浙教版九上1.3 二次函数的性质 教案

二次函数的性质
教学设计
一、内容和内容解析
学习内容：
浙教版《义务教育课程标准试验教科书·数学》（九年级上册第1章1.3节）二次函数的性质
内容解析：
（1）内容地位及核心知识解析：本节课是在已经学习了二次函数的概念、定义、三种表示函数的不同方法和函数的图象知识后，让学生经历探究二次函数图象的性质，感受研究函数的基本方法，为今后继续研究各类具体的函数做了必要的准备。
（2）内容结构关系解析：探索二次函数的性质。
（3）认知活动分析与价值判断：主要体现在对具体二次函数的顶点坐标、对称轴、位置、开口方向、增减性、最值的探讨，从而研究一般二次函数图象的性质。核心的数学思想是数形结合。通过上述认知活动的开展，能让学生在特定的数学认知活动中发展相应的数学认知水平，体会数学思想方法。
二、【教学目标】
(一)
知识与技能目标:
使学生掌握二次函数的函数值随自变量变化而变化的规律；
使学生了解二次函数的最大值和最小值的意义，掌握判定二次函数最大值和最小值的方法，并能求出最大值和最小值；
进一步培养学生对图象的观察能力，从特殊到一般的归纳、总结能力，使用数学语言的表达能力.
(二)
过程与方法目标:
让学生经历从特殊到一般地探索二次函数的函数值随自变量变化而变化过程，体会数形结合的方法，分类讨论的方法.
(三)
情感与态度目标;
培养学生的探索精神，增强自主学习的信心，享受成功的乐趣.
【教学重点】
二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法.
【教学难点】
二次函数的性质的应用.
三、教学问题诊断分析：
（1）学生基础分析：学生通过直角坐标系、函数的概念、函数的表示方法及二次函数概念，图象的学习，获得了函数研究方法的经验，通过二次函数的学习，获得了具体二类函数的数形结合的探究经验。
（2）学习困难分析：
①在具体的学习过程中，如果学生没有经历从画象概括函数性质的过程，对于用数学的文字来表示图象语言有困难。
②对于通过具体二次函数图象探讨二次函数的性质，学生容易停留在只从“形”的角度认识二次函数的图象，不会从“数”（解析式）的角度加深理解。
四、教学过程设计：
1、情景创设——引入函数图象
引入：近期NBA篮球赛如火如荼的进行着，请同学观看视频。（展示视频）。
运动员投篮时，篮球运动的路线是怎样的一条曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
根据右边已画好的函数图象回答问题：请看题：
抛物线，
问题1：当自变量x增大时，函数y将怎样变化？－3
－2
－1
问题2:
请同学们观察对称轴左侧部分的抛物线，
当X增大时，对应的Y的变化？
问题3:
继续观察对称轴右侧部分的抛物线，
当X增大时，对应的Y值变化？
【师生行为】
教师指导学生用手指来比画这条抛物线的形状。开口向上，当自变量增大时，Y的值先减小，后增大.
二次函数的图象是轴对称图形，请学生观察对称轴左侧部分的抛物线，当X增大时，对应的Y的变化？任取两点来对比（PPT演示）
y随着x的增大而减小
当x≤-2时,y随着x的增大而减小，对称轴的左侧用≤号表示。
继续观察对称轴右侧部分的抛物线，当X增大时，对应的Y值变化？（PPT演示）
y随着x的增大而增大，
当x≥-2时,y随着x的增大而减小，
Y随X的变化情况概括为抛物线的增减性，由此发现这条抛物线的增减性，
以对称轴作为分界，分两部分说明抛物线的增减性。判断二次函数的增减性，首先要确定它的对称轴，结合开口方向来判断二次函数的增减性。
思考：二次函数的增减性由什么确定？
问题1：根据右边已画好的函数图象回答问题：继续来探索抛物线当自变量x增大时，函数y将怎样变化？
问题2:
请同学们观察对称轴左侧部分的抛物线，当X增大时，对应的Y的变化？
问题3:
继续观察对称轴右侧部分的抛物线，当X增大时，对应的Y值变化？
【师生行为】
教师指导学生用手指来比画这条抛物线的形状。这条抛物线开口向是下，
先增大，后减小
当x≤2时,y随着x的增大而增大
当x≥2时,y随着x的增大而减小
S（齐答）:由此发现抛物线的增减性，当x≤2时,y随着x的增大而增大,
当x≥2时,y随着x的增大而减小
【设计意图】
从生活实例入手，体现数学知识源于生活，让学生感受到数学知识与生活的联系，结合二次函数图象。通过对具体函数图象的分析，充分感受函数，也让学生能充分思考二次函数的图象所具有的性质。
【师生行为】教师引导学生解决如下问题：探讨二次函数的增减性和什么有关？
与a,有关，a确定抛物线的开口方向，
与a,b有关，a,b确定抛物线的对称轴。当a,b同号时，对称轴在Y轴左侧，当a,b异号时，对称轴在Y轴右侧。当a>0时，对称轴左侧y随着x的增大而减小，对称轴右侧y随着x的增大而增大。当a<0时，对称轴左侧y随着x的增大而增大，对称轴右侧y随着x的增大而减小。
2、深入探究——具体二次函数的性质
运用二次函数的性质我们一起来解决例1：
例1.已知函数
函数图象的对称轴
顶点坐标是
（2）设函数图象与y轴交于点C，与x轴交于A,B两点（点A在点B的左边），则A,B,C三点的坐标分别是
（3）画出函数图象的示意图。
（4）当x时，y随着x的增大而增大，当x时，y随着x的增大而减小，当x时，y有最值，其值为
。
根据第（3）题的图象草图，说
出
x
取哪些值时，y>0.
