浙教版2021年九年级上册第1章 二次函数章末基础强化卷（含解析）

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浙教版2021年九年级上册第1章《二次函数》章末基础强化卷
一、选择题
1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．下列二次函数中，二次项系数是﹣3的是（　　）
A．y＝3x2﹣2x+5
B．y＝x2﹣3x+2
C．y＝﹣3x2﹣x
D．y＝x2﹣3
3．抛物线的顶点坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
4．函数y=ax2（a≠0）的图象与a的符号有关的是（????????
）
A．对称轴
B．顶点坐标
C．开口方向
D．开口大小
5．若函数
是二次函数且图象开口向上，则a=（　　）
A．﹣2
B．4
C．4或﹣2
D．4或3
6．已知
a≠0，在同一坐标系中，y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（
）
A．
B．
C．
D．
7．对于函数y＝5x2，下列结论正确的是(
)
A．y随x的增大而增大
B．图象开口向下
C．图象关于y轴对称
D．无论x取何值，y的值总是正的
8．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
9．抛物线
y＝﹣（x﹣4)2+1
与坐标轴的交点个数是（
）
A．0
个
B．1
个
C．2
个
D．3
个
10．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为，若此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（
）
A．第8秒
B．第10秒
C．第12秒
D．第15秒
11．若抛物线的对称轴是直线，则方程的解是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
12．抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（
）
A．
B．或
C．或
D．
二、填空题
13．二次函数的二次项系数与常数项的和是__________．
14．将抛物线y＝x2﹣6x+5化成y＝a（x﹣h）2﹣k的形式，则hk＝_____．
15．已知两个二次函数的图像如图所示，那么
a1________a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
16．已知二次函数，当x_______________时，随的增大而减小．
17．若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=______．
18．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是．在飞机着陆滑行中，则飞机着陆后滑行的时间是_____s．
三、解答题
19．已知y关于
x的函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1.
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
20．如图，已知抛物线．
（1）该抛物线顶点坐标为________；
（2）在坐标系中画出此抛物线y的大致图象（不要求列表）；
（3）该抛物线可由抛物线向________平移________个单位得到；
（4）当时，求x的取值范围．
21．已知二次函数．
（1）求证：无论k取何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）若此二次函数图象的对称轴为x=1，求它的解析式.
22．已知二次函数y＝(x－m)2－1.
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；
（2）如下图，当m＝2时，该抛物线与轴交于点C，顶点为D，求C、D
两点的坐标；
23．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
(1)求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
(2)要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
(3)当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
24．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？
（3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？
参考答案
1．C
【分析】
根据二次函数的定义判断解答即可．
【详解】
∵中x的指数是1，
∴是一次函数，
∴A选项不符合题意；
∵中x的指数是-1，
∴是反比例函数，
∴B选项不符合题意；
∵中x的指数是2，且是整式，
∴是二次函数，
∴C选项符合题意；
∵不是二次函数，
∴D选项不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义，从指数，表达式的整式性两个角度思考是解题的关键．
2．C
【分析】
根据二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项的定义解答即可．
【详解】
解：A．y＝3x2﹣2x+5二次项系数是3，不合题意；
B．y＝x2﹣3x+2二次项系数是3，不合题意；
C．y＝﹣3x2﹣x二次项系数是﹣3，符合题意；
D．y＝x2﹣3二次项系数是1，不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是二次函数的定义．一般地，形如、b、c是常数，a≠0的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
3．D
【分析】
当
时，是抛物线的顶点，代入求出顶点坐标即可．
【详解】
由题意得，当
时，是抛物线的顶点
代入到抛物线方程中
∴顶点的坐标为
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了抛物线的顶点坐标问题，掌握求二次函数顶点的方法是解题的关键．
4．C
【详解】
解：二次函数图象中a的符号决定了抛物线的开口方向，故选C．
5．B
【详解】
函数
是二次函数，可得，解得a=4或a=-2，又因图象开口向上，所以a=4，故选B.
