《1.3二次函数的性质》同步能力提升训练（Word版 附答案）2021-2022学年九年级数学浙教版上册

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《1.3二次函数的性质》同步能力提升训练（附答案）
1．抛物线y＝（x+3）2﹣5的顶点为（　　）
A．（3，﹣5）
B．（﹣3，5）
C．（﹣3，﹣5）
D．（3，5）
2．对二次函数y＝x2+2x+3的性质描述正确的是（　　）
A．该函数图象的对称轴在y轴左侧
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．函数图象开口朝下
D．该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴
3．二次函数y＝（x﹣1）2+2的最小值是（　　）
A．﹣2
B．﹣1
C．1
D．2
4．抛物线y＝2x2+c的顶点坐标为（0，1），则抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2x2+1
B．y＝2x2﹣1
C．y＝2x2+2
D．y＝2x2﹣2
5．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值4，有最小值0
B．有最大值0，有最小值﹣4
C．有最大值4，有最小值﹣4
D．有最大值5，有最小值﹣4
6．已知实数x，y满足x﹣y+m＝0，xy﹣2m+3＝0，若a＝（x+y）2，则下列说法中正确的是（　　）
A．a只有最大值没有最小值
B．a只有最小值没有最大值
C．a既有最大值又有最小值
D．a既没最大值也没最小值
7．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．顶点坐标是（1，2）
C．对称轴是直线x＝﹣1
D．有最大值是2
8．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在反比例函数的图象上，点N在直线y＝x+4上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y＝﹣abx2+（a+b）x有（　　）
A．最小值为2
B．最大值为2
C．最小值为﹣2
D．最大值为﹣2
9．抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点（2，﹣3），则c的值为（　　）
A．﹣1
B．2
C．﹣3
D．﹣2
10．将二次函数y＝x2+4x﹣1用配方法化成y＝（x﹣h）2+k的形式，下列所配方的结果中正确的是（　　）
A．y＝（x﹣2）2+5
B．y＝（x+2）2﹣5
C．y＝（x﹣4）2﹣1
D．y＝（x+4）2﹣5
11．抛物线y＝2（x+3）2﹣3的开口方向为向　
　．
12．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是　
　．
13．二次函数y＝﹣（x﹣3）2+6的最大值是　
　．
14．请写出一个开口向下，且图象经过坐标原点的二次函数的表达式　
　．
15．小明在研究抛物线y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1
（h为常数）时，得到如下结论：
①无论x取何实数，y的值都小于0；
②该抛物线的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；
③当x＜2时，y随x的增大而增大，则h＜2；
④该抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＞2h，则y1＞y2．其中一定正确的是　
　（填序号即可）．
16．当﹣7≤x≤a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，则a＝　
　．
17．已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y＝﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的解析式是　
　．
18．抛物线y＝2x2+4mx+m﹣5的对称轴为直线x＝2，求m的值及抛物线的顶点坐标．
19．已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c和一次函数g（x）＝﹣bx，其中a、b、c，满足a＞b＞c，a+b+c＝0．
（1）求证：这两个函数的图象交于不同的两点；
（2）设这两个函数的图象交于A，B两点，作AA1⊥x轴于A1，BB1⊥x轴于B1，求线段A1B1的长的取值范围．
20．已知二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，记y1、y2的最小值分别为m、n．
（1）若m+n＝0，求证：对任意的实数x，都有y1+y2≥0；
（2）若m，n均大于0，且mn＝2，记M为m，n中的最大者，求M的最小值．
参考答案
1．解：∵y＝（x+3）2﹣5，
∴其顶点坐标为（﹣3，﹣5），
故选：C．
2．解：A、y＝x2+2x+3对称轴为x＝﹣2，在y轴左侧，故A符合题意；
B、因y＝x2+2x+3对称轴为x＝﹣2，x＜﹣2时y随x的增大而减小，故B不符合题意；
C、a＝＞0，开口向上，故C不符合题意；
D、x＝0是y＝3，即与y轴交点为（0，3）在y轴正半轴，故D不符合题意；
故选：A．
3．解：∵y＝（x﹣1）2+2，
∴当x＝1时，函数有最小值2．
故选：D．
4．解：∵抛物线y＝2x2+c的顶点坐标为（0，1），
