2021-2022学年浙教版九年级数学上册《1.3二次函数的性质》同步能力提升训练（Word版 附答案）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《1.3二次函数的性质》同步能力提升训练（附答案）
一、选择题
1．如图，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是（　　）
A．x＞3
B．x＜3
C．x＞1
D．x＜1
2．二次函数y＝（x﹣1）2+8的图象的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，8）
B．（1，8）
C．（﹣1，2）
D．（1，﹣4）
3．已知二次函数y＝ax2+c，且当x＝1时，﹣4≤y≤﹣1，当x＝2时，﹣1≤y≤5，则当x＝3时，y的取值范围是（　　）
A．﹣1≤y≤20
B．﹣4≤y≤15
C．﹣7≤y≤26
D．≤y≤
4．二次函数y＝﹣x2+2x﹣5图象的顶点坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣4）
B．（1，﹣4）
C．（2，﹣1）
D．（﹣2，﹣1）
5．当0≤x≤3，函数y＝﹣x2+4x+5的最大值与最小值分别是（　　）
A．9，5
B．8，5
C．9，8
D．8，4
6．若二次函数y＝ax2+bx+1的图象与平行于x轴的直线交于二点的横坐标分别为m、n．则：当x＝m+n时，二次函数y的值是（　　）
A．1
B．2
C．﹣1
D．O
7．若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　）
A．m＝1
B．m＞1
C．m≥1
D．m≤1
二、填空题
8．抛物线y＝x2﹣2x﹣8的顶点坐标是　
　．
9．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是　
　．
10．把y＝2x2﹣6x+4配方成y＝a（x﹣h）2+k的形式是　
　．
11．抛物线y＝﹣x2﹣2x+m，若其顶点在x轴上，则m＝　
　．
12．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣2，﹣2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为　
　．
13．若抛物线y＝x2﹣kx+k﹣1的顶点在坐标轴上，则k＝　
　．
14．如图，抛物线y＝x2+2x+1的顶点为M，与y轴交于点C，A是抛物线上的一点，且AM＝CM，则△ACM的面积为　
　．
三、解答题
15．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y1＝x2﹣4x+4的顶点D，直线y2＝kx﹣2k（k≠0）；
（1）点D是否在直线y2＝kx﹣2k上？请说明理由；
（2）过x轴上一点M（t，0）（0≤t≤2）作x轴上的垂线，分别交为y1、y2于点P、点Q．小明同学借助图象性质探究，当k满足什么条件时，存在实数t使得PQ＝3，他发现以下结论：
①当k＞0时，存在满足条件的t；
②当﹣2＜k＜﹣0.5时，不存在满足条件的t．
你认为小明的判断是否正确？请说明理由．
16．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x﹣1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过点A，B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
（3）若抛物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
17．甲、乙两同学对关于y、x的抛物线f：y＝x2﹣2mx+2m2+2m进行探讨交流时，各得出一个结论．
甲同学：当抛物线f经过原点时，顶点在第三象限平分线所在的直线上；
乙同学：不论m取什么实数值，抛物线f顶点一定不在第四象限．
（1）请你求出抛物线f经过原点时m的值及顶点坐标，并说明甲同学的结论是否正确？
（2）乙同学的结论正确吗？若你认为正确，请求出当实数m变化时，抛物线f顶点的纵横坐标之间的函数关系式，并说明顶点不在第四象限的理由；若你认为不正确，求出抛物线f顶点在第四象限时，m的取值范围．
18．已知一次函数y1＝x﹣1，二次函数y2＝x2﹣mx+4（其中m＞4）．
（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）；
（2）利用函数图象解决下列问题：
①若m＝5，求当y1＞0且y2≤0时，自变量x的取值范围；
②如果满足y1＞0且y2≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围．
19．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，它的对称轴与x轴交于点F，过点C作CE∥x轴交抛物线于另一点E，连接EF，AC．
（1）求该抛物线的表达式及点E的坐标；
