2021-2022学年浙教版九年级数学上册《1.2二次函数的图象》同步能力提升训练(附答案)
一、选择题
1.y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列4个代数式a+2b+c,2a+b+c,3a+2b+c,﹣,其中值一定大于1的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.如图,将函数y=的的图象沿y轴向上平移得到一条新函数y=的图象,其中点A(1,m),B(4,n)平移后的对应点分别为点A'、B'.则曲线段AB扫过的面积为( )
A.4
B.6
C.9
D.12
3.若A(﹣2,y1),B(0,y2),C(3,y3)是抛物线y=(x﹣1)2+m上的三点,则y1,y2,y3的大小关系为( )
A.y1>y2>y3
B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2
D.y3>y2>y1
4.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在二次函数y=a(x﹣3)2+c的图象上,若|x1﹣3|>|x2﹣3|,则下列结论正确的是( )
A.y1+y2>0
B.y1﹣y2>0
C.a(y1+y2)>0
D.a(y1﹣y2)>0
5.已知抛物线y=ax2﹣3ax+a2+1(a≠0)图象上有两点A(x1,y1)、B(x2,y2),x1<x2<﹣1时,有y1<y2;当﹣1≤x1≤2时,y1最小值是6.则a的值为( )
A.﹣1
B.﹣5
C.1或﹣5
D.﹣1或﹣5
6.如图,将抛物线y=﹣x2+x+5的图象x轴上方的部分沿x轴折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象.则新图象与直线y=﹣5的交点个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
7.在同一坐标系中,二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx﹣a的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
8.将抛物线y=﹣x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线的一般式为
.
9.已知点A(﹣3,y1)和点B(﹣,y2)都在二次函数y=ax2﹣2ax+m(a>0)的图象上,那么y1﹣y2
0(结果用>,<,=表示).
10.关于x的二次函数y=x2﹣mx+5,当x≥1时,y随取x的增大而增大,则实数m的取值范围是
.
11.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(﹣1,2),B(﹣2,3)两点,且不经过第一象限,设l=a+b﹣c,则l的取值范围是
.
12.已知二次函数y=2x2﹣bx+1,当x<1时,y随x的增大而减小,则实数b的取值范围为
.
13.已知二次函数y=x2﹣mx+3在x=0和x=2时的函数值相等,那么m的值是
.
17.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示:
(1)b
0;(填“>”,“═”或“<”)
(2)若M=4a+2b,N=a﹣b,则M、N的大小关系为M
N.(填“>”,“═”或“<”)
15.将抛物线y=﹣2(x+3)2+2以原点为中心旋转180度得到的抛物线解析式为
.
16.已知点A(0,2)与点B(2,4)的坐标,抛物线y=ax2﹣6ax+9a+1与线段AB有交点,则a的取值范围是
.
17.直线y=3kx+2(k﹣1)与抛物线y=x2+2kx﹣2在﹣1≤x≤3范围内有唯一公共点,则k的取值为
.
18.将抛物线y=ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后,经过点(﹣2,5),则8a﹣4b﹣11的值是
.
25.抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过点(﹣2,0)和点(0,﹣6),且顶点在第四象限,则a的取值范围是
.
19.若二次函数y=﹣(x+1)2+h的图象与线段y=x+2(﹣3≤x≤1)没有交点,则h的取值范围是
.
20.记函数y=x2﹣6x﹣5a+3(﹣2≤x≤6)的图象为图形M,函数y=﹣x+4的图象为图形N,若M与N没有公共点,则a的取值范围是
.
21.若二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,求当x=1时,y的值.
三、解答题
22.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(1,2),B(3,2),C(5,7).若点M(﹣2,y1),N(﹣1,y2),K(8,y3)也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上,试比较y1,y2,y3之间的大小关系.
23.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列四个代数式:
①ac;②a+b+c;③2a+b;④b2﹣4ac中;
其中值大于0的有?.并说明理由.
参考答案
1.解:由y=ax2+bx+c的图象可得:
开口向下,故a<0;
与y轴的交点在(0,1)的上方,故c>1;
对称轴在y轴右侧,且a<0故b>0;
由图象可知当x=1时,y=a+b+c>1
∴a+2b+c=a+b+c+b>1;
∵对称轴x=﹣>1,
∴b>﹣2a,
∴2a+b>0,
∴2a+b+c>0+c>1;
3a+2b+c=(2a+b)+(a+)++c>0++0+c>c>1;
综上所述,值一定大于1的个数是4个.
故选:D.
2.解:将函数y=的图象沿y轴向下平移3个单位得到一条新函数y=的图象,
所以AA′=3,
所以曲线段AB扫过的面积=(xB﹣xA)×AA′=3×3=9.