6．C
【分析】
本题可先由一次函数y＝ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看是否一致．
【详解】
解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；
B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．
故选：C．
【点睛】
函数中数形结合思想就是：由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．
7．C
【详解】
∵在函数中，，
∴该函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，
∴该函数在y轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，且该函数的最小值为0.
综上所述，上述结论中只有C是正确的，其余三个结论都是错误的.
故选C.
8．D
【详解】
分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．
故选D．
点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．
9．D
【分析】
通过解方程﹣
（x﹣4）2+1＝0
可判断抛物线与
x
轴有
2
个交点，通过计算自变量为
0
对应的函数值得到抛物线与
y
轴的交点，从而可判断抛物线
y＝﹣（x﹣4）2+1
与坐标轴的交点个数．
【详解】
解：当
y＝0
时，﹣（x﹣4）2+1＝0，解得
x1＝4+，x2＝4﹣，则抛物线与x
轴的交点坐标为（4+，0），（4﹣，0）；
当
x＝0
时，y＝﹣（
x﹣4）2+1＝﹣，则抛物线与
y
轴的交点坐标为（0，﹣）．
故选D．
【点睛】
本题考查了抛物线与
x
轴的交点：把求二次函数
y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与
x
轴的交点坐标问题转化为解关于
x
的一元二次方程．
10．B
【分析】
先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值，即可得出结论．
【详解】
解：∵此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：，
∴则在四个选项所列的时间中，炮弹所在高度最高的是第10秒．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是解题的关键．
11．C
【分析】
利用对称轴公式求出b的值，然后解方程.
【详解】
解：由题意：
解得：b=-4
∴
解得：，
故选：C
【点睛】
本题考查抛物线对称轴公式及解一元二次方程，熟记公式正确计算是本题的解题关键.
12．D
【分析】
根据抛物线的对称轴为x=-1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（-3，0），结合图象求出y＞0时x的范围．
【详解】
解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为x=-1，已知一个交点为（1，0），
根据对称性，则另一交点为（-3，0），
所以y＞0时，x的取值范围是-3＜x＜1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点；根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线y=-x2+bx+c的完整图象，求出另一个交点是解决问题的关键．
13．1
【分析】
根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项可得二次项系数是2，常数项是-1，再求和即可．
【详解】
解：二次函数y=2x2-3x-1的二次项系数是2，常数项是，
；
故答案为：1；
【点睛】
此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意再找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
14．﹣12．
【分析】
将抛物线化成顶点式，可得h，k的值，代入计算即可.
【详解】
解：∵y＝x2﹣6x+5
＝x2﹣6x+9﹣4
＝（x﹣3）2﹣4，
∴h＝3，k＝﹣4，
∴hk＝3×（﹣4）＝﹣12．
故答案是：﹣12．
【点睛】
本题考查了抛物线的顶点式，熟练掌握顶点式的转化是解题关键.
15．
【分析】
直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
【详解】
解：如图所示：
的开口小于的开口，
则a1＞a2，
故答案为：＞.
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．
16．＜2（或x≤2）．
【详解】
试题分析：对于开口向上的二次函数，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大.根据性质可得：当x＜2时，y随x的增大而减小.
考点：二次函数的性质
17．4．
【详解】
】解：y=x2﹣4x+n中，a=1，b=﹣4，c=n，b2﹣4ac=16﹣4n=0，解得n=4．故答案为4．
18．20
【分析】
将函数解析式配方成顶点式，根据顶点坐标的实际意义可得答案．
【详解】
解：∵，
∴当t=20时，y取得最大值600，
即飞机着陆后滑行20s才能停下来，
故答案为：20．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练将二次函数的一般式配方成顶点式，并理解函数取得最大值时的实际意义．
19．（1）m=-2;（2）m≠﹣2且m≠0
【分析】
（1）根据一次函数的定义即可求解；
（2）根据二次函数的定义即可求解.
