1.2二次函数的图象 同步优生辅导训练 2021-2022学年浙教版九年级数学上册（Word版 含答案）
文档属性
| 名称 | 1.2二次函数的图象 同步优生辅导训练 2021-2022学年浙教版九年级数学上册（Word版 含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 486.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-31 22:52:13 | ||
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文档简介
2021-2022学年浙教版九年级数学上册《1.2二次函数的图象》同步优生辅导训练（附答案）
一、选择题
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），过（1，y1）（2，y2）．
①若y1＞0时，则a+b+c＞0②若a＝b时，则y1＜y2
③若y1＜0，y2＞0，且a+b＜0，则a＞0
④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，则抛物线的顶点一定在第三象限
上述四个判断正确的有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．①②③
B．②④
C．②⑤
D．②③⑤
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P＝a﹣b+c，则P的取值范围是（ ）
A．﹣4＜P＜0
B．﹣4＜P＜﹣2
C．﹣2＜P＜0
D．﹣1＜P＜0
4．在平面直角坐标系中，对图形F给出如下定义：若图形F上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形ABCD的坐标角度是90°．现将二次函数y＝ax2（1≤a≤3）的图象在直线y＝1下方的部分沿直线y＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是（ ）
A．30°≤α≤60°
B．60°≤α≤90°
C．90°≤α≤120°
D．120°≤α≤150°
5．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：
①abc＜0；②4a+c＜2b；③＝1﹣；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝正确的是（ ）
A．①③⑤
B．①②③④⑤
C．①③④
D．①②③⑤
6．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．把抛物线y＝2（x+4）2﹣2绕原点旋转180°后所得的图象的关系式为（ ）
A．y＝2（x+4）2+2
B．y＝﹣2（x﹣4）2+2
C．y＝﹣2（x+4）2﹣2
D．y＝2（x﹣4）2﹣2
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的结论有（ ）
①abc＜0；②2a+b＝0；
③b2﹣4ac＜0；④9a+3b+c＞0；
⑤c+8a＜0．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1，其中正确的是（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．1个
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1．以下结论：
①2a＞﹣b；
②4a+2b+c＞0；
③m（am+b）＞a+b（m是大于1的实数）；
④3a+c＜0
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论①abc＜0，②a+b+c＝2，③a＞④0＜b＜1中正确的有（ ）
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点（1.0），对称轴l如图所示，若M＝a+b﹣c，N＝2a﹣b，P＝a+c，则M，N，P中，值小于0的数有（ ）个．
A．2
B．1
C．0
D．3
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为
．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3；②abc＞0；③a+b＝c﹣b；④yc；⑤a+4b＝3c中正确的有
（填写正确的序号）
15．如图，正方形OABC和矩形CDEF在平面直角坐标系中，CD＝2DE，点O、C、F在y轴上，点A在x轴上，O为坐标原点，点M为线段OC的中点，若抛物线y＝ax2+b经过M、B、E三点，则的值等于
．
16．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④＜a＜；⑤b＞c．其中正确结论有
（填写所有正确结论的序号）．
二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象，化简|b﹣a﹣c|﹣+|a﹣b|＝
．
18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：
①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个．那么，其中正确的结论是
．
三、解答题
19．已知函数y＝．
（1）|k|＝2，请画出符合条件的函数图象；
（2）k的值分别取k1，k2时，得到两个函数，，其中k1＜k2且k1+k2＝0，y2的图象是由y1的图象经过怎样的变换得到的；
（3）在（2）的条件下，请求出当y1＜y2时，x的取值范围．
20．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与y轴交于点A，并且经过点B（3，n）．
（1）求点B的坐标；
（2）如果抛物线y＝ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）与线段AB有唯一公共点，求a的取值范围．
21．在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象所在的位置如图所示：
（1）请根据图象信息求该二次函数的表达式；
（2）将该图象（x＞0）的部分，沿y轴翻折得到新的图象，请直接写出翻折后的二次函数表达式；
（3）在（2）的条件下与原有二次函数图象构成了新的图象，记为图象G，现有一次函数
y＝x+b的图象与图象G有4个交点，请画出图象G的示意图并求出b的取值范围．
22．小华在研究函数y1＝x与y2＝2x图象关系时发现：如图所示，当x＝1时，y1＝1，y2＝2；当x＝2时，y1＝2，y2＝4；…；当x＝a时，y1＝a，y2＝2a．他得出如果将函数y1＝x图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，就可以得到函数y2＝2x的图象．类比小华的研究方法，解决下列问题：
