《1.2 二次函数的图象》课时同步练习2020-2021学年数学浙教版九年级上册（Word版 含答案）

《1.2
二次函数的图象》课时同步练习2020-2021年数学浙教新版九（上）
一．选择题（共8小题）
1．二次函数y＝a（x+m）2+k的图象如图所示，下列四个选项中，正确的是（　　）
A．m＜0，k＜0
B．m＜0，k＞0
C．m＞0，k＜0
D．m＞0，k＞0
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的（　　）
A．a＞0，b＞0，c＞0
B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0
D．a＜0，b＜0，c＞0
3．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，那么下列说法中不正确的是（　　）
A．ac＜0
B．抛物线的对称轴为直线x＝1
C．a﹣b+c＝0
D．点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，则y1＞y2
4．将抛物线y＝2x2向右平移3个单位，能得到的抛物线是（　　）
A．y＝2x2+3
B．y＝2x2﹣3
C．y＝2（x+3）2
D．y＝2（x﹣3）2
5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（　　）
A．ac＞0
B．b＞0
C．a+c＜0
D．a+b+c＝0
6．如果将抛物线y＝x2﹣2平移，使平移后的抛物线与抛物线y＝x2﹣8x+9重合，那么它平移的过程可以是（　　）
A．向右平移4个单位，向上平移11个单位
B．向左平移4个单位，向上平移11个单位
C．向左平移4个单位，向上平移5个单位
D．向右平移4个单位，向下平移5个单位
7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③⑤
B．①③④
C．①②③④
D．①②③④⑤
8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点
那么下列关于此抛物线的说法：①抛物线的对称轴是直线x＝1；②a＞0；③b＞0；
④c＜0中，正确的个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题（共6小题）
9．将抛物线y＝x2+2x向下平移1个单位，那么所得抛物线与y轴的交点的坐标为　
　．
10．如果抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，那么2a+b　
　0．（从＜，＝，＞中选择）
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝　
　．
12．已知点A（1，y1）、点B（2，y2）在抛物线y＝ax2﹣2上，且y1＜y2，那么a的取值范围是　
　．
13．已知点A（﹣3，y1）和点B（﹣，y2）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0）的图象上，那么y1﹣y2　
　0（结果用＞，＜，＝表示）．
14．如果抛物线y＝ax2+bx+c在对称轴左侧呈上升趋势，那么a的取值范围是　
　．
三．解答题（共8小题）
15．已知抛物线y＝x2+2x+m﹣3的顶点在第二象限，求m的取值范围．
16．将二次函数y＝x2+2x+3的图象向右平移3个单位，求所得图象的函数解析式；请结合以上两个函数图象，指出当自变量x在什么取值范围内时，上述两个函数中恰好其中一个的函数图象是上升的，而另一个的函数图象是下降的．
17．将抛物线y＝2x2先向下平移3个单位，再向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（1，5），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．
18．将抛物线y＝先向上平移2个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线经过点（﹣1，4），求新抛物线的表达式及新抛物线与y轴交点的坐标．
19．在平面直角坐标系xOy中，将点P1（a，b﹣a）定义为点P（a，b）的“关联点”．
已知：点A（x，y）在函数y＝x2的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点A1．
（1）请在如图的基础上画出函数y＝x2﹣2的图象，简要说明画图方法；
（2）如果点A1在函数y＝x2﹣2的图象上，求点A1的坐标；
（3）将点P2（a，b﹣na）称为点P（a，b）的“待定关联点”（其中，n≠0）．如果点A（x，y）的“待定关联点”A2在函数y＝x2﹣n的图象上，试用含n的代数式表示点A2的坐标．
20．已知点A（2，﹣2）和点B（﹣4，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上．
（1）求a的值及点B的坐标；