【师生行为】
学生思考：教师巡视，关注学困生，跟学困生有交流，提醒和点拨思考方向。
图象的对称轴直线
X=-7顶点坐标是（-7，32）
用顶点公式，用配方法
公式法是求二次函数对称轴和顶点坐标的通用方法，而配方法含有一定的技巧性，需要同学们细心，避免配方时出现错误。
点A的坐标是（-15，0），点B的坐标是（1，0）点C的坐标是（0，）
学生分析：∵点A、B在x轴上，而X轴上的点的特征是纵坐标为0，因此，令y=0，可得关于X的一元二次方程。利用配方法或公式法可以求出方程的两个实数根，而这两个实数根就是点A和点B的横坐标，就得到点A,点B的坐标。
∵点C是抛物线与y轴的交点，y轴上点的横坐标为0，所以当X=0时，可得y=，∴点C的坐标是（0，）
由刚才的问题（1）和问题（2）可知，把这四点连接起来，
教师补充：这位学生的方法可以！为了画图更准确，再找点C关于对称轴的对称点，用五点来画图更准确。通常选择顶点，两对对称点（与X主轴的交点，与Y轴的交点，及关于对称轴的对称点）
现在我们根据这位学生的分析，演示图象的生成过程。
（多媒体展示并归纳二次函数五点法的画法）
从图象中可以直接看出，在对称轴的左侧，抛物线的分支是呈上升趋势，即X≤-7时，y
随X的增大而增大，而在对称轴的右侧，抛物线的分支是呈下降趋势，即X≥-7时，y
随X的增大而减小。当X=-7时，y有最大值，因为抛物线的开口向下，图象有最高点，顶点坐标为（-7，32）。
下面我们结合图象，来考虑问题上（5），从图象上来看，y>0时，抛物线的图象在X轴的上方
分析：在X轴的上方的一支抛物线，请问X的取值有何特点？从图象上可以看出，抛物线与X轴的两个交点的横坐标分别为-15和1，即X的取值范围为-15和1之间，当-150.
同学们还能提出类似于问题(5)的问题吗？
说
出
x
取哪些值时，①
y<0;
当y<0时，
怎样来找符合条件的X的值？
当y<0时，抛物线所对应的是X轴下方的抛物线，抛物线与X轴的两个交点的横坐标分别为-15和1，那么当X<-15或X>1时，y<0
【设计意图】渗透由特殊到一般,再由一般到特殊的认识规律，数形结合思想，运用数学语言的表达能力。通过回答问题，让学生自然建立起函数解析式、图象之间的联系。
类比，由特殊到一般,再由一般到特殊地认识函数的性质，培养学生观察图象能力，表达能力。渗透数形结合的思想，分类讨论的思想
3、小组活动——探索二次函数的图象性质
综合这个例题，我们来总结y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
请同学们独立思考，小组讨论，归纳，请三位同学来汇报。我们从六个方面来归纳二次函数的性质。顶点坐标与对称轴.位置与开口方向.增减性与最值
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
从而得出函数性质：
根据图形填表：
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标
对称轴
位置
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性
y随着x的增大而减小.
,
y随着x的增大而增大
,y随着x的增大而增大.
,
y随着x的增大而减小.
最值
小组成员补充。
【设计意图】培养学生归纳总结能力，表达能力.分类讨论的思想
运用二次函数的性质我们来小试牛刀。
尝试成功：
1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则a、b、c的符号为__________.
