2021-2022学年浙教版九年级数学上册《1.2二次函数的图象》同步优生辅导训练(附答案)
一、选择题
1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),过(1,y1)(2,y2).
①若y1>0时,则a+b+c>0②若a=b时,则y1<y2
③若y1<0,y2>0,且a+b<0,则a>0
④若b=2a﹣1,c=a﹣3,且y1>0,则抛物线的顶点一定在第三象限
上述四个判断正确的有( )个.
A.1
B.2
C.3
D.4
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③m为任意实数,则a+b>am2+bm;④a﹣b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,则x1+x2=2.其中正确的有( )
A.①②③
B.②④
C.②⑤
D.②③⑤
3.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过点(1,0)和点(0,﹣2),且顶点在第三象限,设P=a﹣b+c,则P的取值范围是( )
A.﹣4<P<0
B.﹣4<P<﹣2
C.﹣2<P<0
D.﹣1<P<0
4.在平面直角坐标系中,对图形F给出如下定义:若图形F上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上,在所有满足条件的角中,其度数的最小值称为图形的坐标角度,例如,如图中的矩形ABCD的坐标角度是90°.现将二次函数y=ax2(1≤a≤3)的图象在直线y=1下方的部分沿直线y=1向上翻折,则所得图形的坐标角度α的取值范围是( )
A.30°≤α≤60°
B.60°≤α≤90°
C.90°≤α≤120°
D.120°≤α≤150°
5.如图,函数y=ax2+bx+c的图象过点(﹣1,0)和(m,0),请思考下列判断:
①abc<0;②4a+c<2b;③=1﹣;④am2+(2a+b)m+a+b+c<0;⑤|am+a|=正确的是( )
A.①③⑤
B.①②③④⑤
C.①③④
D.①②③⑤
6.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为x=1,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣,y1),(,y2)是抛物线上两点,则y1<y2,其中结论正确的个数是( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7.把抛物线y=2(x+4)2﹣2绕原点旋转180°后所得的图象的关系式为( )
A.y=2(x+4)2+2
B.y=﹣2(x﹣4)2+2
C.y=﹣2(x+4)2﹣2
D.y=2(x﹣4)2﹣2
8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论中正确的结论有( )
①abc<0;②2a+b=0;
③b2﹣4ac<0;④9a+3b+c>0;
⑤c+8a<0.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
9.已知:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论中:①abc>0;②2a+b<0;③a+b>m(am+b)(m≠1的实数);④(a+c)2<b2;⑤a>1,其中正确的是( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.1个
10.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=1.以下结论:
①2a>﹣b;
②4a+2b+c>0;
③m(am+b)>a+b(m是大于1的实数);
④3a+c<0
其中正确结论的个数为( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
11.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列结论①abc<0,②a+b+c=2,③a>④0<b<1中正确的有( )
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
12.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),经过点(1.0),对称轴l如图所示,若M=a+b﹣c,N=2a﹣b,P=a+c,则M,N,P中,值小于0的数有( )个.
A.2
B.1
C.0
D.3
二、填空题
13.如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2﹣2x+3上运动,过点A作AC⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD,则对角线BD的最小值为
.
14.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,则下列结论:
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是﹣1,3;②abc>0;③a+b=c﹣b;④yc;⑤a+4b=3c中正确的有
(填写正确的序号)
15.如图,正方形OABC和矩形CDEF在平面直角坐标系中,CD=2DE,点O、C、F在y轴上,点A在x轴上,O为坐标原点,点M为线段OC的中点,若抛物线y=ax2+b经过M、B、E三点,则的值等于
.
16.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:①abc>0;②4a+2b+c>0;③4ac﹣b2<﹣4a;④<a<;⑤b>c.其中正确结论有
(填写所有正确结论的序号).
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,根据图象,化简|b﹣a﹣c|﹣+|a﹣b|=
.
18.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为﹣1,3,与y轴负半轴交于点C.下面五个结论:
①2a+b=0;②a+b+c>0;③4a+b+c>0;④只有当a=时,△ABD是等腰直角三角形;⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有三个.那么,其中正确的结论是
.
三、解答题
19.已知函数y=.
(1)|k|=2,请画出符合条件的函数图象;
(2)k的值分别取k1,k2时,得到两个函数,,其中k1<k2且k1+k2=0,y2的图象是由y1的图象经过怎样的变换得到的;
(3)在(2)的条件下,请求出当y1<y2时,x的取值范围.