（2）在线段EF上任取点P，连接OP，作点F关于直线OP的对称点G，连接EG和PG，当点G恰好落到y轴上时，求△EGP的面积．
20．二次函数y＝x2+px+q的图象经过点（2，﹣1）且与x轴交于不同的两点A（a，0）、B（b，0），设图象顶点为M，求使△AMB的面积最小时的二次函数的解析式．
参考答案
1．解：∵抛物线顶点坐标是P（1，3），
∴对称轴为x＝1，
又∵抛物线开口向下，
∴函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是x＞1．
故选：C．
2．解：二次函数y＝（x﹣1）2+8的图象的顶点坐标为（1，8）．
故选：B．
3．解：由x＝1时，﹣4≤y≤﹣1得，﹣4≤a+c≤﹣1…①
由x＝2时，﹣1≤y≤5得，﹣1≤4a+c≤5…②
x＝3时，y＝9a+c＝m（a+c）+n（4a+c）
得
，解得，
故
≤﹣（a+c）≤，
﹣≤（4a+c）≤，
∴﹣1≤y≤20．
选A
4．解：解法1：利用公式法
y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，），代入数值求得顶点坐标为（1，﹣4）；
解法2：利用配方法
y＝﹣x2+2x﹣5＝﹣（x2﹣2x+1）﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣4，故顶点的坐标是（1，﹣4）．
故选：B．
5．解：y＝﹣x2+4x+5
＝﹣x2+4x﹣4+4+5
＝﹣（x﹣2）2+9，
∴当x＝2时，最大值是9，
∵0≤x≤3，
∴x＝0时，最小值是5，
故选：A．
6．解：∵过横坐标分别为m、n的两点的直线与x轴平行，
∴m+n＝﹣×2，
∴＝﹣，
∴＝﹣，
即x＝m+n与x＝0关于对称轴对称，
∴x＝m+n时，二次函数y的函数值与x＝0时的函数值相等，
当x＝0时，y＝a×02+b×0+1＝1，
∴当x＝m+n时，二次函数y的值是1．
故选：A．
7．解：∵二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，中，a＝1＞0，
∴此函数开口向上，
∵当x≤1时，函数值y随x的增大而减小，
∴二次函数的对称轴x＝m≥1．
故选：C．
8．解：解法1：利用公式法
y＝ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，），代入数值求得顶点坐标为（1，﹣9）；
解法2：利用配方法
y＝x2﹣2x﹣8＝x2﹣2x+1﹣9＝（x﹣1）2﹣9，故顶点的坐标是（1，﹣9）．
9．解：
当x≥1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣7x，
图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，﹣），
当x＜1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣x﹣6，
顶点坐标为（，﹣），
∴当b＝﹣6或b＝﹣时，两图象恰有三个交点．
故本题答案为：﹣6，﹣．
10．解：y＝2x2﹣6x+4＝2（x2﹣3x+）﹣2×+4＝2（x﹣）2﹣．
即y＝2（x﹣）2﹣．
故答案为y＝2（x﹣）2﹣．
11．解：∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+m，若其顶点在x轴上，
∴＝0，解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．解：∵图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，
∴这个交点坐标为（﹣4，0）、（4，0），
设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，
①当这个交点坐标为（﹣4，0）时，，
解得，
所以二次函数解析式为y＝x2+2x，
②当这个交点坐标为（4，0）时，，
解得，
所以二次函数解析式为y＝﹣x2+x，
综上所述，二次函数解析式为y＝x2+2x或y＝﹣x2+x．
故答案为：y＝x2+2x或y＝﹣x2+x．
13．解：①顶点在x轴上时，＝＝0，
整理得，k2﹣4k+4＝0，
解得k＝2，
②顶点在y轴上时，﹣＝﹣＝0，
解得k＝0，
综上所述，k＝2或0．
故答案为：2或0．
14．解：∵y＝x2+2x+1＝（x+1）2，
∴C（0，1），顶点（﹣1，0），
∵A是抛物线上的一点，且AM＝CM，
∴A是C的对称点，
∵AC∥x轴，
∴AC＝2，OC＝1，
∴S△ACM＝×2×1＝1，
故答案为1．
15．解：（1）∵y1＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴点D的坐标为（2，0）．
当x＝2时，y2＝2k﹣2k＝0，
∴点D在直线y2＝kx﹣2k上．
（2）∵点M（t，0），
∴点P（t，t2﹣4t+4），点Q（t，kt﹣2k），
∴PQ＝|t2﹣4t+4﹣（kt﹣2k）|＝|t2﹣（4+k）t+（4+2k）|．
①当k＞0，P在Q点上方，
∵PQ＝3
∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）＝3