学生分析：从开口方向，可知a<0，从对称轴在Y轴的右侧，可知b>0，从抛物线与Y轴的交点，可知c>0。
2、下列函数何时有最大值或最小值，并求出最大值或最小值
⑴
y=2x2-8x+1
⑵
y=-3x２-6x+1
请两位同学来回答，教师板书
3．已知点（-1，
y1
),(-2,y2
),(-4,y3
)是抛物线y＝－2x2_8x＋m上的点，则
(　
　)
A．
y1＜y2＜y3
B．
y3＜y2＜y1
C
．y2＞y1＞y3
D．
y2＞y3＞y1
学生分析：（1）从a=-2可知抛物线开口向下，存在最大值，当X=-2时，Y最大值为7点离对称轴越近，对应的Y的值越大，所以y1＞y3
从形的角度，画出示意图，可知对称轴为X=2，y2最大，离对称轴越近，Y值越大。也可从数的角度来解决问题，把-1，-2，-4，代入函数解析式，求得y1，y2，y3
，比较大小。数形结合是我们数学中常用的方法。
4、深入探究——优化二次函数与一元二次方程的联系
刚才同学们在例1中，刚才同学还可以提出的x
取哪些值时，
y=0？这个问题可以
转化为
问题（6）方程和函数之间的关系。
求方程的解，通过图象与X轴的交点为（-15，0）（1，0），所以当X=-15，或X=1时，y=0。
探索二次函数与一元二次方程的关系：
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
(1).每个图象与x轴有几个交点？
(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?
(3)验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点,
②有一个交点,
③没有交点.
我们发现：当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,此时交点的纵坐标为0，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,
交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
5、巩固提高——实际问题中一次函数的图象
巩固练习：
1、二次函数
y=x2
-
４x+3
的对称轴是直线X=2
2、抛物线y=x2-5x+4与坐标轴的交点个数为（
）
（A）0个
（B）1个
（C）2个
（D）3个
学生分析b2-4ac>0，与X轴有两个交点，与Y轴有一个交点，所以选择D。
T：同学们注意，与坐标轴交点。同学们掌握的很好，下面我们来解决我们一开始碰到的实际问题：
实际问题：
篮球运动员投篮时，运动的路线是抛物线的一部分，抛物线的对称轴为x=2.5。求：（1）球运动路线的函数解析式和自变量的取值范围；
（2）球在运动中离地面的最大高度。
解:
⑴设函数解析式为:
y=a(x－2.5)2+k,根据题意，得：
∴解析式为:
y=-0.2(x－2.5)2+3.5y=－0.2x2+x+2.25,
自变量x的取值范围为：0≤x≤4.
⑵球在运动中离地面的最大高度为3.5米。
T:同学们还有其他方法吗
？
S:设为一般式y=ax2
+bx+c，由题意
得到b=-5a.y=ax2
-5ax+2.25，得到a=-0.2
T：顶点式可直接求得第二小题的答案，但一般式在计算时更简便，各有千秋。
通过本节课的学习你有那些收获？
【设计意图】
问题的设计从函数解析式出发，最终回归到实际问题，让学生充分体会数学的学习最终回归到生活，为解决生活问题提供方法和依据。学生在求函数解析式的时候，对于不同的函数表达式，让学生深刻体会数形结合这一重要数学思想。
6、知识的梳理及小结
你能正确地说出二次函数的性质吗？
学生概括二次函数的性质：顶点坐标与对称轴.位置与开口方向.增减性与最值
二归纳二次函数与一元二次方程的及的判别式之间的关系
归纳:二次函数与一元二次方程，和根的判别式之间的关系
①b2-4ac>0时有两个交点,有两个相异的实数根
②b2-4ac=0有一个交点,有两个相等的实数根
③b2-4ac
<0没有交点.没有实数根
布置作业
1.作业本(1)1.3
2.书本P23,B组(5)
【设计意图】通过学生归纳，激发了学生学习数学的热情，符合新课标的要求．同时，从知识、方法、思想上进行小结，让学生深刻体会数学的课堂不仅仅只是知识本身，隐藏在知识背后的数学思想、解决问题的方法才是我们要关注的地方，这些方法和思想便是学习数学的精髓。
七、教学设计说明
本节课的内容是二次函数的性质。学习本节课之前，学生已学习了二次函数的概念，图象等有关的知识。数形结合的思想、化归思想是本节内容所包含的主要数学思想。在本课的教学中，严格遵循由感性到理性，将解二次函数的图象性质与现实生活中学生熟悉的实际问题相结合，在重视课本例题的基础上，适当对题目进行延伸，使例题的作用更加突出。
本课例设计的思维方式即是围绕三个方面开展的。首先让学生通过例题探索本节课要研究的函数图象性质，；然后就如何根据函数一般式进行性质的探索，这些要素包括对称轴、顶点、位置的、开口方向、增减性、最值等；最后是对二次函数性质结合实际问题运用
。上述活动过程，既体现课时目标，也有效地落实课程目标。
根据新课程标准的评价理念，在整个教学过程中，始终注重的是学生的参与意识，注重学生对待学习的态度是否积极；注重引导学生从数学的角度去思考问题。同时利用尝试教学，让学生主动暴露思维过程，及时得到信息的反馈。在课堂上，尽量留给学生更多的空间，更多的展示自己的机会，让学生在充满情感的、和谐的课堂氛围中，在老师和同学的鼓励与欣赏中认识自我，找到自信，体验成功的乐趣，从而树立了学好数学的信心。