20.在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+1与y轴交于点A,并且经过点B(3,n).
(1)求点B的坐标;
(2)如果抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣1(a>0)与线段AB有唯一公共点,求a的取值范围.
21.在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象所在的位置如图所示:
(1)请根据图象信息求该二次函数的表达式;
(2)将该图象(x>0)的部分,沿y轴翻折得到新的图象,请直接写出翻折后的二次函数表达式;
(3)在(2)的条件下与原有二次函数图象构成了新的图象,记为图象G,现有一次函数
y=x+b的图象与图象G有4个交点,请画出图象G的示意图并求出b的取值范围.
22.小华在研究函数y1=x与y2=2x图象关系时发现:如图所示,当x=1时,y1=1,y2=2;当x=2时,y1=2,y2=4;…;当x=a时,y1=a,y2=2a.他得出如果将函数y1=x图象上各点的横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,就可以得到函数y2=2x的图象.类比小华的研究方法,解决下列问题:
(1)如果函数y=3x图象上各点横坐标不变,纵坐标变为原来的3倍,得到的函数图象的表达式为
;
(2)①将函数y=x2图象上各点的横坐标不变,纵坐标变为原来的
倍,得到函数y=4x2的图象;
②将函数y=x2图象上各点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得到图象的函数表达式为
.
23.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则abc,b2﹣4ac,2a+b,a+b+c这四个式子中,请分别判断其值的符号并说明理由.答:
.
24.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣+bx+c过点A(0,4)和C(8,0),P(t,0)是x轴正半轴上的一个动点,M是线段AP的中点,将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB,过点B作x轴的垂线,过点A作y轴的垂线,两直线交于点D.
(1)求b、c的值;
(2)当t为何值时,点D落在抛物线上.
25.将抛物线y1=2x2向右平移2个单位,得到如图抛物线y2的图象,P是抛物线y2对称轴上的一个动点,直线x=t平行于y轴,分别与直线y=x、抛物线y2交于点A、B.若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t的值,则t=
.
26.如图,平面直角坐标系中,矩形ABCO的边OA,OC分别在坐标轴上,OA=2,OC=1,以点A为顶点的抛物线经过点C
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)将矩形ABCO绕点A旋转,得到矩形AB′C′O′,使点C′落在x轴上,抛物线是否经过点C′?请说明理由.
27.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:y=a(x﹣)2+h分别与x轴、y轴交于点A(1,0)和点B(0,﹣2),将线段AB绕点A逆时针旋转90°至AP.
(1)求点P的坐标及抛物线C1的解析式;
(2)将抛物线C1先向左平移2个单位,再向上平移1个单位得到抛物线C2,请你判断点P是否在抛物线C2上,并说明理由.
参考答案
1.解:①若y1>0时,当x=1时,y1=a+b+c>0此时,正确;
②若a=b时,即函数的对称轴是直线x=﹣,也确定不了y1、y2的大小,故y1<y2,错误;
③若y1<0,y2>0,即:a+b+c<0,4a+2b+c>0,
解得:﹣3a﹣b<0,而a+b<0,即:﹣2a<0,∴a>0,正确;
④若b=2a﹣1,c=a﹣3,且y1>0,
即:a+b+c>0,
把b、c的值代入上式得:a>1,
则b>1,c>﹣2,
则抛物线对称轴为y轴左侧,开口向上,
Δ=b2﹣4ac=(2a﹣1)2﹣4ac=8a+1>9>0,
故顶点一定在第三象限,正确;
故选:C.
2.解:∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线对称轴为直线x=﹣=1,
∴b=﹣2a>0,即2a+b=0,所以②正确;
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
∴abc<0,所以①错误;
∵抛物线对称轴为直线x=1,
∴函数的最大值为a+b+c,
∴当m≠1时,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm,所以③错误;
∵抛物线与x轴的一个交点在(3,0)的左侧,而对称轴为直线x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点在(﹣1,0)的右侧
∴当x=﹣1时,y<0,
∴a﹣b+c<0,所以④错误;
∵ax12+bx1=ax22+bx2,
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0,
∴a(x1+x2)(x1﹣x2)+b(x1﹣x2)=0,
∴(x1﹣x2)[a(x1+x2)+b]=0,
而x1≠x2,
∴a(x1+x2)+b=0,即x1+x2=﹣,
∵b=﹣2a,
∴x1+x2=2,所以⑤正确.
