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九上数学第一章：二次函数能力提升测试试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．下列各点，不在二次函数的图象上的是（??
）
A．（1，﹣1）?????B．（1，1）??
C．（﹣2，4）??
D．（3，9）
2．将抛物线y＝2x2向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝2（x﹣4）2﹣1
B．y＝2（x+4）2+1
C．y＝2（x﹣4）2+1
D．y＝2（x+4）2﹣1
3．将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x+m）2+h的形式，结果为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+4
B．y＝（x+1）2+4
C．y＝（x﹣1）2+2
D．y＝（x+1）2+2
4.已知抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
5．如图，在同一坐标系下，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+4的图象大致可能是（ ）
6．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣4
C．2
D．4
7.如图，二次函数的图象与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，则下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．点A的坐标为（﹣4，0）
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴为直线x＝﹣2
8.若抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．（2，4）
B．（﹣2，4）
C．（﹣2，﹣4）
D．（2，﹣4）
9.已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），
抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（ ）
A．5
B．﹣1
C．5或1
D．﹣5或﹣1
10.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①＞0；②﹣2＜b＜；③（a+c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.抛物线的对称轴是直线
，顶点坐标为
12.已知原点是抛物线的最低点，则m的取值范围是__________
13.一个二次函数的图象满足如下特征：①抛物线开口向上，且对称轴是直线x＝4；②与x轴两个交点的横坐标都是整数；③与y轴交点纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形面积为3，请写出所有满足上述全部特点的二次函数关系式
14.如图，抛物线y1＝（x﹣2）2﹣1与直线y2＝x﹣1交于A、B两点，则当y2≥y1时，x的取值范围为
_____________________
15.抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图，OA＝OC，则满足的等量关系为__________________
16.已知抛物线与x轴交于点（1，0），（4，0），则关于x的一元二次方程
的解是
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．（本题6分）抛物线y＝x2+bx+c经过点A，B，已知A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，连接AC、BC、BD，求△BCD的面积．
18．（本题8分）某商场销售某种品牌的手机,每部进货价为2500元.市场调研表明：当销售价为2900元时,平均每天能售出8部；而当销售价每降低50元时,平均每天就能多售出4部.
（1）当售价为2800元时,这种手机平均每天的销售利润达到多少元?
（2）若设每部手机降低x元,每天的销售利润为y元,试写出y与x之间的函数关系式．
（3）商场要想获得最大利润,每部手机的售价应订为为多少元？此时的最大利润是多少元？
19（本题8分）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD的面积最大时AB的长．
20.（本题10分）
已知二次函数的图象经过点．
（1）求的值并写出当时的取值范围．
（2）设点，，在这个二次函数的图象上．
①当时，能否作为同一个三角形三边的长?请说明理由；
②当取不小于5的任意实数时，一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
21（本题10分）如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线的对称轴上，点Q在x轴上，若以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P、Q的坐标；
22（本题12分）.如图，二次函数的图象与一次函数的图象相交于、两点，从点A和点B分别引平行于轴的直线与轴分别交于C，D两点，点，为线段CD上的动
点，过点P且平行于轴的直线与抛物线和直线分别交于R，S．
(1)求一次函数和二次函数的解析式，并求出点B的坐标；
(2)当SR=2RP时，计算线段SR的长；
(3)若线段BD上有一动点Q且其纵坐标为，问是否存在的值，使?
若存在，求的值；若不存在，说明理由．
23．（本题12分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且交y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
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九上数学第一章：二次函数能力提升测试试题答案
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：A
解析：将,（1，﹣1）,（1，1）,（﹣2，4）,（3，9）代入y=x2,
（1，﹣1）不能使左右两边相等,
故选A
2.答案：B
解析：抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），
把点（0，0）先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度得到（﹣4，1）
所以平移后所得的抛物线的解析式y＝2（x+4）2+1，
故选：B．
3.答案：C
解析：y＝x2﹣2x+3
＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2．
故选：C．
4.答案：B
解析：∵抛物线与轴的一个交点为，对黍轴为，
∴另一个交点为，
当时，，
故选择：B
5.答案：C
解析：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＜0，x＝＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，x＝＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，故本选项错误．
