1.4二次函数的应用同步优生辅导训练（Word版 附答案）　2021-2022学年浙教版九年级数学上册

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《1.4二次函数的应用》同步优生辅导训练（附答案）
一、选择题
1．四位同学在研究函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）时，甲发现当x＝1时，函数有最小值；乙发现﹣1是方程x2+bx+c＝0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当x＝2时，y＝4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（　　）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
2．已知抛物线y＝x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．全体实数
3．抛物线C1：y1＝mx2﹣4mx+2n﹣1与平行于x轴的直线交于A、B两点，且A点坐标为（﹣1，2），请结合图象分析以下结论：①对称轴为直线x＝2；②抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣1）；③m＞；④若抛物线C2：y2＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，则a的取值范围是≤a＜2；⑤不等式mx2﹣4mx+2n＞0的解作为函数C1的自变量的取值时，对应的函数值均为正数，其中正确结论的个数有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：
①二次函数y＝ax2+bx+c的最小值为﹣4a；
②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；
③若y2＞y1，则x2＞4；
④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两个根为﹣1和
其中正确结论的个数是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论：
①该抛物线的对称轴在y轴左侧；
②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根；
③a﹣b+c≥0；
④的最小值为3．
其中，正确结论的个数为（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A．﹣2＜m＜
B．﹣3＜m＜﹣
C．﹣3＜m＜﹣2
D．﹣3＜m＜﹣
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：
①b＝﹣2；
②该二次函数图象与y轴交于负半轴；
③存在这样一个a，使得M、A、C三点在同一条直线上；
④若a＝1，则OA?OB＝OC2．
以上说法正确的有（　　）
A．①②③④
B．②③④
C．①②④
D．①②③
8．如图，坐标平面上，二次函数y＝﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？（　　）
A．1
B．
C．
D．
9．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（　　）
A．﹣1＜x＜4
B．﹣1＜x＜3
C．x＜﹣1或x＞4
D．x＜﹣1或x＞3
10．如图，抛物线m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　）
A．ab＝﹣2
B．ab＝﹣3
C．ab＝﹣4
D．ab＝﹣5
11．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a＝﹣1，则b＝4；
③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；
④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6．
其中真命题的序号是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
12．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是边BC和CD上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E、F怎样动，始终保持AE⊥EF．设BE＝x，DF＝y，则y是x的函数，函数关系式是（　　）
A．y＝x+1
B．y＝x﹣1
C．y＝x2﹣x+1
D．y＝x2﹣x﹣1
13．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y＝x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c＝0（a≠0）的两根之和（　　）
A．大于0
B．等于0
C．小于0
D．不能确定
14．下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
﹣1
﹣0.49
0.04
0.59
1.16
那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（　　）
A．1
B．1.1
C．1.2
D．1.3
二、填空题
15．如图抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2），点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当四边形CDBF的面积最大时，E点的坐标为　
　．
16．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y＝a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为　
　．
17．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2（x≥0）与y2＝（x≥0）的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则＝　
　．
18．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1关于点B的中心对称得C2，C2与x轴交于另一点C，将C2关于点C的中心对称得C3，连接C1与C3的顶点，则图中阴影部分的面积为　
