2021-2022学年浙教版九年级上第1章 二次函数单元测试二（含解析）

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浙教版九年级上第1章
二次函数单元测试（2）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2020秋?万荣县期末）将抛物线y＝2x2+4x﹣1进行适当的平移后得到的抛物线表达式为y＝2x2﹣4x+1，则下列平移方法正确的是（　　）
A．先向右平移8个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移8个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移2个单位
D．先向左平移2个单位，再向下平移4个单位
2．（2021?台湾）若坐标平面上二次函数y＝a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y＝（x+3）2的图形完全叠合，则a、b、c的值可能为下列哪一组？（　　）
A．a＝1，b＝0，c＝﹣2
B．a＝2，b＝6，c＝0
C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0
D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2
3．（2021春?浦江县期末）如图，已知抛物线顶点M在y轴上，抛物线与直线y＝x+1相交于A、B两点．点A在x轴上，点B的横坐标为2，那么抛物线顶点M的坐标是（　　）
A．（﹣1，0）
B．（1，0）
C．（0，1）
D．（0，﹣1）
4．（2021?深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．
C．
D．
5．（2021?柳南区三模）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（　　）
①图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
②当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值随x值的增大而增大；
③当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
④当x＝1时，函数的最大值是4．
A．4
B．3
C．2
D．1
6．（2021春?雨山区校级月考）关于x的二次函数y＝（x﹣h）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值4，则h的值为（　　）
A．0或2
B．2或4
C．0或4
D．0或2或4
7．（2021?宁波模拟）已知点（x0，y0）是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上一个定点，而（m，n）是二次函数图象上动点，若对任意的实数m，都有a（y0﹣n）≤0，则（　　）
A．ax0﹣2b＝0
B．ax0+2b＝0
C．2ax0﹣b＝0
D．2ax0+b＝0
8．（2021?杭州）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（2021?深圳模拟）已知函数y＝|x2﹣4|的图象如图所示，若方程组至少有两组实数解，则b的取值范围为（　　）
A．b＞2
B．b＞0
C．b＜4
D．b＞﹣2
10．（2021?红桥区三模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．有下列结论：
①2a+b＝0；
②4c﹣3b＞0；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；
④当△BCD是直角三角形时，a＝﹣．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2020?西城区校级模拟）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．
甲：函数图象的顶点在x轴上；
乙：当x＜1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的开口大小、形状均与函数y＝x2的图象相同．
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式　
　．
12．（2021春?凤凰县月考）已知二次函数y＝x2﹣4x+n（n为常数）的图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜2＜x2，且x1+x2＞4，则y1与y2的大小关系为y1　
　y2（填“＞”“＜”“＝”）．
13．（2020秋?甘井子区校级期末）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负，则抛物线的解析式为　
　．
14．（2020秋?如皋市期末）若A（m﹣2，n），B（m+2，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2020上两点，则n＝　
　．
15．（2021?姑苏区校级二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是　
　．
16．（2021?历城区二模）对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{﹣x2+x+1，﹣x﹣2}，则该函数的最大值为　
　．
三．解答题（共7小题，共66分）
17．（2020秋?龙岩期末）已知：抛物线y1＝﹣x2﹣2x+3的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）．
（1）请在平面直角坐标系内画出二次函数y1＝﹣x2﹣2x+3的草图，并标出点A的位置；
（2）点C是直线y2＝﹣x+1与抛物线y1＝﹣x2﹣2x+3异于B的另一交点，则点C的坐标为　
　；当y1≥y2时x的取值范围是　
　．
18．（2020秋?郑州期末）已知关于x的二次函数y＝kx2+（k﹣1）x﹣1（k为常数且k≠0）．
（1）无论k取何值，此函数图象一定经过y轴上一点，该点的坐标为　
　；
