第1章二次函数 单元同步能力提升训练 2021-2022学年浙教版九年级数学上册（Word版含解析）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第1章二次函数》单元同步能力提升训练（附答案）
1．下表是满足二次函数y＝ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（　　）
x
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
y
﹣0.80
﹣0.54
﹣0.20
0.22
0.72
A．1.6＜x1＜1.8
B．1.8＜x1＜2.0
C．2.0＜x1＜2.2
D．2.2＜x1＜2.4
2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）
A．y＝3x﹣1
B．y＝ax2+bx+c
C．s＝2t2﹣2t+1
D．y＝x2+
3．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（　　）
A．B．
C．D．
4．直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则k的值为（　　）
A．0
B．2
C．6
D．10
5．下列关于抛物线y＝（x﹣1）2+3的说法不正确的是（　　）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的顶点是（1，3）
C．抛物线与y轴的交点是（0，3）
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
6．已知二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）+2，若m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）+2＝0的两个根，则实数m，n，p，q的大小关系可能是（　　）
A．m＜p＜q＜n
B．m＜p＜n＜q
C．p＜m＜n＜q
D．p＜m＜q＜n
7．已知二次函数y＝（x﹣）2+1，则下列说法：①其图象的开口向上；②其图象的对称轴为直线x＝﹣；③其图象顶点坐标为（，﹣1）；④当x＜时，y随x的增大而减小，其中说法正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
如图，若抛物线y＝ax2+h与直线y＝kx+b交于A（3，m），
B（﹣2，n）两点，则不等式ax2﹣b＜kx﹣h的解集是　
　．
9．抛物线y＝x2+bx+2与y轴交于点A，如果点B（2，2）和点A关于该抛物线的对称轴对称，那么b的值是　
　．
10．若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，4）、B（x1+x2，n）、C（x2，4），则n的值为　
　．
11．用配方法把二次函数y＝2x2﹣3x+1写成y＝a（x﹣h）2+k的形式为　
　
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；
④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；
其中结论正确有　
　．
13．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当﹣1≤x≤4时，函数的最小值是　
　．
14．已知二次函数y＝kx2﹣3x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为　
　．
15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当y＜3时，x的取值范围是　
　．
16．若点M（﹣3，y1），N（﹣1，y2），P（4，y3）在抛物线y＝﹣x2+2x+m上，则y1，y2，y3大小顺序为　
　．（用“＜”号连接）
17．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m达到警戒水位时，水面CD的宽是10m．如果水位以0.25m/h的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过　
　h水位达到桥拱最高点O．
18．将抛物线y＝2x2向上平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线的解析式为　
　．
19．如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x的函数关系式是　
　．（不需写出x的取值范围）．
20．某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元，若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买2件，所买的每件服装的售价均降低6元．已知该服装成本是每件200元．设顾客一次性购买服装x件时，该网店从中获利y元．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多，并求出获利的最大值？
21．如图，抛物线y1＝ax2+c的顶点为M，且抛物线与直线y2＝kx+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的坐标为（2，3），连接AM、BM．
（1）a＝　
　，c＝　
　，k＝　
　（直接写出结果）；
（2）当y1＜y2时，则x的取值范围为　
　（直接写出结果）；
（3）在直线AB下方的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积最大？若存在，求出△ABP的最大面积及点P坐标．
22．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，直接写出点P的坐标和周长最小值；
（3）点Q为抛物线上一点，若S△QAB＝8，求出此时点Q的坐标．