　．
19．已知抛物线p：y＝ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y＝x2+2x+1和y＝2x+2，则这条抛物线的解析式为　
　．
三、解答题
20．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
21．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y＝mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
22．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．
24．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
25．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝﹣x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
26．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
27．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y＝x+4经过A，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．
①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；
②如图2，过点O，P的直线y＝kx交AC于点E，若PE：OE＝3：8，求k的值．
参考答案
1．解：假设甲和丙的结论正确，则，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+4．
当x＝﹣1时，y＝x2﹣2x+4＝7，
∴乙的结论不正确；
当x＝2时，y＝x2﹣2x+4＝4，
∴丁的结论正确．
∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，
∴假设成立．
故选：B．
2．解：根据题意，
令f（x）＝x2﹣（4m+1）x+2m﹣1，
∵抛物线y＝x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，
∴f（2）＜0，即4﹣2（4m+1）+2m﹣1＜0，解得：m＞，
又∵抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，
∴f（0）＜﹣，解得：m＜，
综上可得：＜m＜，
故选：A．
3．解：抛物线对称轴为直线x＝﹣故①正确；
当x＝0时，y＝2n﹣1故②错误；
把A点坐标（﹣1，2）代入抛物线解析式
得：2＝m+4m+2n﹣1
整理得：2n＝3﹣5m
代入y1＝mx2﹣4mx+2n﹣1
整理得：y1＝mx2﹣4mx+2﹣5m
由图象可知，抛物线交y轴于负半轴，
则：2﹣5m＜0
即m＞故③正确；
由抛物线的对称性，点B坐标为（5，2）
当y2＝ax2的图象分别过点A、B时，其与线段分别有两个和有唯一一个公共点
此时，a的值分别为a＝2、a＝
a的取值范围是≤a＜2；故④正确；
无论y1的图象向上平移1个单位后与x轴有无交点，在不等式大于0的解作为C1自变量的取值范围，对应的函数值都有正有负，故⑤错误．；
故选：B．
4．解：抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
即y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵y＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴当x＝1时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确；
当x＝4时，y＝a?5?1＝5a，
∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；
∵点C（4，5a）关于直线x＝1的对称点为（﹣2，5a），
∴当y2＞y1，则x2＞4或x＜﹣2，所以③错误；
∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，
∴方程cx2+bx+a＝0化为﹣3ax2﹣2ax+a＝0，
整理得3x2+2x﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝，所以④正确．
故选：B．
5．解：∵b＞a＞0
∴﹣＜0，
所以①正确；
∵抛物线与x轴最多有一个交点，
∴b2﹣4ac≤0，
∴关于x的方程ax2+bx+c+2＝0中，△＝b2﹣4a（c+2）＝b2﹣4ac﹣8a＜0，
所以②正确；
∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点，
∴x取任何值时，y≥0
∴当x＝﹣1时，a﹣b+c≥0；
所以③正确；
当x＝﹣2时，4a﹣2b+c≥0
a+b+c≥3b﹣3a
a+b+c≥3（b﹣a）
≥3
所以④正确．
故选：D．
6．解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，
即x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y＝x+m1与C2相切时，
令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1＝0，
△＝﹣8m1﹣15＝0，
解得m1＝﹣，
当y＝x+m2过点B时，
即0＝3+m2，
m2＝﹣3，
当﹣3＜m＜﹣时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故选：D．
7．解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），
∴，
解得b＝﹣2．
故该选项正确．
②方法一：∵二次函数y＝ax2+bx+c，a＞0
∴该二次函数图象开口向上
∵点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），
∴直线MN的解析式为y﹣2＝，
即y＝﹣2x，
根据抛物线的图象的特点必然是当﹣1＜x＜1时，二次函数图象在y＝﹣2x的下方，
∴该二次函数图象与y轴交于负半轴；
方法二：由①可得b＝﹣2，a+c＝0，即c＝﹣a＜0，
所以二次函数图象与y轴交于负半轴．
故该选项正确．
③根据抛物线图象的特点，M、A、C三点不可能在同一条直线上．
