浙教版2021年九年级上册第3章 圆的基本性质章末基础训练卷（含解析）

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浙教版2021年九年级上册第3章《圆的基本性质》章末基础训练卷
一、选择题
1．的直径为，点与点的距离为，点的位置（
）
A．在⊙O外
B．在⊙O上
C．在⊙O内
D．不能确定
2．已知⊙O中最长的弦为8cm，则⊙O的半径为(　　)cm．
A．2
B．4
C．8
D．16
3．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为（
）
A．38°
B．52°
C．76°
D．104°
4．下列说法中正确的是（
）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．相等的弧所对的圆心角相等
C．相等的弦所对的弦心距相等
D．弦心距相等，则弦相等
5．如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若的度数是，则的度数是（
）
A．
B．
C．
D．
6．往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是(
)
A．AB＝AD
B．AC＝BD
C．BE＝CD
D．BE＝AD
8．如图，为的直径，为上两点，若，则的大小为（　　）．
A．60°
B．50°
C．40°
D．20°
9．如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（
）
A．相离
B．相交
C．相切
D．以上三种情况均有可能
10．如图，点在半径为的上，劣弧的长为，则的大小是（
）
A．
B．
C．
D．
11．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是（　　）
A．80°
B．120°
C．100°
D．90°
12．如图，正六边形ABCDEF内接于，过点O作弦BC于点M，若的半径为4，则弦心距OM的长为（　　　）
A．
B．
C．2
D．
二、填空题
13．如图，点、、在上，，，则的度数为______．
14．如图，AB是⊙O的直径，∠AOE＝78°，点C、D是弧BE的三等分点，则∠COE＝_____．
15．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______．
16．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____．
17．如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则_______．
18．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B，并与⊙O的切线，分别相交于C，D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA=__________?cm．
19．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为___．
20．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD＝____°．
三、解答题
21．已知：如图，在中，是直径，为不是直径的弦，求证：是中最长的弦．
22．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．
（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；
（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？
23．如图，⊙中，弦与相交于点,,连接.
求证：⑴；
⑵.
24．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
25．如图，在中，，点在边上，经过点和点且与边相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
26．如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
参考答案
1．A
【分析】
由⊙O的直径为15cm，O点与P点的距离为8cm，根据点与圆心的距离与半径的大小关系，即可求得答案．
【详解】
∵⊙O的直径为15cm，
∴⊙O的半径为7.5cm，
∵O点与P点的距离为8cm，
∴点P在⊙O外．
故选A．
【点睛】
此题考查了点与圆的位置关系．注意点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
2．B
【分析】
⊙O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长．
【详解】
∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，
∴⊙O的半径为4cm．
故选B.
【点睛】
本题考查弦，直径等知识，记住圆中的最长的弦就是直径是解题的关键．
3．C
【分析】
根据半径相等得到OM=ON，则∠M=∠N=52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．
【详解】
∵OM=ON，
∴∠M=∠N=52°，
∴∠MON=180°-2×52°=76°．
故选C．
【点睛】
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．
4．B
【分析】
根据圆心角、弧、弦及弦心距之间的关系进行判断即可．
【详解】
解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此说法错误，不符合题意；
B、相等的弧所对的圆心角相等，故此说法正确，符合题意；
C、在同圆或等圆中，相等的弦所对的弦心距相等，故此说法错误，不符合题意；
D、在同圆或等圆中，弦心距相等，则弦相等，故此说法错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆的基本性质，熟练掌握圆心角、弧、弦及弦心距之间的关系是解题的关键．
5．A
【分析】
由平行线的性质可得∠BOC=40°，由等边对等角可得∠A=∠B，再由三角形的外角性质可得∠A+∠B=∠BOC=40°，从而得到∠B=20°
．
【详解】
解：∵OB∥DC，∴∠BOC=∠C=40°，
∵OA=OB，∴∠A=∠B，
又∠A+∠B=∠BOC=40°，∴∠B=∠BOC=20°，
故选A．
【点睛】
本题考查圆的应用，综合运用平行线的性质及圆所有半径相等的性质是解题关键．
6．C
【分析】
过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理即可求得AD的长，又由⊙O的直径为，求得OA的长，然后根据勾股定理，即可求得OD的长，进而求得油的最大深度的长．
【详解】
解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得：，
∵⊙O的直径为，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴油的最大深度为，
故选：．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三角形，利用勾股定理解决．
7．B
【分析】
连接BC，根据弧与弦的关系得出，进而判断即可．
【详解】
连接BC，
∵
∴
∴
∴AC＝BD
故选：B
【点睛】
此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据弧与弦的关系得出．
8．B
【分析】
根据题意连接AD，再根据同弧的圆周角相等，即可计算的的大小.
【详解】
解：连接，
∵为的直径，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】
本题主要考查圆弧的性质，同弧的圆周角相等,这是考试的重点，应当熟练掌握.