故选：C．
6.答案：B
解析：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，
可知函数的对称轴x＝1，
∴，
∴b＝2；
∴y＝﹣x2+2x+4，
将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；
故选：B．
7.答案：D
解析：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上，
∴a＞0，
故A错误，
∵图象对称轴为直线x＝﹣2，且过B（﹣1，0），
∴B点的坐标为（﹣3，0），
故B错误，D正确，
由图象知，当x＜0时，由图象可知y随x的增大先减小后增大，
故C错误，故选：D．
8.答案：A
解析：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，，
∴，
解得c＝0，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点P的坐标为（2，﹣4），
∴点P关于x轴的对称点的坐标是（2，4），
故选：A．
9.答案：C
解析：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称轴为直线x＝h+m，
∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；
当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，
即m的值为5或1．
故选：C．
10.答案：B
解析：①∵函数图象开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，a与b异号，
∴b＜0，
∵函数图象与y轴交负半轴，
∴c＜0，故，正确
②∵顶点坐标（1，n），对称轴，
∴b＝﹣2a＜0，，
∴B点（3，0）关于对称轴x＝1对称点为（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，得c＝b，
∵﹣3＜c＜﹣2，
∴﹣3＜＜﹣2，
∴﹣2＜b＜，错误．
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝0，正确．
④当x＝1，时，y＝a+b+c＝n，
∵，
∴n＝2b，
∴2c﹣a＝，
∵b＜0，
∴＞4b，即2c﹣a＞2n，错误．
故选：B．
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：x＝﹣1，（﹣1，2）．
解析：抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，2）．
故答案为x＝﹣1，（﹣1，2）．
12.答案：
解析：∵原点是抛物线y＝（m+1）x2的最低点，
∴m+1＞0，
即m＞﹣1．
13.答案：或．
解析：经过点（3，0），（5，0）、（0，3）的抛物线符合上述特点．
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x﹣5），将点C的坐标代入得：15a＝3，解得：．
∴符合题意的一个二次函数的关系式为．
经过点（1，0），（7，0）、（0，1）的抛物线符合上述特点．
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣7），将点C的坐标代入得：7a＝1，解得：．
∴符合题意的一个二次函数的关系式为．
故答案为：或．
14.答案：1≤x≤4
解析：联立，
解得，，
所以，A（1，0），B（4，3），
所以，当y2≥y1时，x的取值范围1≤x≤4．
故答案为：1≤x≤4．
15.答案：
解析：∵OA＝OC，
∴点A、C的坐标为（﹣c，0），（0，c），
∴把点A的坐标代入y＝ax2+bx+c得，
ac2﹣bc+c＝0，
∴c（ac﹣b+1）＝0，
∵c≠0
∴ac﹣b+1＝0，
∴ac+1＝b．
16.答案：x1＝4，x2＝7．
解析：抛物线y＝（x﹣m）2+n与x轴交于点（1，0），（4，0），
将抛物线y＝（x﹣m）2+n向右平移3个单位得到y＝（x﹣m﹣3）2+n，
则平移后的抛物线与x轴的交点为（4，0）、（7，0），
故一元二次方程（x﹣m﹣3）2+n＝0的解是x1＝4，x2＝7，
故答案为x1＝4，x2＝7．
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c得：
，解得b＝﹣2，c＝﹣3，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴C（1，﹣4），
设AC解析式为y＝mx+n，将A（﹣1，0），C（1，﹣4）代入得：
，解得，
∴AC解析式为y＝﹣2x﹣2，
令x＝0得y＝﹣2，
∴D（0，﹣2），
∴S△BCD＝S△ABC﹣S△ABD＝×[3﹣（﹣1）]×4﹣×[3﹣（﹣1）]×2＝4，
18.解析：（1）当售价为2800元时,销售价降低100元,平均每天就能售出16部.
所以：这种手机平均每天的销售利润为：（元）；
（2）根据题意,得,
即；
（3）对于,
当时,
所以,每台彩电降价150元时,商场每天销售这种彩电的利润最大,最大利润是5000元．
19.解析：设AB＝xm，矩形ABCD的面积设为y（平方米），
则AB＋EF＋CD＝3x，
∴AD＝BC＝．
∴．
由于二次项系数小于0，所以y有最大值，
∴当AB=x＝时，函数y取得最大值．
当AB=150m，矩形ABCD的面积最大
20.
解析：（1）
由题意得：，
∴则，
∴当时，．
，，
．
①当时，
∵，
∴不能作为同一个三角形三边的长．
②当时，
∵，而当时，随增大而增大，
∴，
∴
∴一定能作为同一个三角形三边的长．
21.解析：（1）将点B（3，0），C（0，﹣3）分别代入y＝ax2﹣2x+c中，
得：，解得，
∴抛物线得函数关系为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为，
故设点P（1，m），
设点Q（x，0），
当以点P、Q、B、C为顶点，BC为边的四边形为平行四边形时，
点C向右平移3个单位向上平移3个单位得到点B，同样P（Q）向右平移3个单位向上平移3个单位得到点Q（P），
则1±3＝x且m±3＝0，
解得或，
故点P、Q的坐标分别为（1，﹣3）、（4，0）或（1，3）、（﹣2，0）；
22.解析：（1）由题意知点在的图象上，又在的图象上
所以得和，
∴．
∴一次函数的解析式为．
二次函数的解析式为．
由，
解得或
所以B点的坐标为．
(2)因过点且平行于轴的直线为，
得，
所以点S的坐标．
由得，
所以点R的坐标．
所以．
由SR=2RP得，
解得或．
因点为线段CD上的动点，
所以，
所以或
当时，
所以线段SR的长为或4．
(3)存在符合题意的．
因，点R到直线BD的距离为，
所以
解得或．
因为，
所以．
23.解析：（1）抛物线经过点两点，代入得：
，解得：
则抛物线的解析式为；
（2）由抛物线可知，
因此，设直线BC的解析式为：
代入得
解得：
则直线BC的解析式：
已知点M的横坐标为m，且轴，则；
则
故MN的长为；
（3）存在点M，使的面积最大
如图，过点M作轴于点D
则
即
由二次函数的性质可知：当时，随m的增大而增大；当时，随m的增大而减小
则当时，的面积最大，最大值为.
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