故该选项错误．
④当a＝1时，c＝﹣1，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣1
当y＝0时，0＝x2﹣2x+c，利用根与系数的关系可得
x1?x2＝c，
即OA?OB＝|c|，
当x＝0时，y＝c，即OC＝|c|＝1＝OC2，
∴若a＝1，则OA?OB＝OC2，
故该选项正确．
总上所述①②④正确．
故选：C．
8．解：∵y＝﹣x2+4x﹣k＝﹣（x﹣2）2+4﹣k，
∴顶点D（2，4﹣k），C（0，﹣k），
∴OC＝k，
∵△ABC的面积＝AB?OC＝AB?k，△ABD的面积＝AB（4﹣k），△ABC与△ABD的面积比为1：4，
∴k＝（4﹣k），
解得：k＝．
故选：D．
9．解：由图象知，抛物线与x轴交于（﹣1，0），对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），
∵y＜0时，函数的图象位于x轴的下方，
且当﹣1＜x＜3时函数图象位于x轴的下方，
∴当﹣1＜x＜3时，y＜0．
故选：B．
10．解：令x＝0，得：y＝b．
∴C（0，b）．
令y＝0，得：ax2+b＝0，
∴x＝±，
∴A（﹣，0），B（，0），
∴AB＝2，BC＝＝．
要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB＝BC，
∴2＝．
∴4×（﹣）＝b2﹣，
∴ab＝﹣3．
∴a，b应满足关系式ab＝﹣3．
故选：B．
11．解：①当x＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x＜b时，y＞0；当x＞b时，y＜0，故本选项错误；
②二次函数对称轴为x＝﹣＝1，当a＝﹣1时有＝1，解得b＝3，故本选项错误；
③∵x1+x2＞2，
∴＞1，
又∵x1﹣1＜0＜x2﹣1，
∴Q点距离对称轴较远，
∴y1＞y2，故本选项正确；
④如图，作D关于y轴的对称点D′，E关于x轴的对称点E′，
连接D′E′，D′E′与DE的和即为四边形EDFG周长的最小值．
当m＝2时，二次函数为y＝﹣x2+2x+3，顶点纵坐标为y＝﹣1+2+3＝4，D为（1，4），则D′为（﹣1，4）；C点坐标为C（0，3）；则E为（2，3），E′为（2，﹣3）；
则DE＝＝；D′E′＝＝；
∴四边形EDFG周长的最小值为+，故本选项错误．故选：C．
12．解：∵∠BAE和∠FEC都是∠AEB的余角．
∴∠BAE＝∠FEC．
∴△ABE∽△ECF
那么AB：EC＝BE：CF，
∵AB＝1，BE＝x，EC＝1﹣x，CF＝1﹣y．
∴AB?CF＝EC?BE，
即1×（1﹣y）＝（1﹣x）x．
化简得：y＝x2﹣x+1．
故选：C．
13．解：设ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，
∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，
∴﹣＞0．
设方程ax2+（b﹣）x+c＝0（a≠0）的两根为m，n，则m+n＝﹣＝﹣+，
∵a＞0，
∴＞0，
∴m+n＞0．
故选：A．
14．解：观察表格得：方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根为1.2，
故选：C．
15．解：过点E作EG⊥x轴于点G，交抛物线于F，
将A（﹣1，0），C（0，2）代入y＝﹣x2+mx+n
解得：
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2
令y＝0代入y＝﹣x2+x+2，
∴0＝﹣x2+x+2
解得：x＝﹣1或x＝4
∴B（4，0）
∴OB＝4
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（4，0）和C（0，2）代入y＝kx+b
∴
解得：
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2，
设E的坐标为：（x，﹣x+2）
∴F（x，﹣x2+x+2）
∴EF＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，
∴△BCF的面积为：EF?OB＝2（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4
四边形CDBF的面积最大时，只需要△BCF的面积最大即可，
∴当x＝2时，
△BCF的面积可取得最大值，
此时E的坐标为（2，1）
16．解：当点C横坐标为﹣3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x＝1，此时D点横坐标为5，则CD＝8；
当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x＝4，故C（0，0），D（8，0）；
由于此时D点横坐标最大，
故点D的横坐标最大值为8；
故答案为：8．
17．解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），
则x2＝a，解得x＝，
∴点B（，a），
＝a，
则x＝，
∴点C（，a），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，
∴y1＝（）2＝3a，
∴点D的坐标为（，3a），
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为3a，
∴＝3a，
∴x＝3，
∴点E的坐标为（3，3a），
∴DE＝3﹣，
＝＝3﹣．
故答案为：3﹣．
18．解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A、B，
∴当y＝0时，则﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
则A，B的坐标分别为（﹣3，0），（1，0），
AB的长度为4，
从C1，C3两个部分顶点分别向下作垂线交x轴于E、F两点．
根据中心对称的性质，x轴下方部分可以沿对称轴平均分成两部分补到C1与C2．
如图所示，阴影部分转化为矩形．
根据对称性，可得BE＝CF＝4÷2＝2，则EF＝8
利用配方法可得y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4
则顶点坐标为（﹣1，4），即阴影部分的高为4，
S阴＝8×4＝32．
19．解：∵y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴A点坐标为（﹣1，0），
解方程组得或，
∴点C′的坐标为（1，4），
∵点C和点C′关于x轴对称，
∴C（1，﹣4），