23．5G网络比4G网络的传输速度快10倍以上，因此人们对5G产品充满期待．华为集团计划2020年元月开始销售一款5G产品．根据市场营销部的规划，该产品的销售价格将随销售月份的变化而变化．若该产品第x个月（x为正整数）销售价格为y元/台，y与x满足如图所示的一次函数关系：且第x个月的销售数量p（万台）与x的关系为p＝x+1．
（1）该产品第6个月每台销售价格为　
　元；
（2）求该产品第几个月的销售额最大？该月的销售价格是多少元/台？
（3）若华为董事会要求销售该产品的月销售额不低于27500万元，则预计销售部符合销售要求的是哪几个月？
（4）若每销售1万台该产品需要在销售额中扣除m元推广费用，当6≤x≤8时销售额最大值为22500万元，求m的值．
24．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
参考答案
1．解：∵﹣0.20＜0＜0.22，
∴2.0＜x1＜2.2．
故选：C．
2．解：A、y＝3x﹣1是一次函数，故A不符合题意；
B、y＝ax2+bx+c
（a≠0）是二次函数，故B不符合题意；
C、s＝2t2﹣2t+1是二次函数，故C符合题意；
D、y＝x2+不是二次函数，故D不符合题意．
故选：C．
3．解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除B、C；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；
故选：A．
4．解：根据题意得：x2+2x+k＝﹣4x+1，
即x2+6x+（k﹣1）＝0，
则△＝36﹣4（k﹣1）＝0，
解得：k＝10．
故选：D．
5．解：A，由抛物线可看出a＝1＞0，故开口向上，故说法正确．
B，因为顶点坐标是（1，3），故说法正确；
C，当x＝0时，y＝4，故与与y轴交点为（0，4），故说法不正确
D，由于开口方向向上，对称轴为x＝1，x＞1时y随x的增大而增大，故说法正确；
故选：C．
6．解：∵二次函数y＝（x﹣p）（x﹣q）+2，
∴该函数开口向上，当x＝p或x＝q时，y＝2，
∵m，n是关于x方程（x﹣p）（x﹣q）+2＝0的两个根，
∴p、q一定一个最大，一个最小，m、n一定处于p、q中间，
故选：C．
7．解：∵a＝＞0，
∴抛物线开口向上，所以①正确；
∵y＝（x﹣）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，顶点坐标为（，1），所以②③错误；
当x＜时，y随x的增大而减小，所以④正确；
综上所述，正确的说法有2个．
故选：B．
8．解：∵抛物线y＝ax2+h与直线y＝kx+b交于A（3，m），B（﹣2，n）两点，
∴不等式ax2﹣b＜kx﹣h的解集为﹣2＜x＜3，
故答案为：﹣2＜x＜3．
9．解：当x＝0时，抛物线y＝x2+bx+2＝2，则A点坐标为（0，2），
∵点B（2，2）和点A关于该抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
即﹣＝1，
∴b＝﹣2．
故答案为﹣2．
10．解：∵A（x1，4）、C（x2，4）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上，
∴2（x+1）2+3＝4，
∴2x2+4x+1＝0，
根据根与系数的关系得，x1+x2＝﹣2，
∵B（x1+x2，n）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上，
∴n＝2（﹣2+1）2+3＝5，
故答案为5．
11．解：y＝2x2﹣3x+1
＝2（x2﹣x）+1
＝2[（x﹣）2﹣]+1
＝2（x﹣）2﹣．
故答案为：y＝2（x﹣）2﹣．
12．解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；
∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故答案为①②⑤．
13．解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，
∴该函数开口向上，对称轴是直线x＝1，
∵﹣1≤x≤4，
∴当x＝1时，函数取得最小值﹣3，
故答案为：﹣3．
14．解：∵二次函数y＝kx2﹣3x+3的图象与x轴有两个交点，
∴当y＝0时，0＝kx2﹣3x+3有两个不等的实数根，
∴，
解得，k＜且k≠0，
故答案为：k＜且k≠0．
15．解：由图象可得，
该函数的对称轴是直线x＝＝1，当x＝3时，y＝3，该函数图象开口向上，
故x＝3和x＝﹣1时的函数值一样，都是3，
则当y＜3时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3．
16．解：抛物线y＝﹣x2+2x+m的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜1时y随x的增大而增大，
当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵1﹣（﹣3）＝1+3＝4，
1﹣（﹣1）＝1+1＝2，
4﹣1＝3，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为：y1＜y3＜y2．
17．解：设抛物线解析式为y＝ax2，
因为抛物线关于y轴对称，AB＝20，所以点B的横坐标为10，
设点B（10，n），点D（5，n+3），
由题意：，
解得，
∴y＝﹣x2，
当x＝5时，y＝﹣1，
故t＝＝4（h），
答：再过4小时水位达到桥拱最高点O．
故答案为：4．
18．解：将抛物线y＝2x2向上平移2个单位，再向左平移1个单位，
得到的抛物线的解析式为y＝2（x+1）2+2．
故答案为y＝2（x+1）2+2．
19．解：∵四边形DEFG是矩形，BC＝12，BC上的高AH＝8，DE＝x，矩形DEFG的面积为y，
∴DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴，
得DG＝，
∴y＝x＝+12x，
故答案为：y＝+12x．
