第1章 三角形的初步认识单元测试卷（含解析）

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浙教版2021年八年级上册第1章《三角形的初步认识》单元测试卷
满分120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列长度的各组线段不能组成一个三角形的是（　　）
A．2cm，2cm，1cm
B．2cm，2cm，2cm
C．2cm，2cm，3cm
D．2cm，2cm，4cm
2．用直角三角板作△ABC的边AB上的高，下列直角三角板位置摆放正确的是（　　）
A．B．C．D．
3．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为了稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（　　）
A．G，H两点处
B．A，C两点处
C．E，G两点处
D．B，F两点处
4．下列命题中，是假命题的是（　　）
A．三个角对应相等的两个三角形全等
B．﹣3a3b的系数是﹣3
C．两点之间，线段最短
D．若|a|＝|b|，则a＝±b
5．下列说法正确的是（　　）
A．两个面积相等的三角形是全等图形
B．两个长方形是全等图形
C．两个周长相等的圆是全等图形
D．两个正方形是全等图形
6．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件不能说明△ABC≌△DCB的是（　　）
A．AC＝DB
B．∠A＝∠D
C．AB＝DC
D．∠ACB＝∠DBC
7．如图，已知△OAB≌△OCD，若OA＝4，∠AOB＝35°，∠OCA＝62°，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．∠BDO＝62°
B．∠BOC＝21°
C．OC＝4
D．CD∥OA
8．如图，点A在DE上，AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，则DE等于（　　）
A．AB
B．BC
C．DC
D．AE+AC
9．如图，AD为△ABC的中线，E为AD的中点，连接BE．已知△ABC的面积为12，则△ABE的面积等于（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
10．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．90°
B．100°
C．110°
D．120°
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝40°，则∠C的度数为
　
　度．
12．如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC、AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度就得到A、B两点之间的距离，其中△ABC≌△ADC的依据是
　
　．
13．在自习课上，小红为了检测同学们的学习效果，提出如下四种说法，其中错误的说法是
　
　．
A．三角形有且只有一条中线；
B．三角形的高一定在三角形内部；
C．三角形的两边之差大于第三边；
D．三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形．
14．如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，那么∠CFE的度数是
　
　．
15．如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，∠1+∠2+∠3＝　
　．
16．如图，已知△ABC的面积为10cm2，AD平分∠BAC且AD⊥BD于点D，则△ADC的面积为
　
　．
17．已知三角形的两边长分别为2和4，第三边长为整数，则该三角形的周长最大值为
　
　．
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝68°，∠1＝∠2．若P为△ABC的角平分线BP、CP的交点，则∠BPC＝　
　°．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）如图，AB与CD交于点E，点E是线段AB的中点，∠A＝∠B，连接AC、BD．求证：AC＝BD．
20．（6分）如图，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝68°．求∠DAE的度数．
21．（8分）如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF垂直BC，垂足为点F．
（1）∠ABC＝45°，∠EBD＝30°，∠BAD＝25°，求∠BED的度数；
（2）若△ABC的面积为30，EF＝5，求CD．
22．（8分）如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．
23．（9分）如图，分别过点C、B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E、F．
（1）求证：BF＝CE；
（2）若△ACE的面积为4，△CED的面积为3，求△ABF的面积．
24．（9分）综合与探究
如图（1），AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPO全等，求出相应的x的值．
（10分）如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图1，若∠MON＝90°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝　
　°；
（2）如图2，若∠MON＝n°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝　
　°；
（3）如图2，若∠MON＝n°，△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB与∠ADB之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；
（4）如图3，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E．试问：随着点A、B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会，请说明理由．
26．（10分）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．
（1）求证：AE＝CD；
（2）求证：AE⊥CD；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有　
