知甲和医生不同年龄，丙比会计年轻，医生比乙年长．则甲的职业是
．
16．（4分）（2021春?射阳县校级期末）如图，AB＝12cm，∠CAB＝∠DBA＝62°，AC＝BD＝9cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．设点Q的运动速度为xcm/s．当以B、P、Q顶点的三角形与△ACP全等时，x的值为
．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）（2021秋?兴义市期末）在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
18．（6分）（2021春?河南期末）写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．
19．（8分）（2021春?深圳期中）如图，把一个长为10m的梯子AB斜靠在墙上，测得BM＝6m，梯子沿墙下滑到CD位置，测得∠ABM＝∠DCM，DM＝8m，求梯子下滑的高度．
20．（8分）（2021春?清远期末）如图，O是AB上一点，过点O作射线OC．
（1）利用尺规作图分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）试判断OD与OE的位置关系，并说明理由．
21．（8分）（2021春?张店区期末）已知，在△ABC中，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，且AD＝CE．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．
22．（10分）（2021春?卢龙县期末）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．
（1）若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝
°，∠DBC+∠DCB＝
°，∠ABD+∠ACD＝
°．
（2）若∠A＝55°则∠ABD+∠ACD＝
°．
（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系．
23．（10分）（2021?长沙模拟）人教版初中数学教科书八年级上册第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如图．
（1）请证明文中的∠ADE＞∠B
（2）如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？
小敏同学提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折痕交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小敏的方法完成证明．
24．（10分）（2021春?宽城区期末）如图，在△ABC中，点E是边AC上一点，∠AEB＝∠ABC．
（1）如图1，作∠BAC的平分线交CB、BE于D、F两点．求证：∠EFD＝∠ADC．
（2）如图2，作△ABC的外角∠BAG的平分线，交CB的延长线于点D，延长BE、DA交于点F，试探究（1）中的结论是否成立？请说明理由．
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