2021-2022学年浙教版九年级数学上册：1.2二次函数的图象 同步培优提升训练（word版，附答案）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《1.2二次函数的图象》同步培优提升训练（附答案）
一、选择题
1．已知点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（3，c）均在抛物线y＝（x+1）2+k上，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜c＜b
B．c＜a＜b
C．b＜a＜c
D．a＜b＜c
2．将抛物线y＝x2﹣6x+21向左平移2个单位后，再向上平移2个单位，得到新抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣8）2+5
B．y＝（x﹣4）2+5
C．y＝（x﹣8）2+3
D．y＝（x﹣4）2+3
3．函数y＝ax2+bx+5（a≠0），当x＝1与x＝7时函数值相等，则x＝8时，函数值等于（　　）
A．5
B．﹣
C．
D．﹣5
4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（　　）
A．向左平移2个单位
B．向右平移2个单位
C．向左平移8个单位
D．向右平移8个单位
5．若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y＝2x2+4x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3
B．y2＜y3＜y1
C．y3＜y2＜y1
D．y2＜y1＜y3
6．y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列4个代数式a+2b+c，2a+b+c，3a+2b+c，﹣，其中值一定大于1的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．将抛物线y＝2x2﹣1沿直线y＝2x方向向右上方平移个单位，得到新抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x+2）2+3
B．
C．
D．y＝2（x﹣2）2+3
8．已知函数y＝2x与y＝x2﹣c（c为常数，﹣1≤x≤2）的图象有且仅有一个公共点，则常数c的值为（　　）
A．0＜c≤3或c＝﹣1
B．﹣1≤c＜0或c＝3
C．﹣1≤c≤3
D．﹣1＜c≤3且c≠0
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k是常数且k≠0）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（1，0）和点（0，﹣4），且顶点在第三象限，设p＝a﹣b+c，则p的取值范围是（　　）
A．﹣8＜p＜﹣4
B．﹣8＜p＜0
C．﹣4＜p＜0
D．﹣2＜p＜0
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③a﹣b+c＜0；④2a+b＜0；其中正确的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
12．在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，4）、B（2，4），若二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象与线段AB只有一个交点，则（　　）
A．a的值可以是
B．a的值可以是
C．a的值不可能是﹣1.2
D．a的值不可能是1
二、填空题
13．把抛物线y＝（x﹣2a）2﹣（x﹣2a）（其中a是常数）向上平移，使平移后的抛物线与直线y＝1只有一个公共点，则需平移　
　个单位．
14．已知自变量为x的二次函数y＝（ax+b）（x+）经过（m，3）、（m+4，3）两点，若方程（ax+b）（x+）＝0的一个根为x＝5，则其另一个根为　
　．
15．若点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是　
　（y1＞y2、y1＝y2或y1＜y2）．
16．将抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线y＝x2+4x﹣1，则a+b+c＝　
　．
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是　
　．
18．已知点（﹣1，y1），（0，y2），（4，y3）都在抛物线y＝ax2﹣2ax+5（a＞0）上，则y1，y2，y3的大小关系　
　．（用“＜”连接）
19．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2与y轴的交点坐标是　
　．
20．若a，b两数中较大的数记作D{a，b}，直线y＝kx+（k＞0）与函数y＝D{x2﹣1，x+1}的图象有且只有2个交点，则k的取值为　
　．
21．已知二次函数y＝﹣2（x+3）2﹣1，当x＝m和x＝n时函数y的值相等，则当x＝m+n时，函数y的值是　
　．
三、解答题
22．在平面直角坐标系内，二次函数y1＝ax2+（2﹣a）x+1与一次函数y2＝﹣ax+b﹣1（a，b为常数，且a≠0）．
（1）若y1，y2的图象都经过点（2，3），求y1，y2的表达式；
（2）当y2经过点A（1，3），B（m，3a+3）时，y1也过A，B两点：
①求m的值；
②（x0，y1），（x0，y2）分别在y1，y2的图象上，实数t使得“当x0＜﹣t+3或x0＞2t﹣3时，y1＞y2”，试求t的最小值．
