浙教版九上3.6 圆内接四边形 教案
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文档简介
3.6
圆内接四边形
一、教学目标：
（一）知识目标
（1）了解圆内接四边形和四边形外接圆的概念；
（2）掌握圆内接四边形的性质定理；
（3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明．
（二）能力目标
（1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力；
（2）通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；
（3）通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力．
（三）情感目标
（1）充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情；
（2）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．
二、教学重点和难点:
重点：圆内接四边形的性质定理．
难点：定理的灵活运用．
三、教学过程
（一）基本概念
如果一个四边形的各个顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆．如图1中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆．
（二）创设研究情境
问题：圆内接四边形具有什么性质？
类比平行四边形等特殊四边形的性质，明确研究方向：圆内接四边形的边、角
几何画板演示：
改变四边形ABCD的位置，观察四边形各边、各角的大小
归纳：1.
圆内接四边形的边之间不存在什么特殊的性质．
2.
改变圆内接四边形ABCD中一个点的位置，以这个点为顶点的角以及它的对角的大小没有发生变化.
猜想：圆内接四边形的对角互补．
特殊化验证：
1、如图2,四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC=100°,
则∠ADC=__
,∠ABC=
__。
（三）证明猜想
教师引导学生证明．
思路1：仿照上题中的计算方法，连结OA,OC,则∠B与∠D均为它们所对的圆心角的一半，而这两个圆心角的和恰好为一个周角。
思路2：利用圆周角是度数等于它所对的弧的度数的一半。
定理：圆的内接四边形的对角互补．
（四）性质及应用
练习：1、如图，四边形ABCD为⊙O
的内接四边形，
(1)
若∠B＝100°，则∠D=______.
(2）若∠A-
∠C=40°，则∠A=____,
∠
C=____.
(3)
若∠A:
∠B:∠C=2:3:7，则∠
D=_____.
（由（3）可得∠A:
∠B:∠C:∠D=2:3:7:6，引导学生思考圆内接四边形对边的比值之间有何关系？）
巩固练习：
1.四边形ABCD是圆内接四边形，则∠A∶∠B∶∠C∶∠D
＝（
）
（A）1∶2∶3∶4
（B）2∶1∶3∶4
（B）2∶1∶3∶4
（D）4∶3∶2∶1
2.如图4，AB是半圆O的直径，∠BAC=40°，求∠D的大小。
延长CD到E，则∠ADE＝_____
∠ADE和∠B的大小有什么关系？试说明理由。
由此，你能得出什么结论？
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。
例1.
如图5，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D.
求证：DB=DC
（分析与证明学生自主完成，教师讲评）
巩固练习：
1.如图6，以等腰三角形ABC的底边BC为直径的⊙O分别交AB,AC于D,E,连结DE.
求证：DE
∥BC
（一题多解,培养学生发散思维）
方法一：利用圆内接四边形外角等于内对角，可证∠AED=∠B
方法二：利用圆内接四边形对角互补，可证∠BDE+∠B=180°
方法三：连结CD,利用∠B=∠C,可证弧DC=弧BE,从而证弧BD=弧CE，可证∠EDC=∠BCD
方法四：连结CD,BE利用直径所对的圆周角是直角,可证∠EBC=∠BCD,
可证∠EDC=∠BCD
2.如图7，若圆内接四边形ABCD是平行四边形，试判断四边形ABCD的形状。
得出结论：圆内接平行四边形是矩形
四边形ABCD会是正方形吗？
怎样画圆内接正方形ABCD正方形？
例2.如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长15米，问：锯出的木材体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
（五）小结
知识：圆内接四边形——圆内接四边形的性质．
思想方法：
“特殊——一般”研究问题的方法
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
各顶点都在同一个圆上
定义
圆内接四边形
圆的内接四边形的对角互补。
性质
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。
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圆内接四边形
一、教学目标：
（一）知识目标
（1）了解圆内接四边形和四边形外接圆的概念；
（2）掌握圆内接四边形的性质定理；
（3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明．
（二）能力目标
（1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力；
（2）通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；
（3）通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力．
（三）情感目标
（1）充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情；
（2）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．
二、教学重点和难点:
重点：圆内接四边形的性质定理．
难点：定理的灵活运用．
三、教学过程
（一）基本概念
如果一个四边形的各个顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆．如图1中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆．
（二）创设研究情境
问题：圆内接四边形具有什么性质？
类比平行四边形等特殊四边形的性质，明确研究方向：圆内接四边形的边、角
几何画板演示：
改变四边形ABCD的位置，观察四边形各边、各角的大小
归纳：1.
圆内接四边形的边之间不存在什么特殊的性质．
2.
改变圆内接四边形ABCD中一个点的位置，以这个点为顶点的角以及它的对角的大小没有发生变化.
猜想：圆内接四边形的对角互补．
特殊化验证：
1、如图2,四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC=100°,
则∠ADC=__
,∠ABC=
__。
（三）证明猜想
教师引导学生证明．
思路1：仿照上题中的计算方法，连结OA,OC,则∠B与∠D均为它们所对的圆心角的一半，而这两个圆心角的和恰好为一个周角。
思路2：利用圆周角是度数等于它所对的弧的度数的一半。
定理：圆的内接四边形的对角互补．
（四）性质及应用
练习：1、如图，四边形ABCD为⊙O
的内接四边形，
(1)
若∠B＝100°，则∠D=______.
(2）若∠A-
∠C=40°，则∠A=____,
∠
C=____.
(3)
若∠A:
∠B:∠C=2:3:7，则∠
D=_____.
（由（3）可得∠A:
∠B:∠C:∠D=2:3:7:6，引导学生思考圆内接四边形对边的比值之间有何关系？）
巩固练习：
1.四边形ABCD是圆内接四边形，则∠A∶∠B∶∠C∶∠D
＝（
）
（A）1∶2∶3∶4
（B）2∶1∶3∶4
（B）2∶1∶3∶4
（D）4∶3∶2∶1
2.如图4，AB是半圆O的直径，∠BAC=40°，求∠D的大小。
延长CD到E，则∠ADE＝_____
∠ADE和∠B的大小有什么关系？试说明理由。
由此，你能得出什么结论？
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。
例1.
如图5，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D.
求证：DB=DC
（分析与证明学生自主完成，教师讲评）
巩固练习：
1.如图6，以等腰三角形ABC的底边BC为直径的⊙O分别交AB,AC于D,E,连结DE.
求证：DE
∥BC
（一题多解,培养学生发散思维）
方法一：利用圆内接四边形外角等于内对角，可证∠AED=∠B
方法二：利用圆内接四边形对角互补，可证∠BDE+∠B=180°
方法三：连结CD,利用∠B=∠C,可证弧DC=弧BE,从而证弧BD=弧CE，可证∠EDC=∠BCD
方法四：连结CD,BE利用直径所对的圆周角是直角,可证∠EBC=∠BCD,
可证∠EDC=∠BCD
2.如图7，若圆内接四边形ABCD是平行四边形，试判断四边形ABCD的形状。
得出结论：圆内接平行四边形是矩形
四边形ABCD会是正方形吗？
怎样画圆内接正方形ABCD正方形？
例2.如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？如果这根原木长15米，问：锯出的木材体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
（五）小结
知识：圆内接四边形——圆内接四边形的性质．
思想方法：
“特殊——一般”研究问题的方法
图1
图2
图3
图4
图5
图6
图7
各顶点都在同一个圆上
定义
圆内接四边形
圆的内接四边形的对角互补。
性质
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。
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