（2）试说明：无论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣1，0）；
（3）原函数是否存在最小值﹣1？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
19．（2020秋?广安期末）某河上有一座抛物线形拱桥，水面离拱顶5m时，水面AB宽8m．一木船宽4m，高2m，载货后，木船露出水面的部分为m．以拱顶O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，A，B为抛物线与水面的交点．当水面离拱顶1.8m时，木船能否通过这座拱桥？
20．（2020秋?炎陵县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2021?杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
22．（2020秋?阜宁县期末）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；
（2）证明△BCM与△ABC的面积相等；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
23．（2021?西湖区校级二模）二次函数y＝（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣2m+4．
（1）求该二次函数的对称轴；
（2）若图象过点A（﹣2，n），且﹣4＜m＜3，求mn的取值范围；
（3）若点P（x1，y1），Q（2，y2）在该二次函数图象上，且y1≤y2，求x1的取值范围．
答案与解析
一．选择题
1．（2020秋?万荣县期末）将抛物线y＝2x2+4x﹣1进行适当的平移后得到的抛物线表达式为y＝2x2﹣4x+1，则下列平移方法正确的是（　　）
A．先向右平移8个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移8个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移2个单位
D．先向左平移2个单位，再向下平移4个单位
【解析】解：y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，其顶点坐标为（﹣1，﹣3），y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，其顶点坐标为（1，﹣1），
由顶点坐标可知，将抛物线y＝2x2+4x﹣1先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线y＝2x2﹣4x+1．
故选：C．
2．（2021?台湾）若坐标平面上二次函数y＝a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y＝（x+3）2的图形完全叠合，则a、b、c的值可能为下列哪一组？（　　）
A．a＝1，b＝0，c＝﹣2
B．a＝2，b＝6，c＝0
C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0
D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2
【解析】解：∵二次函数y＝a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y＝（x+3）2的图形完全叠合，
∴a＝1．
故选：A．
3．（2021春?浦江县期末）如图，已知抛物线顶点M在y轴上，抛物线与直线y＝x+1相交于A、B两点．点A在x轴上，点B的横坐标为2，那么抛物线顶点M的坐标是（　　）
A．（﹣1，0）
B．（1，0）
C．（0，1）
D．（0，﹣1）
【解析】解：∵点A在x轴上，
取y＝0，得：0＝x+1，
∴x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵点B的横坐标为2，
取x＝2，得y＝2+1＝3，
∴B（2，3）
又∵抛物线的顶点在y轴上，设y＝ax2+b，
代入A（﹣1，0），B（2，3），
得，
解得，
∴y＝x2﹣1，
∴M（0，﹣1），
故选：D．
4．（2021?深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．
C．
D．
【解析】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x＝﹣，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（﹣，0），故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
故选：A．
5．（2021?柳南区三模）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（　　）
①图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
②当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值随x值的增大而增大；
③当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
④当x＝1时，函数的最大值是4．
A．4
B．3
C．2
D．1
【解析】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x＝﹣＝1，故①正确；
令|x2﹣2x﹣3|＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴（﹣1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，
又对称轴是直线x＝1，
∴当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大，故②正确；
由图象可知（﹣1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0，故③正确；
由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，