（1）如果函数y＝3x图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到的函数图象的表达式为
；
（2）①将函数y＝x2图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的
倍，得到函数y＝4x2的图象；
②将函数y＝x2图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到图象的函数表达式为
．
23．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，请分别判断其值的符号并说明理由．答：
．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D．
（1）求b、c的值；
（2）当t为何值时，点D落在抛物线上．
25．将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到如图抛物线y2的图象，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝
．
26．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA，OC分别在坐标轴上，OA＝2，OC＝1，以点A为顶点的抛物线经过点C
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）将矩形ABCO绕点A旋转，得到矩形AB′C′O′，使点C′落在x轴上，抛物线是否经过点C′？请说明理由．
27．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝a（x﹣）2+h分别与x轴、y轴交于点A（1，0）和点B（0，﹣2），将线段AB绕点A逆时针旋转90°至AP．
（1）求点P的坐标及抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C2，请你判断点P是否在抛物线C2上，并说明理由．
参考答案
1．解：①若y1＞0时，当x＝1时，y1＝a+b+c＞0此时，正确；
②若a＝b时，即函数的对称轴是直线x＝﹣，也确定不了y1、y2的大小，故y1＜y2，错误；
③若y1＜0，y2＞0，即：a+b+c＜0，4a+2b+c＞0，
解得：﹣3a﹣b＜0，而a+b＜0，即：﹣2a＜0，∴a＞0，正确；
④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，
即：a+b+c＞0，
把b、c的值代入上式得：a＞1，
则b＞1，c＞﹣2，
则抛物线对称轴为y轴左侧，开口向上，
Δ＝b2﹣4ac＝（2a﹣1）2﹣4ac＝8a+1＞9＞0，
故顶点一定在第三象限，正确；
故选：C．
2．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，所以⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：C．
3．解：∵把（1，0），（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：a+b+c＝0，﹣2＝c，
∴c＝﹣2，a+b＝2，
∴P＝a﹣b+c＝﹣4+2a＞﹣4，
∴P＝0﹣2b＜0，
即﹣4＜p＜0，
故选：A．
4．解：当a＝1时，如图1中，
∵角的两边分别过点A（﹣1，1），B（1，1），作BE⊥x轴于E，
∴BE＝OE，
∴∠BOE＝45°，
根据对称性可知∠AOB＝90°
∴此时坐标角度m＝90°；
当a＝3时，如图2中，
角的两边分别过点A（﹣，1），B（，1），作BE⊥x轴于E，
∴∠BOE＝60°，
根据对称性可知∠AOB＝60°
∴此时坐标角度α＝60°，
∴60°≤α≤90°；
故选：B．
5．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故②正确，
∵y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），
∴﹣1×m＝，am2+bm+c＝0，
∴++＝0，
∴＝1﹣，故③正确，
∵﹣1+m＝﹣，
∴﹣a+am＝﹣b，
∴am＝a﹣b，
∵am2+（2a+b）m+a+b+c
＝am2+bm+c+2am+a+b
＝2a﹣2b+a+b
＝3a﹣b＜0，故④正确，
∵m+1＝|﹣|，
∴m+1＝||，
∴|am+a|＝，故⑤正确，
故选：B．
6．解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，﹣＝1，c＞0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，结论①错误；
②抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，结论②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），
∴另一个交点坐标是（3，0），
∴当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，结论③错误；
④1﹣（﹣）＝，﹣1＝，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，
∴y1＝y2，结论④错误；
综上所述：正确的结论有②，1个，
故选：A．
7．解：由抛物线y＝2（x+4）2﹣2可知，抛物线的顶点坐标是（﹣4，﹣2），其关于原点对称的坐标为（4，2）
故绕原点旋转180°后得到的图象为：y＝﹣2（x﹣4）2+2，
故选：B．
8．解：∵图象的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，对称轴是直线x＝1，
∴a＜0，c＞0，﹣＝1，
即2a+b＝0，b＞0，
∴abc＜0，故①②正确；
∵抛物线的图象和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故③错误；
∵抛物线的图象的对称轴是直线x＝1，和x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），
∴另一个交点坐标是（3，0），
即当x＝3时，y＝a×32+b×3+c＝0，故④错误；
∵2a+b＝0，
即b＝﹣2a，代入解析式得：y＝ax2﹣2ax+c，
当x＝3时，y＝9a﹣6a+c＝3a+c＝0，
∵a＜0，
∴3a+c+5a＝8a+c＜0，故⑤正确；
即正确的有3个，
故选：C．
9．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故本选项正确；
②由对称轴可知：＜1，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，故本选项错误；
③当x＝1时，y1＝a+b+c；
当x＝m时，y2＝m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2与y1的大小无法确定；
故本选项错误；
④当x＝1时，a+b+c＝0；