综上所述,正确的有②⑤.
故选:C.
3.解:∵把(1,0),(0,﹣2)代入y=ax2+bx+c得:a+b+c=0,﹣2=c,
∴c=﹣2,a+b=2,
∴P=a﹣b+c=﹣4+2a>﹣4,
∴P=0﹣2b<0,
即﹣4<p<0,
故选:A.
4.解:当a=1时,如图1中,
∵角的两边分别过点A(﹣1,1),B(1,1),作BE⊥x轴于E,
∴BE=OE,
∴∠BOE=45°,
根据对称性可知∠AOB=90°
∴此时坐标角度m=90°;
当a=3时,如图2中,
角的两边分别过点A(﹣,1),B(,1),作BE⊥x轴于E,
∴∠BOE=60°,
根据对称性可知∠AOB=60°
∴此时坐标角度α=60°,
∴60°≤α≤90°;
故选:B.
5.解:∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线交y轴于正半轴,
∴c>0,
∵﹣>0,
∴b>0,
∴abc<0,故①正确,
∵x=﹣2时,y<0,
∴4a﹣2b+c<0,即4a+c<2b,故②正确,
∵y=ax2+bx+c的图象过点(﹣1,0)和(m,0),
∴﹣1×m=,am2+bm+c=0,
∴++=0,
∴=1﹣,故③正确,
∵﹣1+m=﹣,
∴﹣a+am=﹣b,
∴am=a﹣b,
∵am2+(2a+b)m+a+b+c
=am2+bm+c+2am+a+b
=2a﹣2b+a+b
=3a﹣b<0,故④正确,
∵m+1=|﹣|,
∴m+1=||,
∴|am+a|=,故⑤正确,
故选:B.
6.解:①∵抛物线开口向下,对称轴为直线x=1,与y轴交于正半轴,
∴a<0,﹣=1,c>0,
∴b=﹣2a>0,
∴abc<0,结论①错误;
②抛物线对称轴为直线x=1,
∴﹣=1,
∴b=﹣2a,
∴2a+b=0,结论②正确;
③∵抛物线的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标是(﹣1,0),
∴另一个交点坐标是(3,0),
∴当x=2时,y>0,
∴4a+2b+c>0,结论③错误;
④1﹣(﹣)=,﹣1=,
∵抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线开口向下,
∴y1=y2,结论④错误;
综上所述:正确的结论有②,1个,
故选:A.
7.解:由抛物线y=2(x+4)2﹣2可知,抛物线的顶点坐标是(﹣4,﹣2),其关于原点对称的坐标为(4,2)
故绕原点旋转180°后得到的图象为:y=﹣2(x﹣4)2+2,
故选:B.
8.解:∵图象的开口向下,与y轴的交点在y轴的正半轴上,对称轴是直线x=1,
∴a<0,c>0,﹣=1,
即2a+b=0,b>0,
∴abc<0,故①②正确;
∵抛物线的图象和x轴有两个交点,
∴b2﹣4ac>0,故③错误;
∵抛物线的图象的对称轴是直线x=1,和x轴的一个交点坐标是(﹣1,0),
∴另一个交点坐标是(3,0),
即当x=3时,y=a×32+b×3+c=0,故④错误;
∵2a+b=0,
即b=﹣2a,代入解析式得:y=ax2﹣2ax+c,
当x=3时,y=9a﹣6a+c=3a+c=0,
∵a<0,
∴3a+c+5a=8a+c<0,故⑤正确;
即正确的有3个,
故选:C.
9.解:①由图象可知:a>0,c<0,
∵>0,
∴b<0,
∴abc>0,故本选项正确;
②由对称轴可知:<1,
∴﹣b<2a,
∴2a+b>0,故本选项错误;
③当x=1时,y1=a+b+c;
当x=m时,y2=m(am+b)+c,当m>1,y2>y1;当m<1,y2与y1的大小无法确定;
故本选项错误;
④当x=1时,a+b+c=0;
当x=﹣1时,a﹣b+c>0;
∴(a+b+c)(a﹣b+c)=0,即(a+c)2﹣b2=0,
∴(a+c)2=b2
故本选项错误;
⑤当x=﹣1时,a﹣b+c=2;
当x=1时,a+b+c=0,
∴a+c=1,
∴a=1+(﹣c)>1,即a>1;
故本选项正确;
综上所述,正确的是①⑤.
故选:A.
