2.7探索勾股定理 同步能力达标训练 2021-2022学年浙教版八年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年浙教版八年级数学上册《2.7探索勾股定理》同步能力达标训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，AB⊥BC，其中AC＝2.5，AB＝1，P是BC上任意一点，那么线段AP的长度可能为（　　）
A．0.5
B．0.7
C．2.3
D．2.8
2．三个正方形的面积如图所示，则S的值为（　　）
A．3
B．12
C．9
D．4
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB+BC＝8，AC＝4，则△ABC的面积为（　　）
A．6
B．7.5
C．10
D．12
4．若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三条边长的平方为（　　）
A．9
B．41
C．9或41
D．不确定
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD的长度是（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
6．如图，∠C＝90o，AB＝12，BC＝3，CD＝4，若∠ABD＝90°，则AD的长为（　　）
A．8
B．10
C．13
D．15
7．已知直角三角形的周长为24，斜边长为10，则三角形的面积为（　　）
A．12
B．24
C．36
D．48
8．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若A，B，C，D的边分别是5，3，3，2，则最大的正方形F的面积为（　　）
A．50
B．36
C．47
D．64
9．如图，A代表所在的正方形的面积，则A的值是
　
　．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点E．AC＝6，AB＝10，则△ACE的周长为
　
　．
11．如图所示的正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，直角三角形的两条直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为
　
　．
12．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为
　
　．
13．已知：如图，在△ABC中，BC⊥AC，若AC＝8，BC＝6，求AB的长．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝26，AC＝24，点D为△ABC外一点，连接BD，CD，测得CD＝8，BD＝6，求四边形ABDC的面积．
15．如图，已知∠B＝∠ADC＝90°，DC＝7，AB＝20，BC＝15，求AD的长．
16．如图，A，B，H是直线上的三个点，AC⊥l于点A，BD⊥l于点B，HC＝HD，AB＝5，AC＝2，BD＝3，求AH的长．
17．用四个完全相同的直角三角形（如图1）拼成一大一小两个正方形（如图2），直角三角形的两条直角边分别是a、b（a＞b），斜边长为ccm，请解答：
（1）图2中间小正方形的周长　
　，大正方形的边长为　
　．
（2）用两种方法表示图2正方形的面积．（用含a，b，c）
①S＝　
　；
②S＝　
　；
（3）利用（2）小题的结果写出a、b、c三者之间的一个等式　
　．
（4）根据第（3）小题的结果，解决下面的问题：
已知直角三角形的两条直角边长分为是a＝8，b＝6，求斜边c的值．
18．在△ABC中，
（1）如图1，AC＝15，AD＝9，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面积；
（2）如图2，AC＝13，BC＝20，AB＝11，求△ABC的面积．
19．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：
已知：如图，四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于点E，且△ABE≌△BCD．求证：AB2＝BE2+AE2．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F．
（1）如图1，若AB＝13，BC＝10，求AF的长度；
（2）如图2，若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
参考答案
1．解：∵P是BC上任意一点，
∴AB≤AP≤AC，
即1≤AP≤2.5，
故选：C．
2．解：如图，
由题意可得：AB＝4，AC＝5，
∵AC2＝AB2+BC2，
∴BC2＝25﹣16＝9，
∴S＝9，
故选：C．
3．解：设BC＝x，
∵AB+BC＝8，
∴AB＝8﹣x，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴BC＝3，
∴S＝＝＝6，
即△ABC的面积为6，
故选：A．
4．解：当5为直角边时，第三边的平方为：42+52＝41；
当5为斜边时，第三边的平方为：52﹣42＝9．
故第三边的平方为9或41，
故选：C．
5．解：∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝5，
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，
∴AD＝AC，
∴AD＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2．
故选：A．
6．解：在Rt△BCD中，∠C＝90o，
由勾股定理得：BD＝5，
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，
由勾股定理得：AD＝13
故选：C．
7．解：设直角三角形两直角边长为a，b，
∵该直角三角形的周长为24，其斜边长为10，
∴24﹣（a+b）＝10，
即a+b＝14，
由勾股定理得：a2+b2＝102＝100，
∵（a+b）2＝142，
∴a2+b2+2ab＝196，
