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九上数学第一章：二次函数培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.关于二次函数y＝2（x﹣4）2+6的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4
B．有最小值4
C．有最大值6
D．有最小值6
2.在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+1
B．y＝（x+2）2+1
C．y＝（x+2）2﹣1
D．y＝（x﹣2）2﹣1
3.若坐标平面上二次函数y＝a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y＝（x+3）2的图形完全叠合，则a、b、c的值可能为下列哪一组？（ ）
A．a＝1，b＝0，c＝﹣2
B．a＝2，b＝6，c＝0
C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0
D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2
4.抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），则当x＝2时，y的值为（ ）
A．﹣5
B．﹣3
C．﹣1
D．5
5.二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
6.在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣4x+5
B．y＝x2+4x+5
C．y＝﹣x2+4x﹣5
D．y＝﹣x2﹣4x﹣5
7.已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足，则的值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
8.二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0，
B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0，
D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
9.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论错误的是（ ）
A．abc＞0
B．b2＞4ac
C．4a+2b+c＞0
D．2a+b＝0
10.设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当a≤x≤b时，总有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，则称函数C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函数”，a≤x≤b为“逼近区间”．则下列结论：
①函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”；
②函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”；
③0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”；
④2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”．其中，正确的有（ ）
A．②③
B．①④
C．①③
D．②④
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.在函数y＝（x﹣1）2中，当x＞1时，y随x的增大而
．（填“增大”或“减小”）
12.对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有公共点，则b的取值范围是
13.把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为________________________
14.若抛物线与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是_______________
15.如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根．其中正确的为
______（将所有正确结论的序号都填入）
16.设抛物线y＝x2+（a+1）x+a，其中a为实数．
（1）若抛物线经过点（﹣1，m），则m＝
；
（2）将抛物线y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（本题6分）已知y关于x的函数．
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
18（本题8分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；（2）设直线l与y轴交于点D，抛物线交y轴于点E，则△DBE的面积是多少？
19.（本题8分）已知二次函数（m是常数）
（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图像沿x轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点？
20（本题10分）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
21（本题10分）已知抛物线的对称轴为直线．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且，．比较y1与y2的大小，并说明理由；
22（本题12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；
23.（本题12分）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．（1）求m的值和直线对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标．
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精品试卷·第
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（共
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九上数学第一章：二次函数培优训练试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：D
解析：∵二次函数y＝2（x﹣4）2+6，a＝2＞0，
∴该函数图象开口向上，有最小值，当x＝4取得最小值6，
故选：D．
2.答案：B
解析：将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，得到：y＝（x+2）2，
再向上平移1个单位长度得到：y＝（x+2）2+1．
故选：B．
3.答案：A
解析：∵二次函数y＝a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y＝（x+3）2的图形完全叠合，
∴a＝1．
故选：A．
4.答案：A
解析：如图
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0）、（3，0），且与y轴交于点（0，﹣5），
∴可画出上图，
∵抛物线对称轴，
∴点（0，﹣5）的对称点是（2，﹣5），
∴当x＝2时，y的值为﹣5．
故选：A．
5.答案：A
解析：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x＝，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（，0），故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，对称轴为直线x＝，直线经过点（，0），故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，对称轴为直线x＝，直线经过点（，0），故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，对称轴为直线x＝，直线经过点（，0），故本选项不符合题意；
故选：A．
6.答案：A
解析：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）?+1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．
由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．
∴抛物线y＝﹣x2﹣4x+5的顶点坐标是（﹣2，9）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）?+9＝﹣x?﹣4x+5．
故选：A．
7.答案：C
解析：∵二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象上有且只有P1，P2，P3三点满足
∴三点中必有一点在二次函数y＝2x2﹣8x+6的顶点上，
∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2＝2（x﹣1）（x﹣3），
∴二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象的顶点坐标为（2，﹣2），
令y＝0，则2（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得x＝1或x＝3，