10.解:∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,
∴b=﹣2a,即2a+b=0,所以①错误;
∵对称轴为直线x=1,抛物线与x轴的一个交点在(﹣1,0)和(0,0)之间,
∴抛物线与x轴的一个交点在(2,0)和(3,0)之间,
∴x=2时,y<0,
∴4a+2b+c<0,所以②错误;
∵x=1时,y有最小值a+b+c,
∴am2+bm+c>a+b+c(m是大于1的实数),所以③正确;
∵x=﹣1时,y>0,
即a﹣b+c>0,
把b=﹣2a代入得3a+c>0,所以④错误.
故选:A.
11.解:因为抛物线开口向上,可知a>0,
对称轴在y轴的左侧,a、b同号.故b>0,
抛物线与y轴的交点在负半轴,因此c<0,
∴abc<0,故①正确;
把(1,2)代入得a+b+c=2,故②正确;
当x=﹣1时,y=a﹣b+c<0,
又∵a+b+c=2,
∴2b>2,即:b>1,因此④不正确,
因为对称轴x=介在﹣1与0之间,因此>﹣1,得2a>b,而b>1,∴a>,因此③正确.
故选:B.
12.解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),经过点(1.0),
∴a+b+c=0,
又∵抛物线与y轴交在y轴的正半轴,
∴c>0
∴a+b﹣c<0,故M<0;
(2)抛物线开口向下,因此a<0,对称轴在y轴左侧,﹣1的右侧,
∴﹣>﹣1,
∴2a﹣b<0,故N<0;
(3)抛物线开口向下,因此a<0,对称轴在y轴左侧,因此a、b同号,∴b<0
∵a+b+c=0,
∴a+c>0,因此P>0
综上所述:M<0,N<0,P>0;
故选:A.
13.解:y=x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2,
则抛物线的顶点坐标为(1,2),
∴当点A在抛物线的顶点时,AC最小,最小值为2,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,
∴对角线BD的最小值为2,
故答案为:2.
14.解:①∵抛物线与x轴一个交点为(3,0),且对称轴为x=1,
∴抛物线与x轴另一个交点为(﹣1,0),
即关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为﹣1,3,
选项①正确;
②∵二次函数图象开口向下,对称轴在y轴右侧,与y轴交点在正半轴,
∴ab<0,c>0,即abc<0,
选项②错误;
③由对称轴是:x=1=﹣,得b=﹣2a,
∴a+b=a﹣2a=﹣a,
∵抛物线与x轴另一个交点为(﹣1,0),
∴a﹣b+c=0,
∴c﹣b=﹣a,
∴a+b=c﹣b,
选项③正确;
④由a﹣b+c=0和b=﹣2a得:a=﹣c,
∴y最大值==c﹣=c﹣=c﹣(﹣c)=,
选项④正确;
⑤∵a+4b=a﹣8a=﹣7a=﹣7×=,
选项⑤错误;
综上所述,本题正确的结论有:①③④;
故答案为:①③④.
15.解:设正方形OABC的边长为m,DE=n,CD=EF=2n,
∵点M为OC的中点,
∴点M为(0,m)、点B为(m,m)和点E为(2n,m+n),
∵抛物线y=ax2+b经过M,B,E三点,
∴m=am2+,
解得:a=,
∴抛物线y=x2+,
把点E(2n,m+n)代入抛物线得
m+n=?4n2+,
解得:m=(﹣1)n或m=(﹣﹣1)n不合题意,舍去),
∴==.
16.解:①∵函数开口方向向上,
∴a>0;
∵对称轴在y轴右侧
∴ab异号,
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴,
∴c<0,
∴abc>0,
故①正确;
②∵图象与x轴交于点A(﹣1,0),对称轴为直线x=1,
∴图象与x轴的另一个交点为(3,0),
∴当x=2时,y<0,
∴4a+2b+c<0,
故②错误;
③∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴的交点在(0,﹣1)的下方,对称轴在y轴右侧,a>0,
∴最小值:<﹣1,
∵a>0,
∴4ac﹣b2<﹣4a;
∴③正确;
④∵图象与y轴的交点B在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间,
∴﹣2<c<﹣1
∴﹣2<﹣3a<﹣1,
∴>a>;
故④正确
⑤∵a>0,
∴b﹣c>0,即b>c;
故⑤正确.
综上所述,正确的有①③④⑤,
故答案为:①③④⑤.