故当x＝1时的函数值4并非最大值，故④错误．
综上，只有④错误．
故选：B．
6．（2021春?雨山区校级月考）关于x的二次函数y＝（x﹣h）2+3，当1≤x≤3时，函数有最小值4，则h的值为（　　）
A．0或2
B．2或4
C．0或4
D．0或2或4
【解析】解：∵二次函数的对称轴为：直线x＝h，
∴分为3种情况．
①当
h＜1时，当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝1时取最小值，即：（1﹣h）2+3＝4，
解得：h1＝0，h2＝2．
由h＜1．得：h＝0；
②当1≤h≤3时，y的最小值为顶点值，
∵3≠4，
∴1≤h≤3时，h无解；
③当h＞3时，当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，
∴当x＝3时取最小值，
即：（3﹣h）2+3＝4，
解得：h1＝2，h2＝4，
∵h＞3，
∴h＝4；
综上所述，h＝0或4，
故选：C．
7．（2021?宁波模拟）已知点（x0，y0）是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上一个定点，而（m，n）是二次函数图象上动点，若对任意的实数m，都有a（y0﹣n）≤0，则（　　）
A．ax0﹣2b＝0
B．ax0+2b＝0
C．2ax0﹣b＝0
D．2ax0+b＝0
【解析】解：对任的实数m，有a（y0﹣n）≤0，
∴（x0，y0）为二次数的顶点，
故，
故2ax0+b＝0．
故选：D．
8．（2021?杭州）在“探索函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3）．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，a＞0；
A、B、C组成的二次函数开口向上，a＞0；
B、C、D三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
A、D、C三点组成的二次函数开口向下，a＜0；
即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可．
设A、B、C组成的二次函数为y1＝a1x2+b1x+c1，
把A（0，2），B（1，0），C（3，1）代入上式得，
，
解得a1＝；
设A、B、D组成的二次函数为y＝ax2+bx+c，
把A（0，2），B（1，0），D（2，3）代入上式得，
，
解得a＝，
即a最大的值为，
故选：A．
9．（2021?深圳模拟）已知函数y＝|x2﹣4|的图象如图所示，若方程组至少有两组实数解，则b的取值范围为（　　）
A．b＞2
B．b＞0
C．b＜4
D．b＞﹣2
【解析】解：如图，
当b═﹣2时，一次函数y═x﹣2的图像与y═|x2﹣4|的图像只有一个交点；
当b＞﹣2时，函数y═x+b的图像与函数y═|x2﹣4|的图像至少有两个交点；
当b＜﹣2时，函数y═x+b的图像与函数y═|x2﹣4|的图像没有交点；
∴方程组至少有两组实数解，即函数y═x+b的图像与函数y═|x2﹣4|的图像至少有两个交点，则b＞﹣2，
故选：D．
10．（2021?红桥区三模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．有下列结论：
①2a+b＝0；②4c﹣3b＞0；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；
④当△BCD是直角三角形时，a＝﹣．其中，正确结论的个数是（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的正半轴交于点C，
∴a＜0，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴4c﹣3b＝﹣12a+6a＝﹣6a＞0，故②正确；
∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a，（a＜0），
∴点C（0，﹣3a），
当BC＝AB时，4＝，
∴a＝﹣，
当AC＝BA时，4＝，
∴a＝﹣，
∴当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个，故③正确；
∵二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点D（1，﹣4a），
∴BD2＝4+16a2，BC2＝9+9a2，CD2＝a2+1，
若∠BDC＝90°，可得BC2＝BD2+CD2，
∴9+9a2＝4+16a2+a2+1，
∴a＝﹣，
若∠DCB＝90°，可得BD2＝CD2+BC2，
∴4+16a2＝9+9a2+a2+1，
∴a＝﹣1，
∴当△BCD是直角三角形时，a＝﹣1或﹣，故④错误．
故选：D．
二．填空题
11．（2020?西城区校级模拟）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．
甲：函数图象的顶点在x轴上；
乙：当x＜1时，y随x的增大而减小；
丙：该函数的开口大小、形状均与函数y＝x2的图象相同．
已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式　y＝（x﹣1）2　．
【解析】解：∵函数图象的顶点在x轴上，当x＜1时，y随x的增大而减小；
∴可设顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝1，
∵该函数的开口大小、形状均与函数y＝x2的图象相同，
∴二次项系数为1，
∴满足条件二次函数表达式可为y＝（x﹣1）2．
故答案为y＝（x﹣1）2．
12．（2021春?凤凰县月考）已知二次函数y＝x2﹣4x+n（n为常数）的图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜2＜x2，且x1+x2＞4，则y1与y2的大小关系为y1　＜　y2（填“＞”“＜”“＝”）．
【解析】解：二次函数y＝x2﹣4x+n的对称轴为x＝﹣＝2，
∵x1＜2＜x2，
∴A、B在对称轴两侧，
∵x1+x2＞4，
∴（x1+x2）＞2，即B离对称轴的距离比A离对称轴的距离远，
∵抛物线开口向上，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