∴c＝1，
∴抛物线的解析式为y＝2x2+1，
故选：A．
5．解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，
∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，
故选：D．
6．解：由题意可知x﹣y＝﹣m，xy＝2m﹣3，
∴a＝（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝（﹣m）2+4（2m﹣3）＝（m+4）2﹣28，
由x﹣y+m＝0，得y＝x+m．
代入xy﹣2m+3＝0，
∴x（x+m）﹣2m+3＝0，
∴x2+mx﹣2m+3＝0，
△＝m2﹣4（﹣2m+3）≥0，
∴m2+8m﹣12≥0，
∴（m+4）2﹣28≥0，
∴a≥0．
故选：B．
7．解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2），函数有最小值2．
故选：B．
8．解：∵M，N两点关于y轴对称，
∴设点M的坐标为（a，b），则N点的坐标为（﹣a，b），
又∵点M在反比例函数
的图象上，点N在一次函数y＝x+4的图象上，
∴，整理得
，
故二次函数y＝﹣abx2+（a+b）x为y＝﹣2x2+4x，
∴二次项系数为﹣2＜0，故函数有最大值，最大值为y＝＝2．
故选：B．
9．解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点（2，﹣3），
∴2×22﹣4×2+c＝﹣3，
解得c＝﹣3，
故选：C．
10．解：y＝x2+4x﹣1＝x2+4x+4﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5，
故选：B．
11．解：∵抛物线y＝2（x+3）2﹣3，a＝2＞0，
∴该抛物线的开口方向为向上，
故答案为：上．
12．解：y＝﹣（x+2）2﹣3是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
13．解：∵a＝﹣1＜0，
∴y有最大值，
由题意得：当x＝3时，y有最大值为6，
故答案是：6．
14．解：∵顶点在坐标原点，
∴可设抛物线解析式为y＝ax2，
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∴可取a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2，
故答案为：y＝﹣x2．
15．解：①∵y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1，
∴当h＜0时，函数的最大值为y＝﹣h+1＞0，故①错误；
②∵抛物线y＝﹣（x﹣h）2﹣h+1的顶点为（h，﹣h+1），
∴抛物线的顶点始终在直线y＝﹣x+1上，故②正确；
③∵抛物线开口向下，当x＜2时，y随x的增大而增大，
∴h≥2，故③错误；
④∵抛物线上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2，x1+x2＞2h，
∴＞h，
∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，
∴y1＞y2，故④正确，
故答案为：②④
16．解：∵y＝﹣（x+3）2+5，
∴该抛物线的开口方向向下，且顶点坐标是（﹣3，5）．
∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝a时，二次函数y＝﹣（x+3）2+5恰好有最大值3，
把y＝3代入函数解析式得到
3＝﹣（x+3）2+5，
解得
x1＝﹣5，x2＝﹣1．
∴a＝﹣5．
故答案是：﹣5．
17．解：抛物线过A（0，3），B（2，3），则函数的对称轴为：x＝1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+k，
将点A的坐标代入上式并解得：k＝4，
故抛物线的解析式是y＝﹣x2+2x+3；
故答案为：y＝﹣x2+2x+3．
18．解：∵y＝2x2+4mx+m﹣5的对称轴为直线x＝2，
∴＝2，
解得，m＝﹣2，
∴y＝2x2﹣8x﹣7＝2（x﹣2）2﹣15，
∴此抛物线的顶点坐标为（2，﹣15），
即m的值是﹣2，抛物线的顶点坐标是（2，﹣15）．
19．解：（1）联立方程得：ax2+2bx+c＝0，
△＝4（a2+ac+c2）＝4[（a+c）2﹣ac]，
∵a＞b＞c，a+b+c＝0，
∴a＞0，c＜0，
∴△＞0，
∴两函数的图象相交于不同的两点；
（2）设方程的两根为x1，x2，则
|A1B1|2＝（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，
＝（﹣）2﹣＝＝，
＝4[（）2++1]，
＝4[（+）2+]，
∵a＞b＞c，a+b+c＝0，
∴a＞﹣（a+c）＞c，a＞0，
∴﹣2＜＜﹣，
此时3＜A1B12＜12，
∴＜|A1B1|＜2．
20．解：（1）∵二次函数y1＝ax2+4x+b与y2＝bx2+4x+a都有最小值，y1、y2的最小值分别为m、n，
∴y1+y2≥m+n，
∵m+n＝0，
∴y1+y2≥0；
（2））∵y1＝ax2+4x+b＝a（x+）2+，
∴m＝，
∵y2＝bx2+4x+a＝b（x+）2+，
∴n＝，
∵mn＝2，m，n均大于0，
∴?＝2，
解得，ab＝2（舍去）或ab＝8，
∴，
∴m＝，n＝，
∵M为m，n中的最大者，
∴当0＜a＜2时，M＝＞，
当a＝2时，M＝，
当a＞2时，M＝
由上可得，M的最小值是．