23．已知抛物线y＝x2+bx+1经过点（3，﹣2），
（1）求b的值；
（2）求将抛物线向左平移3个单位后的抛物线解析式．
24．已知点（2，8）在函数y＝ax2+b的图象上，当x＝﹣1时，y＝5．
（1）求a，b的值．
（2）如果点（12，m），（n，17）也在这个函数的图象上，求m与n的值．
25．在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝k（x﹣a）（x﹣b），其中a≠b．
（1）若此二次函数图象经过点（0，k），试求a，b满足的关系式．
（2）若此二次函数和函数y＝x2﹣2x的图象关于直线x＝2对称，求该函数的表达式．
（3）若a+b＝4，且当0≤x≤3时，有1≤y≤4，求a的值．
26．已知抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），求a，b的值．
27．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）．
（1）求a的值．
（2）若点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．
28．已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．
29．已知抛物线y＝x2﹣4x+c，经过点（0，9）．
（1）求c的值；
（2）若点A（3，y1）、B（4，y2）在该抛物线上，试比较y1、y2的大小．
30．如果抛物线y＝ax2+bx+c，过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线．
（1）请你写出一条定点抛物线的一个解析式为　
　．
（2）已知定点抛物线y＝﹣x2+2bx+c+1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式．
31．我们定义：如果二次项系数为1的二次函数y＝x2+px+q中（p，q）为此函数的特征数．如函数y＝x2+2x+3的特征数为（2，3）．请结合上面的定义完成下列问题：
（1）若一个函数的特征数为（﹣2，1），求此函数图象的顶点坐标；
（2）若一个函数的特征数为（4，﹣1），将此函数先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数；
（3）若一个函数的特征数为（2，3），问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为（3，4）？
32．（1）请在坐标系中画出二次函数y＝﹣x2+2x的大致图象；
（2）在同一个坐标系中画出y＝﹣x2+2x的图象向上平移两个单位后的大致图象．
参考答案
1．解：∵y＝（x+1）2+k，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线开口向上，而点C（3，c）到对称轴的距离最远，B（﹣1，b）是顶点，
∴b＜a＜c．
故选：C．
2．解：抛物线y＝x2﹣6x+21＝（x﹣6）2+3，它的顶点坐标是（6，3）．
将其向左平移2个单位，再向上平移2个单位后，得到新抛物线的顶点坐标是（4，5），
所以新抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2+5．
故选：B．
3．解：∵当x＝1与x＝7时函数值相等，
∴x＝0与x＝8的函数值相等，
∵当x＝0时，y＝5，
∴当x＝8时，y＝5，
故选：A．
4．解：y＝（x+5）（x﹣3）＝（x+1）2﹣16，顶点坐标是（﹣1，﹣16）．
y＝（x+3）（x﹣5）＝（x﹣1）2﹣16，顶点坐标是（1，﹣16）．
所以将抛物线y＝（x+5）（x﹣3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），
故选：B．
5．解：对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∵a＝2＞0，
∴x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
x＞﹣1时，y随x的增大而增大，
∵点A（﹣2，y1）的对称点为（0，y1），
∴y1＜y2＜y3．
故选：A．
6．解：由y＝ax2+bx+c的图象可得：
开口向下，故a＜0；
与y轴的交点在（0，1）的上方，故c＞1；
对称轴在y轴右侧，且a＜0故b＞0；
由图象可知当x＝1时，y＝a+b+c＞1
∴a+2b+c＝a+b+c+b＞1；
∵对称轴x＝﹣＞1，
∴b＞﹣2a，
∴2a+b＞0，
∴2a+b+c＞0+c＞1；
3a+2b+c＝（2a+b）+（a+）++c＞0++0+c＞c＞1；
综上所述，值一定大于1的个数是4个．
故选：D．
7．解：∵直线y＝2x方向向右上方平移个单位，
∴横坐标平移2个单位和纵坐标都平移4个单位，
∵函数y＝2x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，3），
∴y＝2（x﹣2）2+3．
故选：D．
8．解：把y＝2x代入y＝x2﹣c，
整理得x2﹣2x﹣c＝0，
根据题意△＝（﹣2）2+4c＝0，解得c＝﹣1，
把x＝﹣1代入y＝2x与y＝x2﹣c得，c＝3，
把x＝2代入y＝2x与y＝x2﹣c得，c＝0，
由图象可知当0＜c≤3或c＝﹣1时，函数y＝2x与y＝x2﹣c（c为常数，﹣1≤x≤2）的图象有且仅有一个公共点，
故选：A．
9．解：A、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴二次函数的图象开口应该向下，故A选项不合题意；