17.解:由抛物线的开口向下知a<0,
与y轴的交点为在y轴的正半轴上,c>0,
对称轴为直线x==1,得2a=﹣b,∴a、b异号,即b>0,
∴a﹣b<0,3b+2c>0,
当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0,∴b﹣a﹣c<0,
∴|b﹣a﹣c|﹣+|a﹣b|=﹣b+a+c﹣3b﹣2c﹣a+b=﹣3b﹣c.
18.解:①∵图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为﹣1,3,
∴AB=4,
∴对称轴x==1,
即2a+b=0;
故①正确;
②由抛物线的开口方向向上可推出a>0,而>0
∴b<0,
∵对称轴x=1,
∴当x=1时,y<0,
∴a+b+c<0;
故②错误;
③∵图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为﹣1,3,
∴a﹣b+c=0,9a+3b+c=0,
∴10a+2b+2c=0,
∴5a+b+c=0,
∴a+4a+b+c=0,
∵a>0,
∴4a+b+c<0,
故③错误;
④要使△ABD为等腰直角三角形,必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半;
D到x轴的距离就是当x=1时y的值的绝对值.
当x=1时,y=a+b+c,
即|a+b+c|=2,
∵当x=1时y<0,
∴a+b+c=﹣2,
又∵图象与x轴的交点A,B的横坐标分别为﹣1,3,
∴当x=﹣1时y=0即a﹣b+c=0;
x=3时y=0.
∴9a+3b+c=0,
解这三个方程可得:b=﹣1,a=,c=﹣;
⑤要使△ACB为等腰三角形,则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,
当AB=BC=4时,
∵AO=1,△BOC为直角三角形,
又∵OC的长即为|c|,
∴c2=16﹣9=7,
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,
∴c=﹣,
与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组,解得a=;
同理当AB=AC=4时,
∵AO=1,△AOC为直角三角形,
又∵OC的长即为|c|,
∴c2=16﹣1=15,
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,
∴c=﹣
与2a+b=0、a﹣b+c=0联立组成解方程组,解得a=;
同理当AC=BC时
在△AOC中,AC2=1+c2,
在△BOC中BC2=c2+9,
∵AC=BC,
∴1+c2=c2+9,此方程无解.
经解方程组可知只有两个a值满足条件.
故⑤错误.
故答案为:①④.
19.解:(1)∵|k|=2,
∴k=2或﹣2,
∴y=2(x﹣1)(x+2)=2x2+2x﹣4或y=﹣2(x+1)(x+2)=﹣2x2﹣6x﹣4,
图象如右图:
(2)∵k1<k2且k1+k2=0,k1≠0,k2≠0,
∴k2=﹣k1,
∴k2>0,k1<0,
∴=﹣k1(x+)(x+2),
顶点坐标为:(﹣﹣1,),
与x轴交点为:(﹣,0),(﹣2,0),
由知,顶点坐标为:(﹣1,﹣),与x轴交点为:(,0),(﹣2,0),
∵|k1|=|k2|,
∴y2的图象可由y1的图象变换得到,
即y2的图象与y1的图象关于点(﹣1,﹣2)对称;
(3)当x=0时,y1=﹣4,y2=﹣4,
∵y1与y2的交点分别为(﹣2,0)和(0,﹣4),
∴当y1<y2时,x<﹣2或x>0.
20.解:(1)把x=3代入y=x+1,y=3+1=4,∴点B的坐标为B(3,4);
(2)由题意:线段ABy=x+1(0≤x≤3),
∵y=ax2﹣4ax+4a﹣1=a(x﹣2)2﹣1,
∴抛物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,﹣1),
∵点A(0,1),点B(3,4),
∵当抛物线y=ax2﹣4ax+4a﹣1(a>0)与线段AB有唯一公共点时,
∴①或②
解①得≤a<5,②无解,
综上所述,当≤a<5时,抛物线与线段AB有一个公共点.
21.解:(1)由图象可知抛物线经过点(1,0),(3,0),(0,3),
设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣3),
代入(0,3)得,3a=3,
解得a=1,
∴y=(x﹣1)(x﹣3),
即:y=x2﹣4x+3.
(2)∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∵顶点为(2,﹣1),
∴沿y轴翻折得到新的图象顶点为(﹣2,﹣1),
∴翻折后的二次函数表达式y=x2+4x+3(x<0);
(3)示意图正确
解
整理得:
∵△=
解得:,
当过(0,3)时,b=3,
所以综上所述符合题意的b的取值范围是.