设原抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
把A（﹣1，0）代入得4a﹣4＝0，解得a＝1，
∴原抛物线解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．
故答案为y＝x2﹣2x﹣3．
20．解：（1）∵B（4，m）在直线y＝x+2上，
∴m＝4+2＝6，
∴B（4，6），
∵A（，）、B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx+6上，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣8x+6．
（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），
∴PC＝（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），
＝﹣2n2+9n﹣4，
＝﹣2（n﹣）2+，
∵PC＞0，
∴当n＝时，线段PC最大且为．
（3）∵△PAC为直角三角形，
i）若点P为直角顶点，则∠APC＝90°．
由题意易知，PC∥y轴，∠APC＝45°，因此这种情形不存在；
ii）若点A为直角顶点，则∠PAC＝90°．
如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON＝，AN＝．
过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，
∴MN＝AN＝，∴OM＝ON+MN＝+＝3，
∴M（3，0）．
设直线AM的解析式为：y＝kx+b，
则：，解得，
∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3
①
又抛物线的解析式为：y＝2x2﹣8x+6
②
联立①②式，解得：x＝3或x＝（与点A重合，舍去）
∴C（3，0），即点C、M点重合．
当x＝3时，y＝x+2＝5，
∴P1（3，5）；
iii）若点C为直角顶点，则∠ACP＝90°．
∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2．
如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x＝2的对称点C，
则点C在抛物线上，且C（，）．
当x＝时，y＝x+2＝．
∴P2（，）．
∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，
∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．
21．解：（1）依题意得：，
解之得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3
∵对称轴为x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx+n，
得，
解之得：，
∴直线y＝mx+n的解析式为y＝x+3；
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x＝﹣1代入直线y＝x+3得，y＝2，
∴M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；
（3）设P（﹣1，t），
又∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10解之得：t＝﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2解之得：t＝4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18解之得：t1＝，t2＝；
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）
或（﹣1，）．
22．解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣5），
把点A（0，4）代入上式得：a＝，
∴y＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣x+4＝（x﹣3）2﹣，
∴抛物线的对称轴是：直线x＝3；
（2）存在，P点坐标为（3，）．
理由如下：
∵点A（0，4），抛物线的对称轴是直线x＝3，
∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）
如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．
设直线BA′的解析式为y＝kx+b，
把A′（6，4），B（1，0）代入得，
解得，
∴y＝x﹣，
∵点P的横坐标为3，
∴y＝×3﹣＝，
∴P（3，）．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），
如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，
由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y＝﹣x+4，
把x＝t代入得：y＝﹣t+4，则G（t，﹣t+4），
此时：NG＝﹣t+4﹣（t2﹣t+4）＝﹣t2+4t，
∵AD+CF＝CO＝5，
∴S△ACN＝S△ANG+S△CGN＝AD×NG+NG×CF＝NG?OC＝×（﹣t2+4t）×5＝﹣2t2+10t＝﹣2（t﹣）2+，
∴当t＝时，△CAN面积的最大值为，
由t＝，得：y＝t2﹣t+4＝﹣3，
∴N（，﹣3）．
23．方法（1）：
解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），
∴，
解得
，
∴y＝x2﹣x﹣4．
∴C（0，﹣4）．
（2）存在．
如图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，
∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），
∴AB＝4，OA＝3，OC＝4，
∴AC＝＝5，
∵当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB＝4，
∴AQ＝4．
∵QD∥OC，
∴QD＝，AD＝．
①作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE＝EQ，即△AEQ为等腰三角形，
设AE＝x，则EQ＝x，DE＝AD﹣AE＝|x﹣|，