9．C
【详解】
过点C作CD⊥AO于点D，
∵∠O=30°，OC=6，
∴DC=3，
∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．
故选C．
10．B
【分析】
连接，利用同弧圆心角与圆周角的关系，需求∠AOB即可，利用AB弧长与弧长公式即可求出圆心角，∠ACB=∠AOB，可确定答案．
【详解】
连接
设
劣弧的长为，
．
故选择：B．
【点睛】
本题考查圆周角的度数问题，掌握弧长公式，圆周角与圆心角的关系，会利用弧长求圆心角，利用同弧所对圆心角确定圆周角的大小．
11．B
【详解】
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理进行解答即可．
【详解】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°﹣∠BCD=180°-120°=60°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°，
故选B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
12．A
【分析】
如图，连接OB、OC．首先证明△OBC是等边三角形，求出BC、BM，根据勾股定理即可求出OM．
【详解】
解：如图，连接OB、OC．
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，OB=OC=4，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OC=4，
∵OM⊥BC，
∴BM=CM=2，
在Rt△OBM中，，
故选：A．
【点睛】
本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、勾股定理、弧长公式等知识，解题的关键是记住等边三角形的性质，弧长公式，属于基础题，中考常考题型．
13．
【分析】
先求出∠B，利用平行线的性质求出∠CAB，进而求出∠CAO=∠BAO+∠CAB，利用等边对等角∠CAO=∠C=40，再利用平行线求出内错角∠BOC．
【详解】
解：∵
ACOB，
∴∠ACO=∠COB．∠CAB=∠B，
∵，OA=OB，
∴∠BAO=∠B=20?，
∴∠CAB=∠B=20?，
∴∠CAO=∠BAO+∠CAB=20?+20?=40?，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠C=40，
∴∠BOC=∠C=40?，
故答案为：40?．
【点睛】
本题考查圆心角问题，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质，利用等边对等角和平行线解决角的问题．
14．68°
【分析】
根据∠AOE的度数求出劣弧的度数，得到劣弧的度数，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
【详解】
∵∠AOE=78°，∴劣弧的度数为78°．
∵AB是⊙O的直径，∴劣弧的度数为180°﹣78°=102°．
∵点C、D是弧BE的三等分点，∴∠COE102°=68°．
故答案为68°．
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键．
15．4
【分析】
根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】
解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴在Rt△OBD中，OD==4．
故答案为4．
【点睛】
本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．
16．3
【分析】
过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：过点O作OH⊥CD于H，
连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
【点睛】
此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键．
17．1
【分析】
利用圆周角定理得到∠ADB=90°，∠B=∠ACD=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求求AD的长．
【详解】
解：∵AB为直径，
∴，
∵，
∴．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
18．5
【详解】
如图，设DC与⊙O的切点为E；
∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；
∴PA=PB；
同理，可得：DE=DA，CE=CB；
则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；
∴PA=PB=5cm，
故答案为5．
19．6.
【分析】
易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【详解】
圆锥的底面周长cm，
设圆锥的母线长为，则：
，
解得，
故答案为．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：
．
20．72
【分析】
根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC、CD＝CB，根据等腰三角形的性质求出∠CBD，计算即可．
【详解】
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠ABC＝∠C＝＝108°，
∵CD＝CB，
∴∠CBD＝＝36°，
∴∠ABD＝∠ABC?∠CBD＝72°，
故答案为72°．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n?2）×180°是解题的关键．
21．见解析
【分析】
连接，，利用三角形三边关系可得，而，则可证明，即是中最长的弦．
【详解】
证明：如图，连接，，
、、、是圆的半径，
．
是圆的直径，
．
、、是三角形的三边，
．
即．
是中最长的弦．
【点睛】
本题考查直径为圆中最长的弦的证明，利用三角形三边关系证明是解题的关键．
22．（1）r=34；（2）不需要采取紧急措施．
【详解】
试题分析：（1）连结OA，利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可；
（2）连结OA′，在Rt△A′EO中，由勾股定理得出A′E的长，进而可得出A′B′的长，据此可得出结论．
试题解析：（1）连结OA，
由题意得：AD=AB=30，OD=（r-18）
在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2=302+（r-18）2，
解得，r=34；
（2）连结OA′，
∵OE=OP-PE=30，
∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2=A′O2-OE2，即：A′E2=342-302，
解得：A′E=16．
∴A′B′=32．
∵A′B′=32＞30，
∴不需要采取紧急措施．
点睛：应用垂径定理时，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此类题的关键．
23．（1）见解析；（2）见解析.
【分析】
（1）由AB=CD知，即，据此可得答案；
（2）由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．
【详解】
证明（1）∵AB=CD，
∴，即，
∴；
（2）∵，
∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE．
【点睛】
本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
24．（1）35°；（2）2﹣．
【详解】
试题分析：（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得.
（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．
试题解析：解：（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°.
又∵OD∥BC，∴∠AEO=90°，即OE⊥AC.
∵∠B=70°，∴∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°．
∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO=55°.
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°.
（2）在Rt△ABC中，BC=．
∵OE⊥AC，∴AE=EC.
又∵OA=OB，∴OE=BC=．
又∵OD=AB=2，∴DE=OD﹣OE=2﹣．
考点：1.圆周角定理；2.等腰三角形的性质；3.三角形内角和定理；4.平行线的性质；5.勾股定理；6.垂径定理；7.三角形中位线定理.
25．(1)见解析；(2)
【分析】
(1)连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的内角和得到，于是得到是的切线；
(2)连接，推出是等边三角形，得到，求得，得到，于是得到结论．
【详解】
(1)证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
(2)解：连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可．
（2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和△ODP面积，即可求出答案．
【详解】
解：（1）证明：连接OD，
∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．
∴∠DOP=180°﹣120°=60°．
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．
∴OD⊥DP．
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线．
（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm，
∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3cm．
∴图中阴影部分的面积
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精品试卷·第
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