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0；
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＝0，即（a+c）2﹣b2＝0，
∴（a+c）2＝b2
故本选项错误；
⑤当x＝﹣1时，a﹣b+c＝2；
当x＝1时，a+b+c＝0，
∴a+c＝1，
∴a＝1+（﹣c）＞1，即a＞1；
故本选项正确；
综上所述，正确的是①⑤．
故选：A．
10．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，所以①错误；
∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴抛物线与x轴的一个交点在（2，0）和（3，0）之间，
∴x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，所以②错误；
∵x＝1时，y有最小值a+b+c，
∴am2+bm+c＞a+b+c（m是大于1的实数），所以③正确；
∵x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，
把b＝﹣2a代入得3a+c＞0，所以④错误．
故选：A．
11．解：因为抛物线开口向上，可知a＞0，
对称轴在y轴的左侧，a、b同号．故b＞0，
抛物线与y轴的交点在负半轴，因此c＜0，
∴abc＜0，故①正确；
把（1，2）代入得a+b+c＝2，故②正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
又∵a+b+c＝2，
∴2b＞2，即：b＞1，因此④不正确，
因为对称轴x＝介在﹣1与0之间，因此＞﹣1，得2a＞b，而b＞1，∴a＞，因此③正确．
故选：B．
12．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点（1.0），
∴a+b+c＝0，
又∵抛物线与y轴交在y轴的正半轴，
∴c＞0
∴a+b﹣c＜0，故M＜0；
（2）抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴左侧，﹣1的右侧，
∴﹣＞﹣1，
∴2a﹣b＜0，故N＜0；
（3）抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴左侧，因此a、b同号，∴b＜0
∵a+b+c＝0，
∴a+c＞0，因此P＞0
综上所述：M＜0，N＜0，P＞0；
故选：A．
13．解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
则抛物线的顶点坐标为（1，2），
∴当点A在抛物线的顶点时，AC最小，最小值为2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴对角线BD的最小值为2，
故答案为：2．
14．解：①∵抛物线与x轴一个交点为（3，0），且对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），
即关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1，3，
选项①正确；
②∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴，
∴ab＜0，c＞0，即abc＜0，
选项②错误；
③由对称轴是：x＝1＝﹣，得b＝﹣2a，
∴a+b＝a﹣2a＝﹣a，
∵抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c﹣b＝﹣a，
∴a+b＝c﹣b，
选项③正确；
④由a﹣b+c＝0和b＝﹣2a得：a＝﹣c，
∴y最大值＝＝c﹣＝c﹣＝c﹣（﹣c）＝，
选项④正确；
⑤∵a+4b＝a﹣8a＝﹣7a＝﹣7×＝，
选项⑤错误；
综上所述，本题正确的结论有：①③④；
故答案为：①③④．
15．解：设正方形OABC的边长为m，DE＝n，CD＝EF＝2n，
∵点M为OC的中点，
∴点M为（0，m）、点B为（m，m）和点E为（2n，m+n），
∵抛物线y＝ax2+b经过M，B，E三点，
∴m＝am2+，
解得：a＝，
∴抛物线y＝x2+，
把点E（2n，m+n）代入抛物线得
m+n＝?4n2+，
解得：m＝（﹣1）n或m＝（﹣﹣1）n不合题意，舍去），
∴＝＝．
16．解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，对称轴在y轴右侧，a＞0，
∴最小值：＜﹣1，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣4a；
∴③正确；
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＞a＞；
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确．
综上所述，正确的有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
17．解：由抛物线的开口向下知a＜0，
与y轴的交点为在y轴的正半轴上，c＞0，
对称轴为直线x＝＝1，得2a＝﹣b，∴a、b异号，即b＞0，
∴a﹣b＜0，3b+2c＞0，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴b﹣a﹣c＜0，
∴|b﹣a﹣c|﹣+|a﹣b|＝﹣b+a+c﹣3b﹣2c﹣a+b＝﹣3b﹣c．
18．解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴AB＝4，
∴对称轴x＝＝1，
即2a+b＝0；
故①正确；
②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而＞0
∴b＜0，
∵对称轴x＝1，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0；
故②错误；
③∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，
∴10a+2b+2c＝0，
∴5a+b+c＝0，
∴a+4a+b+c＝0，
∵a＞0，
∴4a+b+c＜0，
故③错误；
④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；
D到x轴的距离就是当x＝1时y的值的绝对值．
当x＝1时，y＝a+b+c，
即|a+b+c|＝2，
∵当x＝1时y＜0，
∴a+b+c＝﹣2，
又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴当x＝﹣1时y＝0即a﹣b+c＝0；
x＝3时y＝0．
∴9a+3b+c＝0，
解这三个方程可得：b＝﹣1，a＝，c＝﹣；
⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，
当AB＝BC＝4时，