即100+2ab＝196，
∴ab＝48，
∴直角三角形的面积＝ab＝24，
故选：B．
8．解：∵A，B，C，D的边分别是5，3，3，2，
∴SA＝25，SB＝9，SC＝9，SD＝4，
∵所有的三角都是直角三角形，
∴SA+SB+SC+SD＝SF，
∴S＝47，
故选：C．
9．解：如图，∵∠BCD＝90°，
∴BC2＝BD2﹣CD2＝132﹣52＝144，
∴A＝BC2＝144，
故答案为：144．
10．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得：BC＝8，
∵AB的垂直平分线交BC于点E，
∴AE＝BE，
∴△ACE的周长为AC+AE+CE＝AC+BC＝6+8＝14，
故答案为：14．
11．解：∵直角三角形的两条直角边长分别为2，3，
∴大正方形的面积为（）2＝13．
故答案为：13．
12．解：在△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝9cm，
∵△ABP为等腰三角形，
当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；
当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；
当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x，则PC＝8﹣x，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：
PC2+AC2＝AP2，
∴（8﹣x）2+62＝x2，
解得x＝，
∴t＝．
综上所述：t的值为16或10或．
故答案为：16或10或．
13．解：∵BC⊥AC，
∴∠C＝90°．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，则BC2+AC2＝AB2．
∵AC＝8，BC＝6，
∴62+82＝AB2．
∴AB＝10．
14．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
由勾股定理得：BC＝10，
∵CD＝8，BD＝6，
∴CD2+BD2＝82+62＝100，
AC2＝100，
∴CD2+BD2＝AC2，
∴∠D＝90°，
∴S四边形ABDC＝S△ABC+S△BCD
＝
＝
＝144．
15．解：连接AC，在Rt△ABC中，AB＝20，BC＝15，
∴AC2＝AB2+BC2＝202+152＝625，
在Rt△ADC中，DC＝7，
∴AD＝24．
16．解：∵AC⊥l于点A，BD⊥l于点B，
∴∠CAH＝∠HBD＝90°，
∵A，B，H是直线上的三个点，
∴AH+BH＝AB＝5，
∴BH＝5﹣AH，
在Rt△ACH中，AC2+AH2＝CH2，
即4+AH2＝CH2，
在Rt△BHD中，BH2+BD2＝DH2，
即（5﹣AH）2+9＝DH2，
∵HC＝HD，
∴4+AH2＝（5﹣AH）2+9，
∴AH＝3，
故AH的长为3．
17．解：（1）图2中间小正方形的周长4c，大正方形的边长为（a+b），
故答案为：4c；a+b；
（2）图2正方形的面积S＝（a+b）2或S＝2ab+c2，
故答案为：（a+b）2或2ab+c2；
（3）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴a2+b2＝c2．
故答案为：a2+b2＝c2；
（4）∵c2＝a2+b2＝82+62＝100，
∴c＝10（负值不合题意，舍去）．
18．解：（1）∵CD2+AD2＝144+81＝225，AC2＝225，
∴CD2+AD2＝CA2，
∴△△ADC是直角三角形，
∴∠ADC＝90°，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴BD＝16，
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25，
∴△ABC的面积＝×25×12＝150；
（2）过C作CD⊥BA的延长线于点D，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
设AD为x，DB＝（x+11），由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣DB2，
即AC2﹣AD2＝BC2﹣DB2，
则132﹣x2＝202﹣（x+11）2，
解得：x＝5，
∴CD＝12，
∴△ABC的面积＝?AB?CD＝×11×12＝66．
19．解：连接AC，
∵△ABE≌△BCD，
∴AB＝BC，AE＝BD，BE＝CD，∠BAE＝∠CBD，
∵∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠ABC＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝BD?AE+BD?CD＝AE?AE+BD?BE＝AE2+BD?BE，
又∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝AB?BC+CD?DE＝AB?AB+BE?DE＝AB2+BE?DE，
∴AE2+BD?BE＝AB2+BE?DE，
∴AB2＝AE2+BD?BE﹣BE?DE，
∴AB2＝AE2+（BD﹣DE）?BE，即AB2＝BE2+AE2．
20．（1）解：如图1，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∵BC＝10，
∴BD＝5，
Rt△ABD中，∵AB＝13，
∴AD＝12，
Rt△BDF中，∵∠CBE＝45°，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DF＝BD＝5，
∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；
（2）证明：如图2，在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CF、CH
在△CHB和△AEF中，
∵，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．