浙教版九上4.1.3 比例线段 教案

4.1比例线段（3）
一.教材分析
本节课是九年级上册第四章第一节的第三课时。是前面两节课所学概念的特殊情况：四个数成比例，当两个内项相等时，该内项称为两个外项的比例中项；四条线段成比例，当较长线段为最短线段和最长线段的比例中项，并且最长线段等于最短线段和较长线段的和，那么最短线段和较长线段的比等于较长线段和最长线段的比叫做黄金比。
二.学情分析
学生会熟练求出一元二次方程的解，熟练列出比例式和相关计算；对艺术作品有一定的鉴赏能力，能体会从数学的角度来发现自然和经典作品的美是一件愉悦的事情。
三.教学目标：
（1）知识技能：理解比例中项和黄金分割以及黄金分割点的概念，并能根据概念进行相关计算.
（2）数学思考：从一般到特殊，从特殊到一般的研究问题的方法.
（3）问题解决：线段的黄金分割点的特殊性，以及衍生的相关黄金矩形和黄金三角形.
（4）情感态度：欣赏和体会大自然的各种和谐美中暗藏的共通的数学内容.
四.教法学法
教法：“探索教学法”体现学生的主体性，“引导教学法”发挥教师的主导性；
学法：自主探究，合作交流。
五.教学难重点
重点：理解比例中项和黄金分割以及黄金分割点的概念，并能根据概念进行相关计算.
难点：黄金分割的相关计算以及线段黄金分割点的几何作图.
六.教学过程：
环节一：情景引入
欣赏图片（名画和名建筑），感知和谐美，再利用四张矩形的纸片引导学生发现这些矩形的形状一样，即它们的长和宽的比都相等.
老师将任意一张矩形纸片沿着垂直较长边方向进行折叠之后，得到的新的小矩形和原来的那几个矩形也是形状一样的，此时提出问题：这样的矩形它的宽和长的比值是多少？
把刚才的实际问题抽象成如下的几何问题：
不妨设AB=1,
AP=k,根据矩形PBCQ和矩形BCDA的宽和长的比相等，可列出比例式，从而得到关于k的方程，求出k的值为，约为0.618.
设计意图：通过对经典作品的赏析，勾起学生的好奇心；利用折纸演示和视觉感知，调动学生的探究欲望；引导学生将问题数学化之后，降低难度，增加学生解决问题的信心。
环节二：概念理解
老师带着学生再次观察该图形，观察角度从矩形的分割转到线段的分割上来：线段AB被点P分成的较长线段AP和较短线段PB，满足比例式PB
：AP
=
AP
：AB，引出黄金分割的相关定义：
如果点P
把线段AB分成两条线段AP
和PB，使AP>PB，且PB
：AP
=
AP
：AB，那么称线段AB被点P
黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫做黄金比.
从特殊的三条线段的比值问题过渡到一般的三个数之间的比值问题，引出比例中项的概念：一般地,如果三个数a,b,c满足比例式，那么b就叫做a,c的比例中项.
设计意图：梳理概念，引导学生回顾线段的特殊点除了端点和中点之外，我们又学习了一个黄金分割点，这是前面两节课所学概念的特殊情况，体会中点美在对称，黄金分割点美在和谐。
环节三：巩固练习
设置两组简单的练习题，巩固黄金分割和比例中项的概念，熟练相关计算：
练习1：
（1）求线段a=4.5cm，c=2cm，则线段a，c的比例中项线段b=_______.
（2）已知，，则a，c的比例中项b=______.
练习2：
一本书的宽与长之比为黄金比,已知它的宽为14cm，求它的长(精确到0.1cm).
例题：如图，已知线段AB=，点P是它的黄金分割点，AP＞PB，求AP，BP的长.
练习3：如图，已知点P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10cm,求PQ的长（保留根号）.
设计意图：通过四个题目的练习，进一步熟悉新学的概念，练习3放手给学生自己解决，并且到黑板上分享解题想法，激活解题思路，积累相关解题经验。
环节四：实践操作
抛出问题：老师如何才能剪出刚刚那些形状一样的大大小小矩形的纸片？也就是说，已知一条线段作为矩形的长，我怎么才能知道它的款是多少呢？问题转化为如何作出一条线段的黄金分割点.从黄金分割比这个无理数的形式上进行分析：不妨设已知线段的长为1，则分出的较长边=，
从而想到构造中点和直角三角形来作图.
设计意图：通过对黄金分割比这个无理数的分析，一步步引导学生回顾线段的相关作图技巧，和学生一起总结出作图步骤。
环节五：应用拓展
了解黄金分割在生活中的一些应用，介绍黄金三角形和华罗庚的黄金分割优选法：所谓优选法也叫快速优选法，它是用最快的速度把最优的方案选出来.优选法被广泛运用于科学实验、工业生产以及日常生活之中.在实际操作时常用“折纸法”来安排实验，同时还要用到黄金数0．618，因而“优选法”又被称为“黄金分割法”.我国著名数学家华罗庚教授在研究、推广和普及优选法的工作中，做出了重大的贡献，并卓有成效.早在70年代，由于数学家华罗庚教授的大力宣传和推广优选法，全国各行各业都将优选法运用于生产实践，从而产生了巨大的经济效益.有研究表明，用这种“优选法”做16次试验相当于用“均分法”
2500多次试验所达到的精度。实践证明，在选择合适的生产条件、进行新产品的试制、确保达到产品质量的情况下，“优选法”确实能让我们快速选择最佳方案.