∵AO＝1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＝﹣，
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝；
同理当AB＝AC＝4时，
∵AO＝1，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＝﹣
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝；
同理当AC＝BC时
在△AOC中，AC2＝1+c2，
在△BOC中BC2＝c2+9，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a值满足条件．
故⑤错误．
故答案为：①④．
19．解：（1）∵|k|＝2，
∴k＝2或﹣2，
∴y＝2（x﹣1）（x+2）＝2x2+2x﹣4或y＝﹣2（x+1）（x+2）＝﹣2x2﹣6x﹣4，
图象如右图：
（2）∵k1＜k2且k1+k2＝0，k1≠0，k2≠0，
∴k2＝﹣k1，
∴k2＞0，k1＜0，
∴＝﹣k1（x+）（x+2），
顶点坐标为：（﹣﹣1，），
与x轴交点为：（﹣，0），（﹣2，0），
由知，顶点坐标为：（﹣1，﹣），与x轴交点为：（，0），（﹣2，0），
∵|k1|＝|k2|，
∴y2的图象可由y1的图象变换得到，
即y2的图象与y1的图象关于点（﹣1，﹣2）对称；
（3）当x＝0时，y1＝﹣4，y2＝﹣4，
∵y1与y2的交点分别为（﹣2，0）和（0，﹣4），
∴当y1＜y2时，x＜﹣2或x＞0．
20．解：（1）把x＝3代入y＝x+1，y＝3+1＝4，∴点B的坐标为B（3，4）；
（2）由题意：线段ABy＝x+1（0≤x≤3），
∵y＝ax2﹣4ax+4a﹣1＝a（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），
∵点A（0，1），点B（3，4），
∵当抛物线y＝ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）与线段AB有唯一公共点时，
∴①或②
解①得≤a＜5，②无解，
综上所述，当≤a＜5时，抛物线与线段AB有一个公共点．
21．解：（1）由图象可知抛物线经过点（1，0），（3，0），（0，3），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
代入（0，3）得，3a＝3，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣3），
即：y＝x2﹣4x+3．
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∵顶点为（2，﹣1），
∴沿y轴翻折得到新的图象顶点为（﹣2，﹣1），
∴翻折后的二次函数表达式y＝x2+4x+3（x＜0）；
（3）示意图正确
解
整理得：
∵△＝
解得：，
当过（0，3）时，b＝3，
所以综上所述符合题意的b的取值范围是．
22．解：（1）设变换后直线解析式为y1＝kx，
∵当x＝1时，y＝3x＝3，
∴y1＝3×3＝9，即k＝9，
∴得到的函数图象的表达式为y＝9x，
故答案为：y＝9x；
（2）①当x＝1时，y＝x2＝1，y＝4x2＝4，
∴纵坐标变为原来的4倍，得到函数y＝4x2的图象，
故答案为：4；
②设所得函数图象的解析式为y2＝ax2，
由题意知当x＝1时，y＝x2＝1，
则x＝2时，y2＝1，即1＝4a，解得：a＝，
即得到图象的函数表达式为y＝x2，
故答案为：y＝x2．
23．解：（1）abc＞0，理由是，
抛物线开口向上，a＞0，
抛物线交y轴负半轴，c＜0，
又对称轴交x轴的正半轴，＞0，而a＞0，得b＜0，
因此abc＞0；
（2）b2﹣4ac＞0，理由是，
抛物线与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0；
（3）2a+b＞0，理由是，
﹣＜1，a＞0，∴﹣b＜2a，因此2a+b＞0；
（4）a+b+c＜0，理由是，
由图象可知，当x＝1时，y＜0；而当x＝1时，y＝a+b+c．即a+b+c＜0．
24．解：（1）把A（0，4）和C（8，0）代入y＝﹣+bx+c得，
解得b＝，c＝4；
（2）作MN⊥x轴于点N，如图，
∵M是线段AP的中点，
∴MN＝2，
∵AD⊥BE，BE⊥x轴，
∴DE＝OA＝4，
∵线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，
∴PM＝PB，∠MPB＝90°，
∵∠MPN+∠BPE＝90°，∠MPN+∠PMN＝90°，
∴∠PMN＝∠BPE，
在△PMN和△BPE中
，
∴△PMN≌△BPE，
∴PE＝MN＝2，
∴OE＝2+t，
∴D（2+t，4），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
而点A、点D为对称点，
∴D点坐标为（5，4），
∴2+t＝5，解得t＝3，
即当t为3时，点D落在抛物线上．
25．解：∵抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，
∴抛物线y2的函数解析式为y＝2（x﹣2）2＝2x2﹣8x+8，
∴抛物线y2的对称轴为直线x＝2，
∵直线x＝t与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B，
∴点A的坐标为（t，t），点B的坐标为（t，2t2﹣8t+8），
∴AB＝|2t2﹣8t+8﹣t|＝|2t2﹣9t+8|，
AP＝|t﹣2|，
∵△APB是以点A或B为直角顶点的三角形，
∴|2t2﹣9t+8|＝|t﹣2|，
∴2t2﹣9t+8＝t﹣2①或2t2﹣9t+8＝﹣（t﹣2）②，
整理①得，t2﹣5t+5＝0，
解得t1＝，t2＝，
整理②得，t2﹣4t+3＝0，
解得t1＝1，t2＝3，
综上所述，满足条件的t值为：1或3或或．
故答案为：1或3或或．
26．解：（1）∵OA＝2，
∴抛物线顶点坐标A是（0，2），C（﹣1，0），
∴设抛物线解析式为y＝ax2+2，把点C（﹣1，0）代入，得
0＝a+2，
解得a＝﹣2．
则该抛物线解析式为：y＝﹣2x2+2；
（2）如图，连接AC，AC′．
根据旋转的性质得到AC＝AC′，OA⊥CC′，即点C与C′关于y轴对称，
又因为该抛物线的对称轴是y轴，点C在该抛物线线上，
所以抛物线经过点C′．
27．解：（1）∵A（1，0）和点B（0，﹣2），
∴OA＝1，OB＝2，过P作PM⊥x轴于M，
由题意得：AB＝AP，∠BAP＝90°，
∴∠OAB+∠PAM＝∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝∠PAM．
在△ABO于△APM中，
，
∴△ABO≌△APM，
∴AM＝OB，PM＝OA，
∴P（3，﹣1），
∵A（1，0）和点B（0，﹣2）在抛物线C1：y＝a（x﹣）2+h上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式；
（2）∵将抛物线C1先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C2，