故选:C.
3.解:∵抛物线y=(x﹣1)2+m(m为常数)的开口向上,对称轴为直线x=1,
而A(﹣2,y1)离直线x=1的距离最远,B(0,y2)点离直线x=1最近,
∴y1>y3>y2.
故选:C.
4.解:①a>0时,二次函数图象开口向上,
∵|x1﹣3|>|x2﹣3|,
∴y1>y2,
∵无法确定y1+y2的正负情况,
∴a(y1﹣y2)>0,
②a<0时,二次函数图象开口向下,
∵|x1﹣3|>|x2﹣3|,
∴y1<y2,
∵无法确定y1+y2的正负情况,
∴a(y1﹣y2)>0,
综上所述,表达式正确的是a(y1﹣y2)>0.
故选:D.
5.解:∵抛物线y=ax2﹣3ax+a2+1,
∴该抛物线的对称轴是直线x=﹣,
∵抛物线y=ax2﹣3ax+a2+1(a≠0)图象上有两点A(x1,y1)、B(x2,y2),x1<x2<﹣1时,有y1<y2,
∴在对称轴左侧y随x的增大而增大,
∴a<0,
∵当﹣1≤x1≤2时,y1最小值是6,2﹣=,﹣(﹣1)=,
∴当x=﹣1时,y=a+3a+a2+1=6,
解得a1=﹣5,a2=1(舍去),
故选:B.
6.解:如图,∵y=﹣x2+x+5中,当x=0时,y=5,
∴抛物线y=﹣x2+x+5与y轴的解得为(0,5),∵将抛物线y=﹣x2+x+5图象中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,
∴新图象与y轴的交点坐标为(0,﹣5),
∴新图象与直线y=﹣5的交点个数是4个,
故选:D.
7.解:由方程组得ax2=﹣a,
∵a≠0
∴x2=﹣1,该方程无实数根,
故二次函数与一次函数图象无交点,排除B.
A:二次函数开口向上,说明a>0,对称轴在y轴右侧,则b<0;但是一次函数b为一次项系数,图象显示从左向右上升,b>0,两者矛盾,故A错;
C:二次函数开口向上,说明a>0,对称轴在y轴右侧,则b<0;b为一次函数的一次项系数,图象显示从左向右下降,b<0,两者相符,故C正确;
D:二次函数的图象应过原点,此选项不符,故D错.
故选:C.
8.解:将抛物线y=﹣x2+1向左平移1个单位长度得到抛物线y=﹣(x+1)2+1,
再向下平移2个单位得到抛物线y=﹣(x+1)2+1﹣2,即y=﹣(x+1)2﹣1=﹣x2﹣2x﹣2.
故答案为:y=﹣x2﹣2x﹣2.
9.解:∵点A(﹣3,y1)和点B(﹣,y2)都在二次函数y=ax2﹣2ax+m(a>0)的图象上,
∴y1=9a+6a+m=15a+m,y2=a+a+m=a+m,
∴y1﹣y2=15a+m﹣a﹣m=a,
∵a>0,
∴a>0,
∴y1﹣y2>0.
故答案为:>.
10.解:函数的对称轴为:x=m,
x≥1时,y随取x的增大而增大,
则m≤1,
解得:m≤2,
故答案为:m≤2.
11.解:由题意,得,解得,
则l=a+b﹣c=a+(3a﹣1)﹣(2a+1)=2a﹣2,
由抛物线过点A(﹣1,2),B(﹣2,3)两点,且不经过第一象限知a<0,c=2a+1≤0,
解得a≤,
∴l=2a﹣2≤﹣3,
故答案为:l≤﹣3.
12.解:∵y=2x2﹣bx+1,
∴对称轴为直线x=,
∵当x<1时,y随x的增大而减小,
∴≥1,
故答案为:b≥4.
13.解:∵当x=0和x=2时的函数值相等,
∴二次函数图象的对称轴x==1,
∵对称轴x=﹣=m,
∴m=1,即m=2,
故答案为:2.
14.解:(1)∵抛物线开口向上,
∴a>0,
∵﹣>0,
∴b<0,
故答案为:<;
(2)当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,
当x=2时,y=4a+2b+c<0,
M﹣N=4a+2b﹣(a﹣b)
=4a+2b+c﹣(a﹣b+c)<0,
即M<N,
故答案为:<.
15.解:∵抛物线y=﹣2(x+3)2+2的顶点为(﹣3,2),绕原点旋转180°后,变为(3,﹣2)且开口相反,
故得到的抛物线解析式为y=2(x﹣3)2﹣2,
故答案是:y=2(x﹣3)2﹣2.