13．（2020秋?甘井子区校级期末）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负，则抛物线的解析式为　y＝﹣x2+4x﹣3　．
【解析】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c，当1＜x＜3时，y值为正，当x＜1或x＞3时，y值为负．
∴抛物线与x轴的两交点坐标为（1，0）、（3，0），
∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），即y＝﹣x2+4x﹣3，
故答案为y＝﹣x2+4x﹣3．
14．（2020秋?如皋市期末）若A（m﹣2，n），B（m+2，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2020上两点，则n＝　2016　．
【解析】解：∵A（m﹣2，n），B（m+2，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2020上两点，
∴h＝＝m，
∴A（h﹣2，n），B（h+2，n），
当x＝h+2时，n＝﹣（h+2﹣h）2+2020＝2016，
故答案为2016．
15．（2021?姑苏区校级二模）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是　﹣1≤a＜2　．
【解析】解：由题意得：△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，
∵1＞0，故抛物线开口向上，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则a≥﹣1，
∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜2，
故答案为：﹣1≤a＜2．
16．（2021?历城区二模）对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{﹣x2+x+1，﹣x﹣2}，则该函数的最大值为　﹣1　．
【解析】解：当﹣x2+x+1≥﹣x﹣2时，可得﹣1≤x≤3，
则y＝min{﹣x2+x+1，﹣x﹣2}＝﹣x﹣2，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣x﹣2取得最大值，此时y＝﹣1；
当﹣x2+x+1≤﹣x﹣2时，可得x≤﹣1或x≥3，，
则y＝min{﹣x2+x+1，﹣x﹣2}＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣x2+x+1取得最大值，此时y＝﹣1；
由上可得，该函数的最大值为﹣1，
故答案为：﹣1．
三．解答题
17．（2020秋?龙岩期末）已知：抛物线y1＝﹣x2﹣2x+3的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）．
（1）请在平面直角坐标系内画出二次函数y1＝﹣x2﹣2x+3的草图，并标出点A的位置；
（2）点C是直线y2＝﹣x+1与抛物线y1＝﹣x2﹣2x+3异于B的另一交点，则点C的坐标为　（﹣2，3）　；当y1≥y2时x的取值范围是　﹣2≤x≤1　．
【解析】解：（1）令y1＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，
∴x＝﹣3或1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
令x＝0，则y1＝3，
∴二次函数图象与y轴交点为（0，3），
∵y1＝﹣（x+1）2+4，
∴二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，4），对称轴为直线x＝﹣1，
根据上述信息画出二次函数的草图；
（2）联立，
化简得，x2+x﹣2＝0，
∴x＝﹣2或1，
当x＝﹣2时，y＝﹣x+1＝3，
∴点C的坐标为（﹣2，3），
由图象可得，当y1≥y2时，﹣2≤x≤1．
故答案为：（﹣2，3）；﹣2≤x≤1．
18．（2020秋?郑州期末）已知关于x的二次函数y＝kx2+（k﹣1）x﹣1（k为常数且k≠0）．
（1）无论k取何值，此函数图象一定经过y轴上一点，该点的坐标为　（0，﹣1）　；
（2）试说明：无论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣1，0）；
（3）原函数是否存在最小值﹣1？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）令x＝0，则y＝﹣1，
∴无论k取何值，一次函数y＝kx2+（k﹣1）x﹣1（k为常数且k≠0）图象一定经过y轴上一点（0，﹣1），
故答案为（0，﹣1）；
（2）把x＝﹣1代入y＝kx2+（k﹣1）x﹣1得，y＝k﹣k+1﹣1＝0，
∴无论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣1，0）；
（3）存在，
当k﹣1＝0，即k＝1时，函数为y＝x2﹣1，此时函数有最小值﹣1，
故当k＝1时，原函数存在最小值﹣1．
19．（2020秋?广安期末）某河上有一座抛物线形拱桥，水面离拱顶5m时，水面AB宽8m．一木船宽4m，高2m，载货后，木船露出水面的部分为m．以拱顶O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，A，B为抛物线与水面的交点．当水面离拱顶1.8m时，木船能否通过这座拱桥？
【解析】解：当水面距拱顶5m时，水面宽8m，
∴点B的坐标是（4，﹣5），
设抛物线的解析式为y＝ax2，
将点B（4，﹣5）代入y＝ax2，
得：﹣5＝a×42，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为．
将x＝2代入，
得，
∵，
而1.8＜2，
∴当水面离拱顶1.8m时，木船不能通过这座拱桥．
20．（2020秋?炎陵县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）∵抛物线图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0），
不妨设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将点C（0，3）代入其解析式得3＝a（0+1）（0﹣3），