∴y＝﹣（x﹣+2）2++1，
∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣（x﹣）2+，
当x＝3时，y＝﹣（3﹣）+＝﹣1，
∴点P在抛物线C2上．
一、选择题
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），过（1，y1）（2，y2）．
①若y1＞0时，则a+b+c＞0②若a＝b时，则y1＜y2
③若y1＜0，y2＞0，且a+b＜0，则a＞0
④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，则抛物线的顶点一定在第三象限
上述四个判断正确的有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．①②③
B．②④
C．②⑤
D．②③⑤
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P＝a﹣b+c，则P的取值范围是（ ）
A．﹣4＜P＜0
B．﹣4＜P＜﹣2
C．﹣2＜P＜0
D．﹣1＜P＜0
4．在平面直角坐标系中，对图形F给出如下定义：若图形F上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形ABCD的坐标角度是90°．现将二次函数y＝ax2（1≤a≤3）的图象在直线y＝1下方的部分沿直线y＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是（ ）
A．30°≤α≤60°
B．60°≤α≤90°
C．90°≤α≤120°
D．120°≤α≤150°
5．如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：
①abc＜0；②4a+c＜2b；③＝1﹣；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝正确的是（ ）
A．①③⑤
B．①②③④⑤
C．①③④
D．①②③⑤
6．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．把抛物线y＝2（x+4）2﹣2绕原点旋转180°后所得的图象的关系式为（ ）
A．y＝2（x+4）2+2
B．y＝﹣2（x﹣4）2+2
C．y＝﹣2（x+4）2﹣2
D．y＝2（x﹣4）2﹣2
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的结论有（ ）
①abc＜0；②2a+b＝0；
③b2﹣4ac＜0；④9a+3b+c＞0；
⑤c+8a＜0．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1，其中正确的是（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．1个
10．已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1．以下结论：
①2a＞﹣b；
②4a+2b+c＞0；
③m（am+b）＞a+b（m是大于1的实数）；
④3a+c＜0
其中正确结论的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论①abc＜0，②a+b+c＝2，③a＞④0＜b＜1中正确的有（ ）
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点（1.0），对称轴l如图所示，若M＝a+b﹣c，N＝2a﹣b，P＝a+c，则M，N，P中，值小于0的数有（ ）个．
A．2
B．1
C．0
D．3
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为
．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根是﹣1，3；②abc＞0；③a+b＝c﹣b；④yc；⑤a+4b＝3c中正确的有
（填写正确的序号）
15．如图，正方形OABC和矩形CDEF在平面直角坐标系中，CD＝2DE，点O、C、F在y轴上，点A在x轴上，O为坐标原点，点M为线段OC的中点，若抛物线y＝ax2+b经过M、B、E三点，则的值等于
．
16．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③4ac﹣b2＜﹣4a；④＜a＜；⑤b＞c．其中正确结论有
（填写所有正确结论的序号）．
二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象，化简|b﹣a﹣c|﹣+|a﹣b|＝
．
18．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．下面五个结论：
①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个．那么，其中正确的结论是
．
三、解答题
19．已知函数y＝．
（1）|k|＝2，请画出符合条件的函数图象；
（2）k的值分别取k1，k2时，得到两个函数，，其中k1＜k2且k1+k2＝0，y2的图象是由y1的图象经过怎样的变换得到的；
（3）在（2）的条件下，请求出当y1＜y2时，x的取值范围．
20．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与y轴交于点A，并且经过点B（3，n）．
（1）求点B的坐标；
（2）如果抛物线y＝ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）与线段AB有唯一公共点，求a的取值范围．
21．在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象所在的位置如图所示：
（1）请根据图象信息求该二次函数的表达式；
（2）将该图象（x＞0）的部分，沿y轴翻折得到新的图象，请直接写出翻折后的二次函数表达式；
（3）在（2）的条件下与原有二次函数图象构成了新的图象，记为图象G，现有一次函数
y＝x+b的图象与图象G有4个交点，请画出图象G的示意图并求出b的取值范围．
22．小华在研究函数y1＝x与y2＝2x图象关系时发现：如图所示，当x＝1时，y1＝1，y2＝2；当x＝2时，y1＝2，y2＝4；…；当x＝a时，y1＝a，y2＝2a．他得出如果将函数y1＝x图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，就可以得到函数y2＝2x的图象．类比小华的研究方法，解决下列问题：
（1）如果函数y＝3x图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到的函数图象的表达式为
；
（2）①将函数y＝x2图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的
倍，得到函数y＝4x2的图象；