20．解：（1）y＝100x（0≤x≤10的整数）；y＝﹣3x2+130x（10＜x≤30的整数）；
（2）当0≤x≤10的整数y＝100x，当10时，利润有最大值y＝1000元；
当10?x≤30时，y＝﹣3x2+130x，
当x＝时，y取最大值，
因为x为整数，
根据对称性得：当x＝22时，y有最大值＝1408元?1000元，
所以顾客一次性购买22件时，该网站获利最多．
21．解：（1）将点B的坐标（2，3）代入y2＝kx+1得：
3＝2k+1
解得：k＝1
∴y2＝x+1
令y2＝0得：0＝x+1
解得：x＝﹣1
∴A（﹣1，0）
将A（﹣1，0）、B（2，3）代入y1＝ax2+c得：
解得：a＝1，c＝﹣1
故答案为：1，﹣1，1；
（2）∵A（﹣1，0）、B（2，3）
∴结合图象可得：当y1＜y2时，则x的取值范围为﹣1＜x＜2
故答案为：﹣1＜x＜2；
（3）在直线AB下方的抛物线上存在一点P，使得△ABP的面积最大．
如图，设平行于直线y2＝x+1的直线解析式为：y3＝x+b
由得：x2﹣1＝x+b
∴x2﹣x﹣1﹣b＝0
令Δ＝0得：1﹣4（﹣1﹣b）＝0
解得：b＝﹣
∴y3＝x﹣，
∴x2﹣x﹣1+＝0
解得：x1＝x2＝
∴P（，﹣）
∴当点P坐标为（，﹣）时，△ABP的面积最大
设y3＝x﹣与x轴交于点C，则点C坐标为：（，0），过点C作CD⊥AB
由平行线间的距离处处相等，可知线段CD的长度即为△ABP的高的长度
∵y2＝x+1与x轴所成锐角为45°
∴△ACD为等腰直角三角形
∵AC＝﹣（﹣1）＝
∴CD＝＝＝
∵A（﹣1，0）、B（2，3）
∴AB＝＝
∴△ABP的面积为：××＝
∴在直线AB下方的抛物线上存在一点P，使得△ABP的面积最大；△ABP的最大面积为；点P坐标为（，﹣）．
22．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接BC交抛物线的对称轴与点P．
∵y＝x2﹣2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵点A与点B关于x＝＝1对称，
∴PA＝PB．
∴AP+PC＝CP+PB．
∴当点P、C、B在一条直线上时，AP+PC有最小值．
又∵BC为定值，
∴当点P、C、B在一条直线上时，△APC的周长最小．
∵BC＝＝3，AC＝＝，
∴△PAC的周长最小值为：AC+BC＝+3，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，
解得：k＝1，b＝﹣3．
∴直线AD的解析式为y＝x﹣3．
将x＝1代入y＝x﹣3得：y＝﹣2，
∴点P的坐标为（1，﹣2），
即当点P的坐标为（1，﹣2）时，△PAC的周长最小．最小值为+3；
（3）设Q（x，y），则S△QAB＝AB?|y|＝2|y|＝8，
∴|y|＝4，
∴y＝±4．
①当y＝4时，x2﹣2x﹣3＝4，解得：x1＝1﹣2，x2＝1+2，
此时Q点坐标为（1﹣2，4）或（1+2，4）；
②当y＝﹣4时，x2﹣2x﹣3＝﹣4，解得x3＝x4＝1；
此时Q点的坐标为（1，﹣4）；
综上所述，Q点坐标为（1﹣2，4）或（1+2，4）或（1，﹣4）．
23．解：（1）设y与x满足如图所示的一次函数关系为y＝kx+b，
将（2，6500）、（4，5500）代入，得
k＝﹣500，b＝7500，
所以y＝﹣500x+7500．
当x＝6时，y＝4500．
答：该产品第6个月每台销售价格为4500元；
故答案为4500；
（2）设该产品月销售额为w万元，根据题意，得
w＝py＝（x+1）（﹣500x+7500）
＝﹣500（x﹣7）2+32000
当x＝7时，即该产品第7个月的销售额最大，
该月的销售价格是﹣500×7+7500＝4000元/台；
答：该产品第7个月的销售额最大，该月的销售价格是4000元/台；
（3）根据题意，得
﹣500（x﹣7）2+32000＝27500
解得x1＝4，x2＝10，
根据抛物线可知：
﹣500＜0，抛物线开口向下，
销售该产品的月销售额不低于27500万元，
则预计销售部符合销售要求的是4、5、6、7、8、9、10月；
（4）根据题意，得
每销售1万台该产品需要在销售额中扣除m元推广费用，
当6≤x≤8时，6月，7月，8月份共销售24万台，
∵第7个月的销售额最大，销售量为8万台，
∴w＝（x+1）（﹣500x+7500）﹣m（x+1）
①当x＝6时，w＝（6+1）（﹣500×6+7500）﹣m（6+1）＝22500，
解得m＝；
②当x＝7时，w＝（7+1）（﹣500×7+7500）﹣m（7+1）＝22500，
解得m＝1187.5；
③当x＝8时，w＝（8+1）（﹣500×8+7500）﹣m（8+1）＝22500，
解得m＝1000．
答：当6≤x≤8时销售额最大值为22500万元，m的值为，1187.5，1000元．
24．解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；
故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，
则AB＝PF＝2，
则点P坐标为（4，3），
当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，
故：点P（4，3）或（0，3）；
②当AB是四边形的对角线时，如图2，
AB中点坐标为（2，0）
设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，
即：＝2，解得：m＝2，
故点P（2，﹣1）；
故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；
（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），
S四边形AEBD＝AB（yD﹣yE）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，
∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，
当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．