浙教版九上1.1 二次函数 教案

1.1二次函数
教学目标：
1.了解二次函数在生活中的应用（即学习的必要性之一实际的需要，一次函数与反比例函数只是一小部分，还有其它更多的函数关系，如许多面积等常见问题都是二次函数；当然还有其它的原因，如知识的扩充角度）。
2.用类比的方法学习二次函数的形式定义（研究内容的类比外还应有研究方法的类比，凸显思想方法，充分利用一次函数与反比例函数共同的地方即所有初等函数的共性）。理解二次函数的概念，掌握二次函数的标准形式。
3.根据实际问题确定二次函数的解析式（模型思想的提升，初中的最高水平在后面的应用），及确定自变量的取值范围。
4.会用待定系数法求二次函数的解析式（函数与方程的联系）。
教学重点：二次函数的概念和解析式（二次函数的标准形式一般式）。
教学难点：用适当的函数解析式表示实际问题中两个变量之间的函数关系。即建立函数模型。
教学方法：类比
建模
教学过程：
复习回顾，导入新课
问题1：
（1）一辆汽车前灯电路的电压保持不变。可选用什么数学模型来刻画灯泡的电阻和通过的电流强度之间的关系？
（2）据统计，近几十年来，某地区的沙漠面积几乎每年以相同的速度增长。可选用什么数学模型来预测该地区的沙漠面积变化？
我们可以用一次函数、反比例函数表示两个变量之间的变化规律，函数是解决实际问题的重要的数学工具。
（设计意图：通过学生熟悉的情境让学生体验函数来源于生活;许多实际问题可以建立函数模型用函数解决)
问题2.：我们已经学过了哪几种类型的函数？我们学习了一次函数、反比例函数的哪些内容？回忆一次函数、反比例函数的定义。
（设计意图：本章是初中阶段函数内容的整理，通过对函数所学内容的回顾、复习，挖掘已学两类函数的相同点及差异，为类比学习二次函数打好铺垫）（这一内容的整理很好！回答问题3时最好也能列个表，让学生回顾之前函数的研究套路，如定义、图象、性质、应用，并简单回顾要类比的函数的基本情况，这是重点，章节起始课应能引出二次函数整章的内容，让学生对学习内容有一个大概的了解，而且这也是学生自己根据学习经验自己想出来的，对数学地认识数学有更好的促进作用）
问题3：下列问题中两个变量之间的关系既不是一次函数也不是反比例函数，那么他们之间的关系用哪一种函数来表示呢？这种函数有哪些性质？它们的图像是什么样的？它与以前学过的函数、方程有哪些联系？这些都是本章要学习的内容。
（1）如果改变正方形的边长
x，那么正方形的面积
y
会随之改变，y
与
x
之间有什么关系？
（2）图中，从喷头飞出的水珠，在空中走过一条曲线。在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？
（设计意图：让学生感受生活中存在一些两个变量之间的关系不能用一次函数或者反比例函数来表示，需要用另外的函数表示，引出本章们学习另一类函数模型）
合作学习，探索新知
列函数关系式
（1)圆的面积
y
(cm2)与圆的半径
x
(cm)
(2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y(万元)
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为120m
,
室内通道的尺寸如图,设一条边长为
x
(m),
种植面积为
y
(m2)。
（一）概念生成
1.写出y与x之间的函数解析式。
（1）y
=πx2
（2）y
=
2000(1+x)2
=
20000x2+40000x+20000
(3)
y
=
(60-x-4)(x-2)=-x2+58x-112
2.
仔细观察，上述三个函数解析式具有哪些共同特征？
（1）右边都是关于自变量的整式。
（2）自变量的最高次都是二次。
即都是关于自变量的二次多项式。
3.类比一次函数归纳二次函数的定义。
（设计意图：让学生经历从实际情境中建立函数关系，体验用数学方法描述两个变量之间的关系，通过对函数表达式特征的分析，对一次函数的定义的回顾迁移，引导学生类比归纳出二次函数的定义）
（二）概念剖析
定义：我们把形如y=ax?+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数
称a为二次项系数，
b为一次项系数，c为常数项。
请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项。
思考：
在二次函数y=ax?+bx+c（a≠0)中
（1）常量和变量分别是什么？
（2）自变量x的取值范围是什么？
（设计意图：进一步体验巩固函数关系是表示两个变量之间的关系，当a,b,c确定时函数关系就确定了。当自变量没有实际意义时确定自变量的取值范围只需使代数式有意义即可。）
（三）概念巩固、理解
1.下列函数中，哪些是二次函数？若是请指出它的二次项系数，一次项系数，常数项.
（2）
（3）
（4）
（5）
思考：
（1）判断一个函数是否二次函数的关键是什么呢？
关键是右边是否是关于自变量的二次整式
（2）二次函数的表达式中，a≠0？b、c可否为0？
a≠0,b、c可以为0。
由此得到二次函数三种特殊形式：
2.关于x的函数
（1）当k为何值时是二次函数？
（2）当k为何值时是一次函数？
问题：（这个题目设置较好，是三种函数的统一，知识的系统化）
函数y=ax?+bx+c（其中
a、b、c
是常数
），当
a、b、c
满足什么条件时，
（1）它是二次函数；
（2）它是一次函数；
（3）它是正比例函数。
a≠0;
a=0且b≠0;
a=0，c=0且b≠0
（设计意图：通过辨析，加深对概念的理解。通过对系数的讨论确定已学函数类型，建构三种函数定义的知识网络）
例题示范，了解应用
（一）列二次函数关系式，根据实际确定自变量的取值范围，求相应自变量所对应的函数值。
1.第（1）小题，学生独立分析思考，尝试写出函数解析式，并求自变量的取值范围。
对于第一个问题可以用两种方法解答，比如：求差法和直接法。注意直接法需先证明四边形EFGH是正方形。
对于自变量的取值范围，要（引导）学生要根据实际问题中自变量的实际意义来确定。
第（2）小题，在求解并列表表示后。
问题：观察表格，你发现了什么？
对称性、增减性、最值等，通过表格中的对应值想象函数图象。
（设计意图：此例应为用实例进一步巩固加深对概念的理解，初步感知二次函数的特征即性质）
（二）用待定系数法求简单的二次函数解析式。
教师板书示范,再反思归纳.
1.对于已知的每组对应值满足函数关系式,带入后得到方程（组），一对对应值确定一个待定系数.
挑战自我
已知是x的一次函数，是x的正比例函数，
请你判断y是x的二次函数吗？
当x=-1时，y=0,当x=2时，y=3.求y关于x的函数表达式。
（设计意图：本题把二次函数的定义与一次函数的定义联系起来，为一次函数、二次函数的定义做了整理。第二问把对待定系数法的理解与整体思想相结合，把二次函数的定义做了提升）
知识整理，本课小结
知识:1.二次函数的定义.
2.实际情境中建立二次函数关系式,确定自变量的取值范围.
3.用待定系数法求简单的二次函数解析式.
类比的学习方法
主体框架没有问题了，部分细节也设计很对位。建议：要重点关注
是概念课，体现概念教学的一般规律（概念形成教学？）；
是章节起始课，体现交代研究内容、方法的大气（如何体现？）；
是知识技能的巩固，要有一定的练习（核心知识与技能是什么？）；
是思想方法的渗透，要显化思想方法（核心思想方法是什么？）。