②将函数y＝x2图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到图象的函数表达式为
．
23．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，请分别判断其值的符号并说明理由．答：
．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D．
（1）求b、c的值；
（2）当t为何值时，点D落在抛物线上．
25．将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到如图抛物线y2的图象，P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t的值，则t＝
．
26．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA，OC分别在坐标轴上，OA＝2，OC＝1，以点A为顶点的抛物线经过点C
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）将矩形ABCO绕点A旋转，得到矩形AB′C′O′，使点C′落在x轴上，抛物线是否经过点C′？请说明理由．
27．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝a（x﹣）2+h分别与x轴、y轴交于点A（1，0）和点B（0，﹣2），将线段AB绕点A逆时针旋转90°至AP．
（1）求点P的坐标及抛物线C1的解析式；
（2）将抛物线C1先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C2，请你判断点P是否在抛物线C2上，并说明理由．
参考答案
1．解：①若y1＞0时，当x＝1时，y1＝a+b+c＞0此时，正确；
②若a＝b时，即函数的对称轴是直线x＝﹣，也确定不了y1、y2的大小，故y1＜y2，错误；
③若y1＜0，y2＞0，即：a+b+c＜0，4a+2b+c＞0，
解得：﹣3a﹣b＜0，而a+b＜0，即：﹣2a＜0，∴a＞0，正确；
④若b＝2a﹣1，c＝a﹣3，且y1＞0，
即：a+b+c＞0，
把b、c的值代入上式得：a＞1，
则b＞1，c＞﹣2，
则抛物线对称轴为y轴左侧，开口向上，
Δ＝b2﹣4ac＝（2a﹣1）2﹣4ac＝8a+1＞9＞0，
故顶点一定在第三象限，正确；
故选：C．
2．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以④错误；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，所以⑤正确．
综上所述，正确的有②⑤．
故选：C．
3．解：∵把（1，0），（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c得：a+b+c＝0，﹣2＝c，
∴c＝﹣2，a+b＝2，
∴P＝a﹣b+c＝﹣4+2a＞﹣4，
∴P＝0﹣2b＜0，
即﹣4＜p＜0，
故选：A．
4．解：当a＝1时，如图1中，
∵角的两边分别过点A（﹣1，1），B（1，1），作BE⊥x轴于E，
∴BE＝OE，
∴∠BOE＝45°，
根据对称性可知∠AOB＝90°
∴此时坐标角度m＝90°；
当a＝3时，如图2中，
角的两边分别过点A（﹣，1），B（，1），作BE⊥x轴于E，
∴∠BOE＝60°，
根据对称性可知∠AOB＝60°
∴此时坐标角度α＝60°，
∴60°≤α≤90°；
故选：B．
5．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c＞0，
∵﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确，
∵x＝﹣2时，y＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故②正确，
∵y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），
∴﹣1×m＝，am2+bm+c＝0，
∴++＝0，
∴＝1﹣，故③正确，
∵﹣1+m＝﹣，
∴﹣a+am＝﹣b，
∴am＝a﹣b，
∵am2+（2a+b）m+a+b+c
＝am2+bm+c+2am+a+b
＝2a﹣2b+a+b
＝3a﹣b＜0，故④正确，
∵m+1＝|﹣|，
∴m+1＝||，
∴|am+a|＝，故⑤正确，
故选：B．
6．解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，﹣＝1，c＞0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，结论①错误；
②抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，结论②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），
∴另一个交点坐标是（3，0），
∴当x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，结论③错误；
④1﹣（﹣）＝，﹣1＝，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向下，
∴y1＝y2，结论④错误；
综上所述：正确的结论有②，1个，
故选：A．
7．解：由抛物线y＝2（x+4）2﹣2可知，抛物线的顶点坐标是（﹣4，﹣2），其关于原点对称的坐标为（4，2）
故绕原点旋转180°后得到的图象为：y＝﹣2（x﹣4）2+2，
故选：B．
8．解：∵图象的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，对称轴是直线x＝1，
∴a＜0，c＞0，﹣＝1，
即2a+b＝0，b＞0，
∴abc＜0，故①②正确；
∵抛物线的图象和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故③错误；
∵抛物线的图象的对称轴是直线x＝1，和x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），
∴另一个交点坐标是（3，0），
即当x＝3时，y＝a×32+b×3+c＝0，故④错误；
∵2a+b＝0，
即b＝﹣2a，代入解析式得：y＝ax2﹣2ax+c，
当x＝3时，y＝9a﹣6a+c＝3a+c＝0，
∵a＜0，
∴3a+c+5a＝8a+c＜0，故⑤正确；
即正确的有3个，
故选：C．
9．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故本选项正确；
②由对称轴可知：＜1，
∴﹣b＜2a，
∴2a+b＞0，故本选项错误；
③当x＝1时，y1＝a+b+c；
当x＝m时，y2＝m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2与y1的大小无法确定；
故本选项错误；
④当x＝1时，a+b+c＝0；
当x＝﹣1时，a﹣b+c＞0；
∴（a+b+c）（a﹣b+c）＝0，即（a+c）2﹣b2＝0，
∴（a+c）2＝b2