设计意图：数学史的简单介绍，能真正激发孩子们的民族自豪感，数学家克服困难的毅力和忘我追求真理的精神深深感染孩子们。
环节六：课堂小结
设计意图：梳理知识的同时，帮助学生建立知识体系。
环节七：布置作业
1.完成常规作业:作业本（2）P26-27.
2.通过网络或文献查询，了解“斐波那契数列”和“黄金比”之间的联系.
设计意图：设计颇具挑战性的和思维含量极为丰富的拓展选做题,希望学生通过查找资料来了解斐波那契数列，进一步体会生活中所蕴含的数学知识！
板书设计：
4.1
比例线段（3）
概念：
如果点P
把线段AB分成两条线段AP
和PB，使AP>PB，且PB
：AP
=
AP
：AB，那么称线段AB被点P
黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫做黄金比.
一般地,如果三个数a,b,c满足比例式，那么b就叫做a,c的比例中项.
练习3：
如图，已知点P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10cm,求PQ的长（保留根号）.
思路1：PQ=AB-AP-BQ=AB-(AB-BP)-(AB-AQ)
=2AB-AB=AB
思路2：PQ=AQ+BP-AB=
AB
思路3：PQ=2(AB-AP)=
AB
思路4：PQ=AQ-AP=
AB
小结：在求有关黄金分割的线段时，一般先利用黄金比求出较长线段，再求较短线段。
不妨设AB=1,AP=k,根据矩形PBCQ和矩形BCDA的宽和长的比相等，可得到比例式：
黄金分割点的作图：
七.教学反思
（一）成功之处：
1.黄金矩形的引入，充分调动学生的兴趣，引导学生从矩形的形状相同（宽和长的比值相等）得到比例式，从而得到方程来计算出黄金分割比，然后再回过头来从二维降为一维，非常自然地过渡到线段黄金分割的概念，突破本节教学的难点.
2.通过练习3，开阔学生解题思路，将线段的和差，黄金分割点的概念，黄金分割点的对称性质综合运用，学生在解题的过程中去体会和归纳有关黄金分割的相关计算思路和简便的计算技巧.
3．线段的黄金分割点的几何作图，尽管新教材已经删掉这个例题，但是本节课中仍然进行补充，目的是进一步巩固黄金分割的概念，提升学生尺规作图的能力。不过采用构造法来作图确实具有一定的难度，对不同的学生应当做不同的要求，以求实现不同的人在数学上得到不同的发展这一愿景.
4.华罗庚黄金分割优选法的介绍，不仅可以增强学生的民族自豪感，还可以进一步体会数学知识在实际生产生活中所做出的巨大贡献，学生可以体会到学习数学不仅仅是训练思维，也是社会进步每个公民不可或缺的基本素养.
（二）不足之处及改进方法：
1.本节内容课本将上一节内容“比例外项和比例内项”特殊化，即两个比例内项相等，然后再次特殊化，即三个正数，不仅满足最大数和最小数的乘积等于较大数，而且满足最大数等于最小数与较大数之和.本节教学过程中交换比例中项和黄金分割两个概念的先后顺序，学生在计算认知上会存在一定困难，需要课后一定量练习进行弥补.
2.实践操作环节和应用拓展环节，需要用一定时间来引导学生探究黄金分割点的几何作图以及介绍华罗庚的黄金分割优选法，这势必将减少操作性题目的练习时间，对于数学基础和数学能力较弱的学生，还将在课后的配套作业中进行帮助.
八.教学评析
这是一节概念理解应用的新授课，教师设计大气，立意高，可以看出设计者有非常扎实的教学基本功与很好的数学素养，整节课可以概括如下：
1.本节课教师能从数学知识结构和学生原有的认知结构出发，以完善学生数学认知结构为目标，充分体现数学思维的合理性、严谨性。教师的教学从黄金矩形的引入，到黄金分割比，到线段黄金分割的概念，应用，拓展，设计自然、合理，起点低又充分调动学生的兴趣。
2.
本节课引导学生自然、合理地提出数学问题，让学生带着问题，通过自主探究，合作交流的方式，突出数学教学的问题性、自主性和探究性。
3.上课老师驾驭课堂和调动学生积极性的能力非常强，教师多处对知识进行拓展，整节课师生思维火花碰撞多，是一节数学味道非常浓厚的课，学生的思维能力得到了充分锻炼。
4.这节课让学生处处欣赏数学美，也体会数学知识在实际生产生活中的应用价值，学生体会到学习数学不仅仅是训练思维，也是社会进步每个公民不可或缺的基本素养。
5.数学史的介绍，学生也得到了爱国主义教育，增强民族自豪感，感染数学家克服困难的毅力和忘我追求真理的精神。