B、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，，∴二次函数的图象开口向下，且对称轴在x轴的正半轴，故B选项不合题意；
C、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y＝﹣4k＞0，故C选项符合题意；
D、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y＝﹣4k＞0，故D选项不合题意；
故选：C．
10．解：经过点（1，0）和（0，﹣4）的直线解析式为y＝4x﹣4，
当x＝﹣1时，y＝4x﹣4＝﹣8，
而x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c＝a﹣b+c，
∴﹣8＜a﹣b+c＜0，即﹣8＜P＜0，
故选：B．
11．解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，c＞0，﹣＞0，b＞0，则abc＜0，故错误．
②图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故正确．
③如图所示，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故正确．
④对称轴x＝﹣＜1，又a＜0，则2a+b＜0，故正确．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．
12．解：当顶点在线段AB上时，即x＝1，y＝4，所以a﹣2a﹣3a＝4，解得a＝﹣1；
把B（2，4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得4a﹣4a﹣3a＝4，解得a＝﹣，则当抛物线与线段AB只有一个交点时，a＜﹣；
把A（﹣2，4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得4a+4a﹣3a＝4，解得a＝，则当抛物线与线段AB只有一个交点时，a≥．
故选：C．
13．解：设抛物线y＝（x﹣2a）2﹣（x﹣2a）（其中a是常数）向上平移b个单位，
∵y＝（x﹣2a）2﹣（x﹣2a）＝（x﹣2a﹣）2﹣．
∴把抛物线y＝（x﹣2a）2﹣（x﹣2a）（其中a是常数）向上平移b个单位后抛物线解析式为：y＝（x﹣2a﹣）2﹣+b．
依题意得：（x﹣2a﹣）2﹣+b＝1，即x2﹣（4a+1）x+4a2+2a+b﹣1＝0，
∴△＝[﹣（4a+1）]2﹣4（4a2+2a+b﹣1）＝0．
解得b＝．
故答案是：．
14．解：∵二次函数y＝（ax+b）（x+），
∴当x＝0时，y＝3，
∴二次函数y＝（ax+b）（x+）必经过定点（0，3），
∴二次函数y＝（ax+b）（x+）经过（0，3）、（4，3）两点或经过（﹣4，3）（0，3）两点，
∴对称轴为：x＝＝2或x＝＝﹣2
∵方程（ax+b）（x+）＝0的一个根为x＝5，
∴另一个根为﹣1或﹣9
∴故答案为﹣1或﹣9．
15．解：∵点A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函数y＝﹣2（x﹣1）2+3图象上的两点，
∴y1＝﹣29，y2＝1．
∵﹣29＜1，
∴y1＜y2．
故答案为：y1＜y2．
16．解：平移后的抛物线y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，顶点为（﹣2，﹣5），
根据平移规律，得原抛物线顶点坐标为（0，0），
又平移不改变二次项系数，
∴原抛物线解析式为y＝x2，
∴a＝1，b＝c＝0，
∴a+b+c＝1，
故答案为1．
17．解：由函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，
则①当x＝1时，y＝a+b+c＜0，正确；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，正确；
③abc＞0，正确；
④对称轴x＝﹣1，则x＝﹣2和x＝0时取值相同，则4a﹣2b+c＝1＞0，错误；
⑤对称轴x＝＝﹣1，b＝2a，又x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，代入b＝2a，则c﹣a＞1，正确．
故所有正确结论的序号是①②③⑤．
18．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+5＝a（x﹣1）2﹣a+5（a＞0），
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵点（﹣1，y1），（0，y2），（4，y3）都在抛物线y＝ax2﹣2ax+5（a＞0）上，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：y2＜y1＜y3．
19．解：将x＝0代入y＝（x﹣1）2﹣2，得y＝﹣1，
所以抛物线与y轴的交点坐标是（0，﹣1）．
故答案为：（0，﹣1）．
20．解：函数y＝D{x2﹣1，x+1}的图象如下图：
点A坐标由y＝x2﹣1，和y＝x+1联立求得：A（2，3），
y＝kx+与函数y＝D{x2﹣1，x+1}的图象有且只有2个交点的临界点在A点和B点（﹣1，0），
将A点坐标代入y＝kx+，解得：k＝，
把将B点坐标代入y＝kx+，解得：k＝，
即：k＞或0＜k．
21．解：∵当x＝m和x＝n时函数y的值相等，
而抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∴m﹣（﹣3）＝﹣3﹣n，
∴m+n＝﹣6，