（2）点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形，求点P的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2（a≠0）向右并向下平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形ABB′A′为正方形，求此时抛物线的表达式．
21．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A．将点B向右平移5个单位长度，得到点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的对称轴；
（3）若抛物线的顶点在△OBC的内部，求a的取值范围．
22．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y＝a（x﹣3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．
（1）求平移后抛物线的解析式；
（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．解：∵二次函数y＝a（x+m）2+k
∴顶点为（﹣m，k），
∵顶点在第四象限，
∴﹣m＞0，k＜0，
∴m＜0，k＜0，
故选：A．
2．解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交在正半轴，因此c＞0，
故选：C．
3．解：A、∵抛物线开口向上，交y轴的负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∴ac＜0，故A正确；
B、∵抛物线经过点（﹣1，0）和点（2，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，故B不正确；
C、当x＝1时，y＝a﹣b+c＝0，故C正确；
D、点（﹣2，y1）和（2，y2）在抛物线上，
∵y1＞0，y2＝0，
∴y1＞y2，故D正确；
故选：B．
4．解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝2x2向右平移3个单位，
能得到的抛物线是y＝2（x﹣3）2．
故选：D．
5．解：（A）由图象可知：a＜0，c＞0，
∴ac＜0，故A错误；
（B）由对称轴可知：x＝＜0，
∴b＜0，故B错误；
（C）由对称轴可知：x＝＝﹣1，
∴b＝2a，
∵x＝1时，y＝0，
∴a+b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴a+c＝a﹣3a＝﹣2a＞0，故C错误；
故选：D．
6．解：∵抛物线y＝x2﹣8x+9＝（x﹣4）2﹣7的顶点坐标为（4，﹣7），抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），
∴顶点由（0，﹣2）到（4，﹣7）需要向右平移4个单位再向下平移5个单位．
故选：D．
7．解：由图象可得：a＜0，b＜0，c＝1＞0，对称轴x＝﹣1，
①x＝1时，a+b+c＜0，正确；
②x＝﹣1时，a﹣b+c＞1，正确；
③abc＞0，正确；
④4a﹣2b+c＜0，错误，x＝﹣2时，4a﹣2b+c＞0；
⑤x＝﹣1时，a﹣b+c＞1，又﹣＝﹣1，b＝2a，c﹣a＞1，正确．
故选：A．
8．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，
∴该函数的对称轴是直线x＝＝1，故①正确，
由函数图象，可得
a＞0，b＜0，c＜0，
故②④正确，③错误，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
9．解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1的图象向下平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y＝x2+2x＝（x+1）2﹣2，
令x＝0，则y＝﹣1．
所以所得抛物线与y轴的交点的坐标为（0，﹣1）．
故答案是：（0，﹣1）．
10．解∵对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，
故答案为＝．
11．解：∵等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，
∴A（4，0），B（2，﹣2），
抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，
∵平移后恰好能同时经过O、A、B三点，
∴，
解得，
∴a+b+c＝﹣2+4＝，
故答案为．
12．解：由已知抛物线为y＝ax2﹣2，
∴对称轴为x＝0，
∵x1＜x2，
要使y1＜y2，则在x＞0时，y随x的增大而增大，
∴a＞0，
故a的取值范围是：a＞0．
13．解：∵点A（﹣3，y1）和点B（﹣，y2）都在二次函数y＝ax2﹣2ax+m（a＞0）的图象上，
∴y1＝9a+6a+m＝15a+m，y2＝a+a+m＝a+m，
∴y1﹣y2＝15a+m﹣a﹣m＝a，
∵a＞0，
∴a＞0，
∴y1﹣y2＞0．
故答案为：＞．
14．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c在对称轴左侧呈上升趋势，