【详解】
（1）∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，
∴m2+2m=0，m≠0，
解得：m=﹣2；
（2））∵函数y=（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，
∴m2+2m≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0．
【点睛】
此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟知各函数的特点.
20．解：（1）；（2）见解析；（3）上，4；（4）．．
【分析】
（1）求出对称轴得到抛物线的顶点坐标；
（2）先确定抛物线与y轴的交点为（0，4），与x轴交点为（-2，0）和（2，0），然后利用描点法画函数图象；
（3）根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解；
（4）结合函数图象，写出函数图象上x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
（1）抛物线的对称轴为：x=-=0
令x=0，y=4
则顶点坐标为（0，4）；
（2）由（1）得，抛物线与y轴的交点为（0，4），
令y=0，
x=±2，
则抛物线与x轴交点为（-2，0）和（2，0），画图得：
（3）由上加下减的原则可得，y=-x向上平移4个单位可得出y=-x+4；
（4）根据图像得，当y>0时，x的取值范围为：-2【点睛】
本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质和抛物线的平移等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
21．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）根据二次函数图象与x轴交点关系求解；（2）根据对称轴公式求解.
【详解】
（1）证明：令y=0,则,
∵△=
=
=
∵≥0,
∴＞0
∴无论取何实数，此二次函数的图像与轴都有两个交点.
(2).∵对称轴为x=，
∴k=2
∴解析式为
【点睛】
考核知识点：二次函数的性质.
22．（1）y＝x2＋2x或y＝x2－2x；（2）C(0，3)，D(2，－1)
【分析】
（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可得二次函数的解析式；
（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可．
【详解】
解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)，
∴代入二次函数y＝(x－m)2－1得m2－1＝0，得m＝±1，
所以二次函数的解析式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x；
（2）当m＝2时，y＝(x－2)2－1，
∴D(2，－1)，
又当x＝0时，y＝3，
∴C(0，3)
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用以及二次函数顶点坐标以等知识，根据数形结合得出是解题关键．
23．（1）S=﹣3x2+24x，≤x<
8；（2）
5m；（3）46.67m2
【分析】
（1）设花圃宽AB为xm，则长为（24-3x），利用长方形的面积公式，可求出S与x关系式，根据墙的最大长度求出x的取值范围；
（2）根据（1）所求的关系式把S=45代入即可求出x，即AB；
（3）根据二次函数的性质及x的取值范围求出即可.
【详解】
解：（1）根据题意，得S＝x（24﹣3x），
即所求的函数解析式为：S＝﹣3x2+24x，
又∵0＜24﹣3x≤10，
∴；
（2）根据题意，设花圃宽AB为xm，则长为（24-3x），
∴﹣3x2+24x＝45．
整理，得x2﹣8x+15＝0，
解得x＝3或5，
当x＝3时，长＝24﹣9＝15＞10不成立，
当x＝5时，长＝24﹣15＝9＜10成立，
∴AB长为5m；
（3）S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48
∵墙的最大可用长度为10m，0≤24﹣3x≤10，
∴，
∵对称轴x＝4，开口向下，
∴当x＝m，有最大面积的花圃．
【点睛】
二次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键.
24．（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．
【分析】
（1）待定系数法列方程组求一次函数解析式.
(2)列一元二次方程求解.
(3)总利润=单件利润销售量：w＝(x－20)(－2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值.
【详解】
(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.
把(22，36)与(24，32)代入，得
解得
∴y＝－2x＋80（20≤x≤28）.
(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元，根据题意，得
(x－20)y＝150，即(x－20)(－2x＋80)＝150.
解得x1＝25，x2＝35(舍去)．
答：每本纪念册的销售单价是25元．
(3)由题意，可得w＝(x－20)(－2x＋80)＝－2(x－30)2＋200.
∵售价不低于20元且不高于28元，
当x＜30时，y随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元)．
答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元
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