22.解:(1)设变换后直线解析式为y1=kx,
∵当x=1时,y=3x=3,
∴y1=3×3=9,即k=9,
∴得到的函数图象的表达式为y=9x,
故答案为:y=9x;
(2)①当x=1时,y=x2=1,y=4x2=4,
∴纵坐标变为原来的4倍,得到函数y=4x2的图象,
故答案为:4;
②设所得函数图象的解析式为y2=ax2,
由题意知当x=1时,y=x2=1,
则x=2时,y2=1,即1=4a,解得:a=,
即得到图象的函数表达式为y=x2,
故答案为:y=x2.
23.解:(1)abc>0,理由是,
抛物线开口向上,a>0,
抛物线交y轴负半轴,c<0,
又对称轴交x轴的正半轴,>0,而a>0,得b<0,
因此abc>0;
(2)b2﹣4ac>0,理由是,
抛物线与x轴有两个交点,b2﹣4ac>0;
(3)2a+b>0,理由是,
﹣<1,a>0,∴﹣b<2a,因此2a+b>0;
(4)a+b+c<0,理由是,
由图象可知,当x=1时,y<0;而当x=1时,y=a+b+c.即a+b+c<0.
24.解:(1)把A(0,4)和C(8,0)代入y=﹣+bx+c得,
解得b=,c=4;
(2)作MN⊥x轴于点N,如图,
∵M是线段AP的中点,
∴MN=2,
∵AD⊥BE,BE⊥x轴,
∴DE=OA=4,
∵线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB,
∴PM=PB,∠MPB=90°,
∵∠MPN+∠BPE=90°,∠MPN+∠PMN=90°,
∴∠PMN=∠BPE,
在△PMN和△BPE中
,
∴△PMN≌△BPE,
∴PE=MN=2,
∴OE=2+t,
∴D(2+t,4),
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=,
而点A、点D为对称点,
∴D点坐标为(5,4),
∴2+t=5,解得t=3,
即当t为3时,点D落在抛物线上.
25.解:∵抛物线y1=2x2向右平移2个单位,
∴抛物线y2的函数解析式为y=2(x﹣2)2=2x2﹣8x+8,
∴抛物线y2的对称轴为直线x=2,
∵直线x=t与直线y=x、抛物线y2交于点A、B,
∴点A的坐标为(t,t),点B的坐标为(t,2t2﹣8t+8),
∴AB=|2t2﹣8t+8﹣t|=|2t2﹣9t+8|,
AP=|t﹣2|,
∵△APB是以点A或B为直角顶点的三角形,
∴|2t2﹣9t+8|=|t﹣2|,
∴2t2﹣9t+8=t﹣2①或2t2﹣9t+8=﹣(t﹣2)②,
整理①得,t2﹣5t+5=0,
解得t1=,t2=,
整理②得,t2﹣4t+3=0,
解得t1=1,t2=3,
综上所述,满足条件的t值为:1或3或或.
故答案为:1或3或或.
26.解:(1)∵OA=2,
∴抛物线顶点坐标A是(0,2),C(﹣1,0),
∴设抛物线解析式为y=ax2+2,把点C(﹣1,0)代入,得
0=a+2,
解得a=﹣2.
则该抛物线解析式为:y=﹣2x2+2;
(2)如图,连接AC,AC′.
根据旋转的性质得到AC=AC′,OA⊥CC′,即点C与C′关于y轴对称,
又因为该抛物线的对称轴是y轴,点C在该抛物线线上,
所以抛物线经过点C′.
27.解:(1)∵A(1,0)和点B(0,﹣2),
∴OA=1,OB=2,过P作PM⊥x轴于M,
由题意得:AB=AP,∠BAP=90°,
∴∠OAB+∠PAM=∠ABO+∠OAB=90°,
∴∠ABO=∠PAM.
在△ABO于△APM中,
,
∴△ABO≌△APM,
∴AM=OB,PM=OA,
∴P(3,﹣1),
∵A(1,0)和点B(0,﹣2)在抛物线C1:y=a(x﹣)2+h上,
∴,
解得:,
∴抛物线的解析式;
(2)∵将抛物线C1先向左平移2个单位,再向上平移1个单位得到抛物线C2,
∴y=﹣(x﹣+2)2++1,
∴抛物线C2的解析式为:y=﹣(x﹣)2+,
当x=3时,y=﹣(3﹣)+=﹣1,
∴点P在抛物线C2上.