故本选项错误；
⑤当x＝﹣1时，a﹣b+c＝2；
当x＝1时，a+b+c＝0，
∴a+c＝1，
∴a＝1+（﹣c）＞1，即a＞1；
故本选项正确；
综上所述，正确的是①⑤．
故选：A．
10．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，所以①错误；
∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴抛物线与x轴的一个交点在（2，0）和（3，0）之间，
∴x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，所以②错误；
∵x＝1时，y有最小值a+b+c，
∴am2+bm+c＞a+b+c（m是大于1的实数），所以③正确；
∵x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，
把b＝﹣2a代入得3a+c＞0，所以④错误．
故选：A．
11．解：因为抛物线开口向上，可知a＞0，
对称轴在y轴的左侧，a、b同号．故b＞0，
抛物线与y轴的交点在负半轴，因此c＜0，
∴abc＜0，故①正确；
把（1，2）代入得a+b+c＝2，故②正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
又∵a+b+c＝2，
∴2b＞2，即：b＞1，因此④不正确，
因为对称轴x＝介在﹣1与0之间，因此＞﹣1，得2a＞b，而b＞1，∴a＞，因此③正确．
故选：B．
12．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），经过点（1.0），
∴a+b+c＝0，
又∵抛物线与y轴交在y轴的正半轴，
∴c＞0
∴a+b﹣c＜0，故M＜0；
（2）抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴左侧，﹣1的右侧，
∴﹣＞﹣1，
∴2a﹣b＜0，故N＜0；
（3）抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴左侧，因此a、b同号，∴b＜0
∵a+b+c＝0，
∴a+c＞0，因此P＞0
综上所述：M＜0，N＜0，P＞0；
故选：A．
13．解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
则抛物线的顶点坐标为（1，2），
∴当点A在抛物线的顶点时，AC最小，最小值为2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴对角线BD的最小值为2，
故答案为：2．
14．解：①∵抛物线与x轴一个交点为（3，0），且对称轴为x＝1，
∴抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），
即关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1，3，
选项①正确；
②∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴，
∴ab＜0，c＞0，即abc＜0，
选项②错误；
③由对称轴是：x＝1＝﹣，得b＝﹣2a，
∴a+b＝a﹣2a＝﹣a，
∵抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c﹣b＝﹣a，
∴a+b＝c﹣b，
选项③正确；
④由a﹣b+c＝0和b＝﹣2a得：a＝﹣c，
∴y最大值＝＝c﹣＝c﹣＝c﹣（﹣c）＝，
选项④正确；
⑤∵a+4b＝a﹣8a＝﹣7a＝﹣7×＝，
选项⑤错误；
综上所述，本题正确的结论有：①③④；
故答案为：①③④．
15．解：设正方形OABC的边长为m，DE＝n，CD＝EF＝2n，
∵点M为OC的中点，
∴点M为（0，m）、点B为（m，m）和点E为（2n，m+n），
∵抛物线y＝ax2+b经过M，B，E三点，
∴m＝am2+，
解得：a＝，
∴抛物线y＝x2+，
把点E（2n，m+n）代入抛物线得
m+n＝?4n2+，
解得：m＝（﹣1）n或m＝（﹣﹣1）n不合题意，舍去），
∴＝＝．
16．解：①∵函数开口方向向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴当x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，对称轴在y轴右侧，a＞0，
∴最小值：＜﹣1，
∵a＞0，
∴4ac﹣b2＜﹣4a；
∴③正确；
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，
∴＞a＞；
故④正确
⑤∵a＞0，
∴b﹣c＞0，即b＞c；
故⑤正确．
综上所述，正确的有①③④⑤，
故答案为：①③④⑤．
17．解：由抛物线的开口向下知a＜0，
与y轴的交点为在y轴的正半轴上，c＞0，
对称轴为直线x＝＝1，得2a＝﹣b，∴a、b异号，即b＞0，
∴a﹣b＜0，3b+2c＞0，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴b﹣a﹣c＜0，
∴|b﹣a﹣c|﹣+|a﹣b|＝﹣b+a+c﹣3b﹣2c﹣a+b＝﹣3b﹣c．
18．解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴AB＝4，
∴对称轴x＝＝1，
即2a+b＝0；
故①正确；
②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而＞0
∴b＜0，
∵对称轴x＝1，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0；
故②错误；
③∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，
∴10a+2b+2c＝0，
∴5a+b+c＝0，
∴a+4a+b+c＝0，
∵a＞0，
∴4a+b+c＜0，
故③错误；
④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；
D到x轴的距离就是当x＝1时y的值的绝对值．
当x＝1时，y＝a+b+c，
即|a+b+c|＝2，
∵当x＝1时y＜0，
∴a+b+c＝﹣2，
又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴当x＝﹣1时y＝0即a﹣b+c＝0；
x＝3时y＝0．
∴9a+3b+c＝0，
解这三个方程可得：b＝﹣1，a＝，c＝﹣；
⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，
当AB＝BC＝4时，
∵AO＝1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＝﹣，
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝；
同理当AB＝AC＝4时，
∵AO＝1，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＝﹣