整理得t2﹣（4+k）t+（1+2k）＝0
∵Δ＝b2﹣4ac＝（4+k）2﹣4（1+2k）＝k2+12＞0
①利用图象法可知存在PQ＝3，故①正确．
②当P在Q点下方时，k＜0
∵PQ＝3
∴t2﹣（4+k）t+（4+2k）＝﹣3
∴t2﹣（4+k）t+7+2k＝0
∵Δ＝b2﹣4ac＝（4+k）2﹣4（7+2k）＝k2﹣12
∴当存在PQ＝3时，k2﹣12≥0
∴k≤﹣2或k≥2（舍去）
当点P在Q是上方时，k＜0，同法可得k不存在．
∴当﹣2＜k＜﹣0.5时，不存在满足条件的t，
②正确．
16．解：（1）当y＝2时，则2＝x﹣1，
解得：x＝3，
∴A（3，2），
∵点A关于直线x＝1的对称点为B，
∴B（﹣1，2）．
（2）把（3，2），（﹣1，2）代入抛物线C1：y＝x2+bx+c得：
解得：
∴y＝x2﹣2x﹣1．
顶点坐标为（1，﹣2）．
（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，
代入A（3，2）则9a＝2，
解得：a＝，
代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2＝2，
解得：a＝2，
∴≤a＜2．
17．解：（1）抛物线f经过原点时，2m2+2m＝0
则：m1＝0或
m2＝﹣1
∴当m＝﹣1时抛物线f表达式为y＝x2+2x顶点（﹣1，﹣1），
当m＝0时抛物线f表达式为y＝x2，顶点（0，0）
由于顶点（﹣1，﹣1）和顶点（0，0）都在第三象限的平分线所在的直线上，
∴甲同学结论正确，
（2）乙同学的结论正确，
∵抛物线f的解析式y＝x2﹣2mx+2m2+2m可变为y＝（x﹣m）2+m2+2m
∴抛物线f的顶点为（m，m2+2m），若设抛物线f的顶点为（x，y）
则：，
∴抛物线f顶点的纵横坐标的函数关系式为：y＝x2+2x，
又由于抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1），与x轴的交点为（0，0），（﹣2，0），
抛物线开口向上．∴抛物线y＝x2+2x不可能在第四象限．
即：不论m取什么实数值，抛物线f顶点一定不在第四象限．
18．解：（1）∵y2＝x2﹣mx+4＝（x﹣）2﹣+4，
∴二次函数图象的顶点坐标为：（，﹣+4）
（2）①当m＝5时，y1＝x﹣1，y2＝x2﹣5x+4．
如图，当y1＝0时，x﹣1＝0，x＝2，
∵A（2，0），
当y2＝0时，x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或4，
∴B（1，0），C（4，0），
因为y1＞0，且y2≤0，由图象，得：2＜x≤4．
②当y1＞0时，自变量x的取值范围：x＞2，
∵如果满足y1＞0且y2≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，
i）当这个整数解是x＝3时，
当x＝3时，y2＝32﹣3m+4≤0，
解得m≥，
当x＝4时，y2＞0，即16﹣4m+4＞0，m＜5，
∴m的取值范围是：≤m＜5；
ii）当这个整数解是x＝4时，
当x＝3时，y2＝32﹣3m+4＞0，
解得m＜，
当x＝4时，y2＝42﹣4m+4≤0，
解得m≥5，
当x＝5时，y2＞0，即25﹣5m+4＞0，
m＜，
此种情况m没有解；
综上，m的取值范围是：≤m＜5．
19．解：（1）把A（﹣1，0），C（0，3）两点代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中得：
，解得：，
∴该抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴是：x＝1，
∵CE∥x轴，
∴点C与点E是对称点，
∴E（2，3）；
（2）连接FG，过P作PM⊥x轴于M，过E作EN⊥x轴于N，则PM∥EN，
∵F与G关于OP对称，且G在y轴上，
∴OF＝OG＝1，
∴FG＝，∠OGF＝45°，
∵OC＝3，
∴OG＝3﹣1＝2＝CE，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∴EG＝2，∠CGE＝45°，
∴∠EGF＝90°，
∵E（2，3），F（1，0），
易得EF的解析式为：y＝3x﹣3，
设P（x，3x﹣3），
∵∠POM＝45°，
∴△POM是等腰直角三角形，
∴PM＝OM，即x＝3x﹣3，
x＝，
∴P（，），
∴FM＝MN＝，
∵PM∥EN，
∴FP＝EP，
∴S△EGP＝S△EGF＝×××＝1．
20．解：由题意知4+2p+q＝﹣1，即q＝﹣2p﹣5，
∵A（a，0）、B（b，0）两点在抛物线y＝x2+px+q上，
∴a+b＝﹣p，ab＝q，
又|AB|＝|a﹣b|＝，M（），
∴S△AMB＝|AB|?||
＝|a﹣b|?（P2﹣4q）＝
要使S△AMB最小，只须使P2﹣4q为最小，
而P2﹣4q＝P2+8p+20＝（p+4）2+4，
∴当p＝﹣4时，P2﹣4q有最小值为4，
此时q＝3，S△AMB＝×＝1．
∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3．