∴与x轴的交点为（1，0），（3，0），
∴AB＝3﹣1＝2，
∴．
故选：C．
8.答案：C
解析：如图，由题意对称轴x＝1，
观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，
若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意，
若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意，
若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意，
若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意，
故选：C．
9.答案：C
解析：由图象可得，抛物线开口向上，故a＞0，
由于抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
由图象可得，c＜0，
对称轴为，
∴，∴b＝﹣2a，
∵a＞0，∴b＜0，∴abc＞0，
故A选项正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
故B选项正确；
由图象可得，当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故C选项错误；
∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴，∴2a+b＝0，
故D选项正确，故选：C．
10.答案：A
解析：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2上，当x＝1时，y1﹣y2最大值为﹣9，当x＝2时，y1﹣y2最小值为﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函数y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函数”不正确；
②y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，当x＝3时，y1﹣y2最大值为1，当x＝4时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函数”正确；
③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1上，当x＝时，y1﹣y2最大值为，当x＝0或x＝1时，y1﹣y2最小值为﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤，当然﹣1≤y1﹣y2≤1也成立，故0≤x≤1是函数y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近区间”正确；
④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3上，当x＝时，y1﹣y2最大值为，当x＝2或x＝3时，y1﹣y2最小值为1，即1≤y1﹣y2≤，故2≤x≤3是函数y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近区间”不正确；
∴正确的有②③，
故选：A．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：增大
解析：∵函数y＝（x﹣1）2，
∴a＝1＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
12.答案：
解析：∵对于任意实数a，抛物线y＝x2+2ax+a+b与x轴都有交点，
∴△≥0，则（2a）2﹣4（a+b）≥0，
整理得b≤a2﹣a，
∵a2﹣a＝（a﹣）2﹣，
∴a2﹣a的最小值为，
∴b≤，
故答案为b≤．
13.答案：
解析：把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x
故答案为y＝2x2+4x．
14.答案：
解析：设抛物线与轴的两个交点坐标分别为，且，
由题意得：，解得，
则抛物线与轴的两个交点坐标分别为，
将点代入得：，解得，
则抛物线的解析式为，
顶点的坐标为，
则点关于轴的对称点的坐标是，
15.答案：②④
解析：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的交点（3，0），对称轴为直线x＝1，
∴抛物线x轴的另一个交点在（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，即②正确；
由图象无法判断y的最大值，故③错误；
方程ax2+bx+c+1＝0的根的个数，可看作二次函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的交点个数，
由图象可知，必然有2个交点，即方程ax2+bx+c+1＝0有2个不相等的实数根．
故④正确．故答案为：②④．
16.答案：0，
2
解析：（1）点（﹣1，m）代入抛物线解析式y＝x2+（a+1）x+a，
得（﹣1）2+（a+1）×（﹣1）+a＝m，解得m＝0．
故答案为：0．
（2）y＝x2+（a+1）x+a向上平移2个单位可得，y＝x2+（a+1）x+a+2，
∴，
∴抛物线顶点的纵坐标，
∵，
∴n的最大值为2．
故答案为：2．
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）是一次函数，
∴且，
解得，
∴当时，此函数是一次函数
（2）是二次函数，
∴，
解得且．
∴当且时，此函数是二次函数．
18.解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），
∴，解得
所以抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；
（2）设直线l的解析式为y=kx+m（k≠0），
把A（1，0），点C（4，3）代入得，解得，
∴直线l的解析式为y=x﹣1，
当x=0时，y=x﹣1=﹣1，则D（0﹣1），
当x=0时，y=x2﹣4x+3=3，则E（0，3），
当y=0时，x2﹣4x+3=3，解得x1=1，x2=3，则B（3，0），
∴△DBE的面积=×（3+1）×3=6．
19.解析：（1）∵，
∴方程没有实数解.
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点.
（2）∵，
∴把函数的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到函数的图象，它的顶点坐标是（m，0）.
∴这个函数的图象与x轴只有一个公共点.
∴把函数的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．
20.解析：（1）∵依题意，得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550，
∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；
（2）∵依题意得：y（x﹣50）＝4000，
即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，
解得：x1＝70，x2＝90，
∵70＜90，
∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；
（3）设每月总利润为w，依题意得w＝y（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，
∵﹣5＜0，此图象开口向下，
∴当x＝80时，w有最大值为4500元，
∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
21.解析：（1）由题意得：
（2）抛物线对称轴为直线，且
当时，y随x的增大而减小，
当时，y随x的增大而增大．
当时，y1随x1的增大而减小，
时，，时，
同理：时，y2随x2的增大而增大
时，．
时，
22.解析：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，
得到，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
设BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（4，0），C（0，4），
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
（3）如图1中，
由题意A，B关于抛物线的对称轴直线对称，
连接BC交直线于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，
最小值为线段BC的长＝，
此时．
23.解析：（1）将代入，
化简得，则（舍）或，
∴，
得：，则．
设直线对应的函数表达式为，
将、代入可得，解得，
则直线对应的函数表达式为．
（2）如图，过点A作∥BC，设直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移
GC个单位，得到直线，
由（1）得直线BC的解析式为，，
∴直线AG的表达式为，
联立，
解得：（舍），或，
∴，
由直线AG的表达式可得，
∴，，
∴直线的表达式为，
联立，
解得：，，
∴，，
∴，，．
（3）如图，取点，连接，过点作于点，
过点作轴于点，过点作于点，
∵，
∴AD=CD，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，则，．
设，
∵，，
∴．
由，则，即，解之得，．
所以，又，
可得直线对应的表达式为，
设，代入，
得，，，
又，则．所以．
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