16.解:∵抛物线y=ax2﹣6ax+9a+1=a(x﹣3)2+1,如图,
∴顶点坐标为(3,1),对称轴为x=3,
当抛物线过点A时,即2=9a+1,解得,a=,
当抛物线过点B时,即4=a+1,解得,a=3,
又∵抛物线当|a|越大,开口越小,
∴a的取值范围为≤a≤3,
故答案为:≤a≤3.
17.解:联立.
得:3kx+2(k﹣1)=x2+2kx﹣2,
即,x2=kx+2k,
可以看成是联立而成的两个函数,
∵y=kx+2k=k(x+2),
∴当x+2=0时,此函数必过定点(﹣2,0),
即过(﹣2,0),(﹣1,1)的直线l1与过(﹣2,0),(3,9)的直线l2间的范围就是满足条件的直线运动的位置,如图,
将(﹣1,1)代入y=kx+2k得1=﹣k+2k,
解得,k=1,
将(3,9)代入y=kx+2k得,9=3k+2k,
解得,k=,
当k=1时,直线直线与抛物线在﹣1≤x≤3内有两个交点,
∴k≠1,
∴1<k≤,当k=0时,直线为y=﹣2,抛物线为y=x2﹣2,此时,在﹣1≤x≤3范围内有唯一公共点,故答案为:1<k≤或k=0.
18.解:将抛物线y=ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后,
表达式为:y=ax2+bx+2,
∵经过点(﹣2,5),代入得:4a﹣2b=3,
则8a﹣4b﹣11=2(4a﹣2b)﹣11=2×3﹣11=﹣5,
故答案为:﹣5.
19.解:将点(﹣2,0)和点(0,﹣6)代入函数表达式得:,解得:,
故抛物线的表达式为:y=ax2+(2a﹣3)x﹣6,
函数的顶点坐标为(,﹣),
∵抛物线顶点在第四象限,
∴>0且﹣<0,
解得:0<a<,
故答案为:0<a<.
20.解:x=1时,y=x+2=3,
将(1,3)代入y=﹣(x+1)2+h并解得:h=7,
联立y=﹣(x+1)2+h和y=x+2并整理得:x2+3x+(3﹣h)=0,
∵△=3﹣4(3﹣h)<0,
∴h<,
故答案为h>7或h<.
21.解:∵函数y=x2﹣6x﹣5a+3(﹣2≤x≤6)的图象为图形M,
函数y=﹣x+4的图象为图形N,若M与N没有公共点,
∴①△<0,
∴x2﹣6x﹣5a+3=﹣x+4
∴x2﹣5x﹣5a﹣1=0
△=25+20a+4=20a+29
∴20a+29<0解得a<﹣;
②当x=﹣2时,代入函数y=﹣x+4,得y=6,
代入函数y=x2﹣6x﹣5a+3,得y=﹣5a+19,
当﹣2≤x≤6时,﹣5a+19<6,解得a>;
③当x=6时,代入函数y=﹣x+4,得y=﹣2,
代入函数y=x2﹣6x﹣5a+3,得y=﹣5a+3,
当﹣2≤x≤6时,﹣5a+3<﹣2,解得a>1.
所以综上a>.
则a的取值范围是a>或a<﹣.
故答案为:a>或a<﹣.
22.解:由图可知:A(﹣5,﹣4),B(﹣4,1),C(0,1),
将A(﹣5,﹣4),B(﹣4,1),C(0,1)分别代入y=ax2+bx+c得,
,
解得,
函数解析式为y=﹣x2﹣4x+1.
当x=1时,y=﹣4.
故答案为﹣4.
23.解:∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(1,2),B(3,2),C(5,7),
∴代入得:,
解得:a=,b=﹣,c=,
对称轴是直线x==2,
∵a=>0,抛物线的开口向上,
在直线x=2的左侧,y随x的增大而减小,
点K关于直线x=2的对称轴是(﹣4,y3),
∵﹣4<﹣2<﹣1,
∴y3>y1>y2,
即y2<y1<y3,
故答案为:y2<y1<y3.
30.解:①由二次函数的图象可知,该函数图象开口向下,则a<0;
该函数图象与y轴交于负半轴,则c<0,
∴ac>0;
②由图象可知,当x=1时,y>0,
即y=a+b+c>0
∴a+b+c>0;
③由图象可知,对称轴为0<﹣<1
∵a<0
∴2a+b<0
④由图象可知,抛物线与x轴有两个交点,
则b2﹣4ac>0
综上,其值大于0的有①②④.