∴抛物线开口向下，
∴a＜0，
故答案为a＜0．
三．解答题（共8小题）
15．解：∵y＝x2+2x+m﹣3＝（x+1）2+m﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，m﹣4），
∵抛物线y＝x2+2x+m﹣3顶点在第二象限，
∴m﹣4＞0，
∴m＞4．
故m的取值范围为m＞4．
16．解：∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，
∴将二次函数y＝x2+2x+3的图象向右平移3个单位，得到函数y＝（x+1﹣3）2+2，即y＝（x﹣2）2+2，
∵二次函数y＝（x+1）2+2的图象在x＞﹣1时，y随x的增大而增大，二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象在x＜2时，y随x的增大而减小，
∴当﹣1＜x＜2时，两个函数中恰好其中一个的函数图象是上升的，而另一个的函数图象是下降的．
17．解：（1）∵平移后，设新抛物线的表达式为y＝2（x﹣m）2﹣3，
∴新抛物线经过点（1，5），
∴将x＝1，y＝5代入：2（1﹣m）2﹣3＝5，
∴（1﹣m）2＝4，
∴1﹣m＝±2，
∴m1＝﹣1，m2＝3．
∵m＞0，
∴m＝﹣1（舍去），得到m＝3．
∴新抛物线的表达式为y＝2（x﹣3）2﹣3．
（2）∵与y轴的交点坐标，
∴设交点为（0，y），
∴将x＝0代入到新抛物线中，得到：y＝15，
∴与y轴的交点坐标为（0，15）．
18．解：由题意可得：y＝（x+m）2+2，代入（﹣1，4），
解得：m1＝3，m2＝﹣1（舍去），
故新抛物线的解析式为：y＝（x+3）2+2，
当x＝0时，y＝，即与y轴交点坐标为：（0，）．
19．解：（1）将图中的抛物线y＝x2向下平移2个单位长，可得抛物线y＝x2﹣2，
如图：
（2）由题意，得点A（x，y）的“关联点”为A1（x，y﹣x），
由点A（x，y）在抛物线y＝x2上，可得A（x，x2），
∴，
又∵A1（x，y﹣x）在抛物线y＝x2﹣2上，
∴x2﹣x＝x2﹣2，
解得x＝2．
将x＝2代入，得A1（2，2）；
（3）点A（x，y）的“待定关联点”为，
∵在抛物线y＝x2﹣n的图象上，
∴x2﹣nx＝x2﹣n，
∴n﹣nx＝0，n（1﹣x）＝0．又∵n≠0，∴x＝1，
当x＝1时，x2﹣nx＝1﹣n，
故可得A2（1，1﹣n）．
20．解：（1）把点A（2，﹣2）代入y＝ax2，得到a＝﹣，
∴抛物线为y＝﹣x2，
∴x＝﹣4时，y＝﹣8，
∴点B坐标（﹣4，﹣8），
∴a＝﹣，点B坐标（﹣4，﹣8）．
（2）设直线AB为y＝kx+b，则有，解得，
∴直线AB为y＝x﹣4，
∴过点B垂直AB的直线为y＝﹣x﹣12，与y轴交于点P（0，﹣12），
过点A垂直AB的直线为y＝﹣x，与y轴交于点P′（0，0），
∴点P在y轴上，且△ABP是以AB为直角边的三角形时．点P坐标为（0，0），或（0，﹣12）．
解法二：利用直线与坐标轴的夹角为特殊角45°构建等腰直角三角形来求解坐标即可．
（3）如图四边形ABB′A′是正方形，过点A作y轴的垂线，过点B、点A′作x轴的垂线得到点E、F．
∵直线AB解析式为y＝﹣x﹣12，∴△ABF，△AA′E都是等腰直角三角形，
∵AB＝AA′＝＝6，
∴AE＝A′E＝6，
∴点A′坐标为（8，﹣8），
∴点A到点A′是向右平移6个单位，向下平移6个单位得到，
∴抛物线y＝﹣x2的顶点（0，0），向右平移6个单位，向下平移6个单位得到（6，﹣6），
∴此时抛物线为y＝﹣（x﹣6）2﹣6．
21．解：（1）在y＝3x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（0，3），
∵点B向右平移5个单位长度，得到点C．
∴C（5，3）；
（2）∵A（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣5a经过点A，
∴0＝a﹣b﹣5a，即b＝﹣4a，
∴抛物线y＝ax2+bx﹣5a对称轴为x＝＝﹣＝2；
（3）对称轴x＝2与BC交于D，与OC交于E，如图：
设OC解析式为y＝kx，
∵（5，3），
∴3＝5k，
∴k＝，
∴OC解析式为y＝x，
令x＝2得y＝，即E（2，），
由（1）知b＝﹣4a，
∴抛物线为y＝ax2﹣4ax﹣5a，
∴顶点坐标为（2，﹣9a），
抛物线的顶点在△OBC的内部，则顶点在D和E之间，
而D（2，3），
∴＜﹣9a＜3，
∴﹣＜a＜﹣．
22．解：（1）把点A（2，1）代入y＝a（x﹣3）2﹣1，得
1＝a（2﹣3）2﹣1，
整理，得
1＝a﹣1，
解得
a＝2．
则平移后的抛物线解析式为：y＝2（x﹣3）2﹣1；
（2）由（1）知，平移后的抛物线解析式为：y＝2（x﹣3）2﹣1，则M（3，0）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y＝2（x﹣3）2﹣1，
∴平移前的抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣1．
∴P（1，﹣1）．
令x＝0，则y＝1．
故B（0，1），
∴BM＝
易推知BM2＝BP2+PM2，即△BPM为直角三角形，
∴S△BPM＝BP?MP＝××＝．