当x＝m+n时，y＝﹣2（﹣6+3）2﹣1＝﹣19．
故答案为﹣19．
22．解：（1）点（2，3）分别代入y1＝ax2+（2﹣a）x+1与一次函数y2＝﹣ax+b﹣1，
得到：a＝﹣1，b＝2，
∴y1＝﹣x2+3x+1，y2＝x+1，
（2）①将点A（1，3），B（m，3a+3）代入y2＝﹣ax+b﹣1，
∴，
∴m＝﹣2，b﹣a＝4，
②将点A（1，3），B（m，3a+3）代入y1＝ax2+（2﹣a）x+1，
∴，
∴a＝2，
∴b＝6，
∴y1＝2x2+1，y2＝﹣2x+5，
∵（x0，y1），（x0，y2）分别在y1，y2的图象上，
∴y1＝2x02+1，y2＝﹣2x0+5，
∵y1＞y2，
∴2x02+1＞﹣2x0+5，
∴（x0﹣1）（x0+2）＞0，
∴x0＞1或x0＜﹣2；
∵当x0＜﹣t+3或x0＞2t﹣3时，y1＞y2，
∴﹣t+3≤﹣2或2t﹣3≥1，
∴t≥5，
∵﹣t+3＜2t﹣3，
∴t＞2，
∴t的最小值是5；
23．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+1经过点（3，﹣2），
∴﹣2＝9+3b+1，
解得：b＝﹣4；
（2）y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
将抛物线向左平移3个单位后的抛物线解析式为：y＝（x+1）2﹣3．
24．解（1）由题意可知：，解得．
（2）将（12，m），（n，17）代入y＝x2+4，得：m＝144+4，17＝n2+4，
解得m＝148，n＝±．
25．解：（1）将（0，k）代入y＝k（x﹣a）（x﹣b），得kab＝k．
∵k≠0，
∴ab＝1；
（2）由（1）知，k＝1．
函数与x轴的交点坐标为（2，0），（4，0）．
∴该函数解析式为：y＝（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8；
（3）∵a+b＝4，
∴函数表达式变形为y＝k（x﹣a）（x+a﹣4）．
①当k＞0时，则根据题意可得：当x＝2，y＝1；
当x＝0时，y＝4，
∴
消去k，整理，得
3a2﹣12a+16＝0．
∵△＝144﹣12×16＝﹣48＜0，
∴该方程无解，即没有符合题意的a的值；
②当k＜0时，则根据题意可得：当x＝2，y＝4；
当x＝0时，y＝1，
∴
消去k，整理，得
3a2﹣12a﹣4＝0．
解得a＝．
综上所述，a的值是或．
26．解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1，0），（3，0），
∴，
解得，
，
即a的值是1，b的值是﹣2．
27．解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），
∴﹣2＝a（1﹣3）2+2，
∴a＝﹣1；
（2）∵y＝﹣（x﹣3）2+2，
∴此函数的图象开口向下，当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小，
∵点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，
∴y1＜y2．
28．解：（1）由题可得
解得
所以此抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设沿y轴平移m个单位，
则此抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3+m
由题意可知
1＝﹣4﹣4+3+m
解得m＝6＞0，
所以抛物线向上平移了6个单位长度．
29．解：（1）当x＝0时，y＝c＝9，
∴c的值为9．
（2）由（1）可知抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+9．
当x＝3时，y1＝9﹣4×3+9＝6；
当x＝4时，y2＝16﹣4×4+9＝9．
∵6＜9，
∴y1＜y2．
30．解：（1）依题意，选择点（1，1）作为抛物线的顶点，二次项系数是1，
根据顶点式得：y＝x2﹣2x+2；
故答案为y＝x2﹣2x+2；
（2）∵定点抛物线的顶点坐标为（b，c+b2+1），且﹣1+2b+c+1＝1，
∴c＝1﹣2b，
∵顶点纵坐标c+b2+1＝2﹣2b+b2＝（b﹣1）2+1，
∴当b＝1时，c+b2+1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x．
31．解：（1）一个函数的特征数为（﹣2，1），得
y＝x2﹣2x+1，
配方得
y＝（x﹣1）2，顶点坐标为（1，0）；
（2）由一个函数的特征数为（4，﹣1），得
y＝x2+4x﹣1，
此函数先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得
y＝（x﹣1）2+4（x﹣1）﹣1+1
化简，得
y＝x2+2x﹣3，
y＝x2+2x﹣3的图象对应的函数的特征数（2，﹣3）；
（3）一个函数的特征数为（2，3），得
y＝x2+2x+3，
y＝x2+2x+3经过平移向右平移a个单位再向上平移b个单位得y＝x2+3x+4，
（x﹣a）2+2（x﹣a）+3+b＝x2+3x+4．
x2+）（2﹣2a）x+（a2﹣2a+3+b）＝x2+3x+4，
，
解得．
y＝x2+2x+3向左平移个单位，再向下平移个单位得到的图象对应的函数的特征数为（3，4）．
32．解：（1）y＝﹣（x﹣1）2+1，如图，
当x＝0时，y＝0；当y＝0，﹣x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，
即抛物线与y轴的交点坐标为（0，0），与x轴的另一交点坐标为（2，0）．
（2）如图，