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，
抛物线的对称轴为直线x＝1，连接BC，与直线x＝1交于点P，则PA＝PB，
∴当点B、P、C三点共线时，△PAC周长取得最小值，
设点P（1，m），直线BC表达式为y＝kx+3，
将点B（3，0）代入y＝kx+3，得3k+3＝0，
解得k＝﹣1，
则直线BC表达式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，
∴m＝2，，
故点P（1，2），
∴AP＝＝2，CP＝＝，AC＝＝，
∴AP＝+CP+AC＝2++＝3+，
∴△PAC周长最小值为：3+；
（3）设M（1，n），A（﹣1，0），C（0，3），则MA2＝4+n2，MC2＝1+（3﹣n）2，AC2＝10，
如图2所示，
当MA＝MC时，即4+n2＝1+（3﹣n）2，
解得n＝1，此时点M（1，1）；
如图3所示，
当MA＝AC时，即4+n2＝10，
解得n＝，此时点M（1，），（1，﹣）；
如图4所示，
当MC＝AC时，即1+（3﹣n）2＝10，
解得：n1＝0，n2＝6（舍去），此时点M（1，0），
综上所述，点M的坐标为（1，1），（1，），（1，﹣），（1，0）．
21．（2021?杭州）在直角坐标系中，设函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）．
（1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；
（2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点，并说明理由．
（3）已知a＝b＝1，当x＝p，q（p，q是实数，p≠q）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若p+q＝2，求证：P+Q＞6．
【解析】解：（1）由题意，得，
解得，
所以，该函数表达式为y＝x2﹣2x+1．
并且该函数图象的顶点坐标为（1，0）．
（2）例如a＝1，b＝3，此时y＝x2+3x+1，
∵b2﹣4ac＝5＞0，
∴函数y＝x2+3x+1的图象与x轴有两个不同的交点．
（3）由题意，得P＝p2+p+1，Q＝q2+q+1，
所以
P+Q＝p2+p+1+q2+q+1
＝p2+q2+4
＝（2﹣q）2+q2+4
＝2（q﹣1）2+6≥6，
由条件p≠q，知q≠1．所以
P+Q＞6，得证．
22．（2020秋?阜宁县期末）如图，抛物线y＝mx2﹣4mx﹣5m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标；
（2）证明△BCM与△ABC的面积相等；
（3）是否存在使△BCM为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）∵y＝m（x﹣2）2﹣9m，
∴抛物线顶点M的坐标为（2，﹣9m），
∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴当y＝0时，mx2﹣4mx﹣5m＝0，
∵m＞0，
∴x2﹣4x﹣5＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴A，B两点的坐标为（﹣1，0）、（5，0），
（2）当x＝0时，y＝﹣5m，
∴点C的坐标为（0，﹣5m），
∴S△ABC＝×|5﹣（﹣1）|×|﹣5m|＝15m，
过点M作MD⊥x轴于D，
则OD＝2，BD＝OB﹣OD＝3，MD＝|﹣9m|＝9m，
∴S△BCM＝S△BDM+S梯形OCMD﹣S△OBC，
＝BD?DM+（OC+DM）?OD﹣OB?OC，
＝15m，
∴S△ABC＝S△BCM，
（3）存在使△BCM为直角三角形的抛物线．
过点C作CN⊥DM于点N，则△CMN为直角三角形，CN＝OD＝2，DN＝OC＝5m，
∴MN＝DM﹣DN＝4m，
∴CM2＝CN2+MN2＝4+16m2，
在Rt△OBC中，BC2＝OB2+OC2＝25+25m2，
在Rt△BDM中，BM2＝BD2+DM2＝9+81m2．
①如果△BCM是直角三角形，且∠BMC＝90°时，CM2+BM2＝BC2，
即4+16m2+9+81m2＝25+25m2，解得　，
∵m＞0，
∴．
∴存在抛物线使得△BCM是直角三角形；
②如果△BCM是直角三角形，且∠BCM＝90°时，BC2+CM2＝BM2．
即25+25m2+4+16m2＝9+81m2，解得　，
∵m＞0，
∴．
∴存在抛物线使得△BCM是Rt△；
③∵25+25m2＞4+16m2，9+81m2＞4+16m2，
∴以∠CBM为直角的直角三角形不存在，
综上，存在抛物线和使△BCM是直角三角形．
23．（2021?西湖区校级二模）二次函数y＝（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣2m+4．
（1）求该二次函数的对称轴；
（2）若图象过点A（﹣2，n），且﹣4＜m＜3，求mn的取值范围；
（3）若点P（x1，y1），Q（2，y2）在该二次函数图象上，且y1≤y2，求x1的取值范围．
【解析】解：（1）对称轴为直线x＝﹣＝1；
（2）将A（﹣2，n）代入二次函数解析式中得：
n＝4（m+1）+4（m+1）﹣2m+4
＝6m+12，
∴mn＝m（6m+12）＝6m2+12m＝6（m+1）2﹣6，
∵二次函数的二次项系数不等于0，
∴m+1≠0，
∴m≠﹣1，
∴mn＞﹣6；
∵mn＝6（m+1）2﹣6，
∴它的图象是开口向上，对称轴为m＝﹣1的抛物线，
∵﹣4＜m＜3，
∴当m＝3时，mn＝6×（3+1）2﹣6＝90，
∴mn＜90，
综上所述，﹣6＜mn＜90；
（3）当m+1＞0时，即m＞﹣1时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，
点Q（2，y2）关于对称轴x＝1的对称点为Q′（0，y2），
∵y1≤y2，
∴0≤x1≤2；
当m+1＜0时，即m＜﹣1时，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，
点Q（2，y2）关于对称轴x＝1的对称点为Q′（0，y2），
∵y1≤y2，
∴x1≤0或x1≥2．
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