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝；
同理当AC＝BC时
在△AOC中，AC2＝1+c2，
在△BOC中BC2＝c2+9，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a值满足条件．
故⑤错误．
故答案为：①④．
19．解：（1）∵|k|＝2，
∴k＝2或﹣2，
∴y＝2（x﹣1）（x+2）＝2x2+2x﹣4或y＝﹣2（x+1）（x+2）＝﹣2x2﹣6x﹣4，
图象如右图：
（2）∵k1＜k2且k1+k2＝0，k1≠0，k2≠0，
∴k2＝﹣k1，
∴k2＞0，k1＜0，
∴＝﹣k1（x+）（x+2），
顶点坐标为：（﹣﹣1，），
与x轴交点为：（﹣，0），（﹣2，0），
由知，顶点坐标为：（﹣1，﹣），与x轴交点为：（，0），（﹣2，0），
∵|k1|＝|k2|，
∴y2的图象可由y1的图象变换得到，
即y2的图象与y1的图象关于点（﹣1，﹣2）对称；
（3）当x＝0时，y1＝﹣4，y2＝﹣4，
∵y1与y2的交点分别为（﹣2，0）和（0，﹣4），
∴当y1＜y2时，x＜﹣2或x＞0．
20．解：（1）把x＝3代入y＝x+1，y＝3+1＝4，∴点B的坐标为B（3，4）；
（2）由题意：线段ABy＝x+1（0≤x≤3），
∵y＝ax2﹣4ax+4a﹣1＝a（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），
∵点A（0，1），点B（3，4），
∵当抛物线y＝ax2﹣4ax+4a﹣1（a＞0）与线段AB有唯一公共点时，
∴①或②
解①得≤a＜5，②无解，
综上所述，当≤a＜5时，抛物线与线段AB有一个公共点．
21．解：（1）由图象可知抛物线经过点（1，0），（3，0），（0，3），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
代入（0，3）得，3a＝3，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）（x﹣3），
即：y＝x2﹣4x+3．
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∵顶点为（2，﹣1），
∴沿y轴翻折得到新的图象顶点为（﹣2，﹣1），
∴翻折后的二次函数表达式y＝x2+4x+3（x＜0）；
（3）示意图正确
解
整理得：
∵△＝
解得：，
当过（0，3）时，b＝3，
所以综上所述符合题意的b的取值范围是．
22．解：（1）设变换后直线解析式为y1＝kx，
∵当x＝1时，y＝3x＝3，
∴y1＝3×3＝9，即k＝9，
∴得到的函数图象的表达式为y＝9x，
故答案为：y＝9x；
（2）①当x＝1时，y＝x2＝1，y＝4x2＝4，
∴纵坐标变为原来的4倍，得到函数y＝4x2的图象，
故答案为：4；
②设所得函数图象的解析式为y2＝ax2，
由题意知当x＝1时，y＝x2＝1，
则x＝2时，y2＝1，即1＝4a，解得：a＝，
即得到图象的函数表达式为y＝x2，
故答案为：y＝x2．
23．解：（1）abc＞0，理由是，
抛物线开口向上，a＞0，
抛物线交y轴负半轴，c＜0，
又对称轴交x轴的正半轴，＞0，而a＞0，得b＜0，
因此abc＞0；
（2）b2﹣4ac＞0，理由是，
抛物线与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0；
（3）2a+b＞0，理由是，
﹣＜1，a＞0，∴﹣b＜2a，因此2a+b＞0；
（4）a+b+c＜0，理由是，
由图象可知，当x＝1时，y＜0；而当x＝1时，y＝a+b+c．即a+b+c＜0．
24．解：（1）把A（0，4）和C（8，0）代入y＝﹣+bx+c得，
解得b＝，c＝4；
（2）作MN⊥x轴于点N，如图，
∵M是线段AP的中点，
∴MN＝2，
∵AD⊥BE，BE⊥x轴，
∴DE＝OA＝4，
∵线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，
∴PM＝PB，∠MPB＝90°，
∵∠MPN+∠BPE＝90°，∠MPN+∠PMN＝90°，
∴∠PMN＝∠BPE，
在△PMN和△BPE中
，
∴△PMN≌△BPE，
∴PE＝MN＝2，
∴OE＝2+t，
∴D（2+t，4），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝，
而点A、点D为对称点，
∴D点坐标为（5，4），
∴2+t＝5，解得t＝3，
即当t为3时，点D落在抛物线上．
25．解：∵抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，
∴抛物线y2的函数解析式为y＝2（x﹣2）2＝2x2﹣8x+8，
∴抛物线y2的对称轴为直线x＝2，
∵直线x＝t与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B，
∴点A的坐标为（t，t），点B的坐标为（t，2t2﹣8t+8），
∴AB＝|2t2﹣8t+8﹣t|＝|2t2﹣9t+8|，
AP＝|t﹣2|，
∵△APB是以点A或B为直角顶点的三角形，
∴|2t2﹣9t+8|＝|t﹣2|，
∴2t2﹣9t+8＝t﹣2①或2t2﹣9t+8＝﹣（t﹣2）②，
整理①得，t2﹣5t+5＝0，
解得t1＝，t2＝，
整理②得，t2﹣4t+3＝0，
解得t1＝1，t2＝3，
综上所述，满足条件的t值为：1或3或或．
故答案为：1或3或或．
26．解：（1）∵OA＝2，
∴抛物线顶点坐标A是（0，2），C（﹣1，0），
∴设抛物线解析式为y＝ax2+2，把点C（﹣1，0）代入，得
0＝a+2，
解得a＝﹣2．
则该抛物线解析式为：y＝﹣2x2+2；
（2）如图，连接AC，AC′．
根据旋转的性质得到AC＝AC′，OA⊥CC′，即点C与C′关于y轴对称，
又因为该抛物线的对称轴是y轴，点C在该抛物线线上，
所以抛物线经过点C′．
27．解：（1）∵A（1，0）和点B（0，﹣2），
∴OA＝1，OB＝2，过P作PM⊥x轴于M，
由题意得：AB＝AP，∠BAP＝90°，
∴∠OAB+∠PAM＝∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝∠PAM．
在△ABO于△APM中，
，
∴△ABO≌△APM，
∴AM＝OB，PM＝OA，
∴P（3，﹣1），
∵A（1，0）和点B（0，﹣2）在抛物线C1：y＝a（x﹣）2+h上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式；
（2）∵将抛物线C1先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C2，
∴y＝﹣（x﹣+2）2++1，
∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣（x﹣）2+，
当x＝3时，y＝﹣（3﹣）+＝﹣1，
∴点P在抛物线C2上．
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