　（请写序号，少选、错选均不得分）．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【解答】解：A、∵2+1＞2，∴能组成三角形；
B、∵2+2＞2，∴能组成三角形；
C、∵2+2＞3，∴能组成三角形；
D、∵2+2＝4，∴不能组成三角形．
故选：D．
2．【解答】解：A．是BC边上的高，故此选项不合题意；
B．是AC边上的高，故此选项不合题意；
C．不是三角形的高，故此选项不合题意；
D．是△ABC的边AB上的高，故此选项符合题意．
故选：D．
3．【解答】解：工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，工人师傅为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在E、G两点之间（没有构成三角形），这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：C．
4．【解答】解：A、三个角对应相等的两个三角形全等，是假命题，符合题意；
B、﹣3a3b的系数是﹣3，是真命题，不符合题意；
C、两点之间，线段最短，是真命题，不符合题意；
D、若|a|＝|b|，则a＝±b，是真命题，不符合题意；
故选：A．
5．【解答】解：A：两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误；
B：长方形不一定是全等图形，故B错误；
C：两个周长相等的圆是全等图形，故C正确；
D：两个正方形不一定是全等图形，故D错误；
故选：C．
6．【解答】解：∵∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，
∴当添加∠A＝∠D时，可根据“AAS”判断△ABC≌△DCB；
当添加AB＝DC时，可根据“SAS”判断△ABC≌△DCB；
当添加∠ACB＝∠DBC时，可根据“ASA”判断△ABC≌△DCB．
故选：A．
7．【解答】解：A、∵△OAB≌△OCD，
∴OA＝OC，OB＝OD，∠COD＝∠AOB，
∴∠OAC＝∠OCA＝62°，∠OBD＝∠ODB，∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝56°，
∴∠BOD＝∠AOC＝56°，
∴∠BDO＝×（180°﹣56°）＝62°，故本选项说法正确，不符合题意；
B、∵∠AOC＝56°，∠AOB＝35°，
∴∠BOC＝56°﹣35°＝21°，故本选项说法正确，不符合题意；
C、∵△OAB≌△OCD，OA＝4，
∴OC＝OA＝4，故本选项说法正确，不符合题意；
D、∵∠AOC＝56°，∠OCD不一定是56°，
∴CD与OA不一定平行，故本选项说法错误，符合题意；
故选：D．
8．【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠B＝∠D，
∵∠2＝∠3，
∴∠2+∠ACD＝∠3+∠ACD，
即∠ACB＝∠ECD，
在△ACB和△ECD中，
，
∴△ACB≌△ECD（AAS），
∴AB＝ED．
故选：A．
9．【解答】解：∵AD为△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ABC＝＝6，
又E为AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD＝＝3．
故选：B．
10．【解答】解：如图，连接AA'，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC＝∠ABC，∠A'CB＝∠ACB，
∵∠BA'C＝120°，
∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BAC＝180°﹣120°＝60°，
∵沿DE折叠，
∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，
∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，
∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×60°＝120°，
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，
∵∠A＝40°，∠B＝40°，
∴∠C＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
故答案为100．
12．【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠ACD＝90°，
在△ACB和△ACD中，
，
∴△ACB≌△ACD（SAS），
故答案为：SAS．
13．【解答】解：A．三角形有3条中线，原来的说法是错误的；
B．三角形的高不一定在三角形内部，原来的说法是错误的；
C．三角形的两边之差小于第三边，原来的说法是错误的；
D．三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形是正确的．
故答案为：ABC．
14．【解答】解：设AD与BC交于点G，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
∵∠BAE＝135°，∠DAC＝55°，
∴∠BAD+∠CAE＝135°﹣55°＝80°，
∴∠BAD＝∠CAE＝40°，
∵∠B＝∠D，∠BGA＝∠DGF，
∴∠CFE＝∠DFB＝∠BAD＝40°，
故答案为：40°．
15．【解答】解：如图，
根据题意得DE＝BC，EC＝AB，GF＝GC，∠DEC＝∠ABC＝∠FGC＝90°，
∴△CGF为等腰直角三角形，
∴∠2＝45°，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（SAS），
∴∠1＝∠DCE，
∵∠DCE+∠3＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．
故答案为135°．
16．【解答】解：延长BD交AC于E，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△CDE，
∴△ADC的面积＝×10＝5（cm2），
故答案为：5cm2．
17．【解答】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：4﹣2＜a＜2+4，
即2＜a＜6，
∵a为整数，
∴a的最大整数值为5，
则三角形的最大周长为2+4+5＝11．
故答案为：11．
18．【解答】解：∵∠ACB＝68°，
∴∠1+∠PCB＝68°，
∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠PCB＝68°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠2+∠PCB）＝112°．
故答案为：112．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．【解答】证明：∵点E是线段AB的中点，
∴AE＝BE，
在△ACE和△BDE中，
，
∴△ACE≌△BDE（ASA），
∴AC＝BD．
20．【解答】解：∵∠B＝40°，∠C＝68°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝72°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC＝∠BAC＝36°，
∵AD是高，∠C＝68°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝22°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝36°﹣22°＝14°．
21．【解答】解：（1）∵∠ABC＝45°，∠EBD＝30°，
∴∠ABE＝45°﹣30°＝15°，
∴∠BED＝∠ABE+∠BAD＝15°+25°＝40°．
（2）∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，EF为△BED的高，
∴S△BED＝S△ABD＝S△ABC＝＝，
又S△BED＝＝，EF＝5，
∴BD＝CD＝3．
22．【解答】（1）证明：∵△ABD≌△CFD，
∴∠BAD＝∠DCF，
又∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠AEF＝∠CDF＝90°，
∴CE⊥AB；
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．
23．【解答】解：（1）∵CE⊥AD，BF⊥AF，
∴∠CED＝∠BFD＝90°，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△CED和△BFD中，
，
∴△CED≌△BFD（AAS），
∴BF＝CE；
（2））∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD，
∵S△ACE＝4，SCED＝3，
∴S△ACD＝S△ABD＝7，
∵△BFD≌△CED，
∴S△BDF＝S△CED＝3，
∴S△ABF＝S△ABD+S△BDF＝7+3＝10．
24．【解答】解：（1）△ACP≌△BPO，PC⊥PO．
理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝7，
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS），
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝90°，
∴∠APC+∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
可得：7＝9﹣2t，2t＝xt，
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BOP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：7＝xt，2t＝9﹣2t
解得：，．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．
25．【解答】解：（1）∵∠MON＝90°，
∴∠OBA+∠OAB＝90°，
∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，
∴∠ABC+∠BAC＝×90°＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
故答案为：135；
（2）在△AOB中，
∠OBA+∠OAB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣n，
∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，
∴∠ABC+∠BAC＝（∠OBA+∠OAB）＝（180°﹣n），
即∠ABC+∠BAC＝90°﹣n°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（90°﹣n°）＝90°+n°；
故答案为：90°+n；
（3）∵BC、BD分别是∠OBA和∠NBA的角平分线，
∴∠ABC＝∠OBA，∠ABD＝∠NBA，∠ABC+∠ABD＝∠OBA+∠NBA，∠ABC+∠ABD＝（∠OBA+∠NBA）＝90°，
即∠CBD＝90°，
同理：∠CAD＝90°，
∵四边形内角和等于360°，
∴∠ACB+∠ADB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
由（1）知：∠ACB＝90°+n°，
∴∠ADB＝180°﹣（90°+n°）＝90°﹣n°，
∴∠ACB+∠ADB＝180°，
∠ADB＝90°﹣n°；
（4）∠E的度数不变，∠E＝40°；
理由如下：
∵∠NBA＝∠AOB+∠OAB，
∴∠OAB＝∠NBA﹣∠AOB，
∵AE、BC分别是∠OAB和∠NBA的角平分线，
∴∠BAE＝∠OAB，∠CBA＝∠NBA，
∠CBA＝∠E+∠BAE，
∠NBA＝∠E+∠OAB（等量代换），
∠NBA＝∠E+（∠NBA﹣∠AOB），
∠NBA＝∠E+∠NBA﹣40°，
∴∠E＝40°．
26．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，
即∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD．
（2）∵△ABE≌△CBD，
∴∠BAE＝∠BCD，
∵∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，
又∠CNM＝∠ANB，
∵∠ABC＝90°，
∴∠NMC＝90°，
∴AE⊥CD．
（3）结论：②
理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．
∵△ABE≌△CBD，
∴AE＝CD，S△ABE＝S△CDB，
∴?AE?BK＝?CD?BJ，
∴BK＝BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，
∴BM平分∠AMD．
不妨设①成立，则△CBM≌△EBM，则AB＝BD，显然不可能，故①错误．
故答案为②．
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