∴在Rt△EDQ中，（x﹣）2+（）2＝x2，解得
x＝，
∴OA﹣AE＝3﹣＝﹣，
∴E（﹣，0），
说明点E在x轴的负半轴上；
②以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE＝QA＝4，
∵ED＝AD＝，
∴AE＝，
∴OA﹣AE＝3﹣＝﹣，
∴E（﹣，0）．
③当AE＝AQ＝4时，
1．当E在A点左边时，
∵OA﹣AE＝3﹣4＝﹣1，
∴E（﹣1，0）．
2．当E在A点右边时，
∵OA+AE＝3+4＝7，
∴E（7，0）．
综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．
（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为（﹣，﹣）．理由如下：
如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，
∵AP＝AQ＝t，AP＝DP，AQ＝DQ，
∴AP＝AQ＝QD＝DP，
∴四边形AQDP为菱形，
∴AF＝，FQ＝，
∴Q（3﹣，﹣），
∵DQ＝AP＝t，
∴D（3﹣﹣t，﹣），
∵D在二次函数y＝x2﹣x﹣4上，
∴﹣＝（3﹣t）2﹣（3﹣t）﹣4，
∴t＝，或t＝0（与A重合，舍去），
∴D（﹣，﹣）．
方法二：
（1）略．
（2）∵点P、Q同时从A点出发，都已每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC运动．过点Q作x轴垂线，垂足为H．
∵A（3，0），C（0，4），
∴lAC：y＝x﹣4，
∵点P运动到B点时，点Q停止运动，
∴AP＝AQ＝4，
∴QH＝，Qy＝﹣，
代入LAC：y＝x﹣4得，Qx＝，则Q（，﹣），
∵点E在x轴上，
∴设E（a，0），
∵A（3，0），Q（，﹣），△AEQ为等腰三角形，
∴AE＝EQ，AE＝AQ，EQ＝AQ，
∴（a﹣3）2＝（a﹣）2+（0+）2，∴a＝﹣，
（a﹣3）2＝（3﹣）2+（0+）2，∴a1＝7，a2＝﹣1，
（a﹣）2+（0+）2＝（3﹣）2+（0+）2，∴a1＝﹣，a2＝3（舍）
∴点E的坐标为（﹣，0）或（﹣，0）或（﹣1，0）或（7，0）．
（3）∵P，Q运动到t秒，
∴设P（3﹣t，0），Q（3﹣t，﹣t），
∴KPQ＝，KPQ＝﹣2，
∵AD⊥PQ，
∴KPQ?KAD＝﹣1，
∴KAD＝，
∵A（3，0），
∴lAD：y＝x﹣，
∵y＝，
∴x1＝3（舍），x2＝﹣，
∴D（﹣，﹣），
∵DY＝QY，即﹣t＝﹣，t＝，DQ∥AP，DQ＝AQ＝AP，此时四边形APDQ的形状为菱形．
24．解：（1）设每件衬衫应降价x元，
根据题意得（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得2x2﹣60x+400＝0
解得x1＝20，x2＝10．
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，
故每件衬衫应降20元．
答：每件衬衫应降价20元．
（2）设商场平均每天赢利y元，则
y＝（20+2x）（40﹣x）
＝﹣2x2+60x+800
＝﹣2（x2﹣30x﹣400）＝﹣2[（x﹣15）2﹣625]
＝﹣2（x﹣15）2+1250．
∴当x＝15时，y取最大值，最大值为1250．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．
25．解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，），
把B（0，4），C（3，）代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得．
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+4，
则y＝﹣（x﹣6）2+10，
所以D（6，10），
所以拱顶D到地面OA的距离为10m；
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x＝2或x＝10时，y＝＞6，
所以这辆货车能安全通过；
（3）令y＝8，则﹣（x﹣6）2+10＝8，解得x1＝6+2，x2＝6﹣2，
则x1﹣x2＝4，
所以两排灯的水平距离最小是4m．
26．解：（1）由得，则抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
（2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DH⊥x轴，
则S△BCD＝S梯形OCDH+S△BDH﹣S△BOC＝（﹣t2+2t+3+3）t+（3﹣t）（﹣t2+2t+3）﹣×3×3＝﹣t2+t，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣＝时，D点坐标是（，），△BCD面积的最大值是；
（3）设过点P与BC平行的直线与抛物线的交点为Q，
∵P点的坐标为（1，4），直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴过点P与BC平行的直线为y＝﹣x+5，
由得Q的坐标为（2，3），
∵PM的解析式为x＝1，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴M的坐标为（1，2），
设PM与x轴交于点E，
∵PM＝EM＝2，
∴过点E与BC平行的直线为y＝﹣x+1，
由得或，
∴点Q的坐标为（，﹣），（，﹣），
∴使得△QMB与△PMB的面积相等的点Q的坐标为（2，3），（，﹣），（，﹣）．
27．解：（1）∵直线y＝x+4经过A，C两点，
∴A点坐标是（﹣4，0），点C坐标是（0，4），
又∵抛物线过A，C两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）①如图1
∵，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．
∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，
∴PQ∥AO，PQ＝AO＝4．
∵P，Q都在抛物线上，
∴P，Q关于直线x＝﹣1对称，
∴P点的横坐标是﹣3，
∴当x＝﹣3时，，
∴P点的坐标是；
②过P点作PF∥OC交AC于点F，
∵PF∥OC，
∴，
∵点F在AC上，
∴设点F（x，x+4），
∴，
化简得：x2+4x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3．
当x＝﹣1时，；当x＝﹣3时，，
即P点坐标是或．
又∵点P在直线y＝kx上，
∴．