1.3二次函数的性质 同步培优提升训练（Word版 附答案）2021-2022学年浙教版九年级数学上册

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《1.3二次函数的性质》同步培优提升训练（附答案）
一、选择题
1．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（　　）
A．m＝﹣1
B．m＝3
C．m≤﹣1
D．m≥﹣1
2．已知函数y＝ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（　　）
A．当a＝1时，函数图象过点（﹣1，1）
B．当a＝﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小
D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
3．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
从上表可知，下列说法中，错误的是（　　）
A．抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）
B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）
C．抛物线的对称轴是直线x＝0
D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的
4．如图，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（　　）
A．B．C．D．
5．已知函数y＝ax2﹣（2a+1）x﹣1（a是常数，a≠0）下列结论正确的是（　　）
A．当a＝1时，函数图象经过（1，3）
B．函数图象与x轴一定有交点
C．若a＞0时，则当x≥1时，y随x增大而增大
D．若a＜0时，则当x≥1时，y随x增大而减小
6．抛物线y＝x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（　　）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC上方的抛物线上的一个动点，连接DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（　　）
A．7
B．7.5
C．8
D．9
8．已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，用配方法化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果是（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2﹣2
B．y＝﹣（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x﹣1）2+4
D．y＝﹣（x+1）2﹣4
二、填空题
9．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣2，﹣2），且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的解析式为　
　．
10．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（1，﹣2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是　
　．
11．如图，P是抛物线y＝﹣x2+x+2在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB周长的最大值为　
　．
12．已知实数x，y满足x2+3x+y﹣3＝0，则x+y的最大值为　
　．
13．若二次函数y＝ax2+8x+（a﹣3）的图象最高点的纵坐标为3，则a的值是　
　．
14．若函数y＝2x2﹣4x+m有最小值是3，则m＝　
　．
15．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为P（﹣2，3），且过A（﹣3，0），则抛物线的关系式为　
　．
16．二次函数y＝2x2﹣4x+3通过配方化为顶点式为y＝　
　，当x　
　时，y随x的增大而增大．
三、解答题
17．如图，抛物线y＝x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是直线x＝2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB＝8，并求出此时P点的坐标．
19．已知抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．
（1）求y1的解析式；
（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．
20．已知二次函数y＝x2﹣6x+8．
（1）将y＝x2﹣6x+8化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）当0≤x≤4时，y的最小值是　
　，最大值是　
　；
（3）当y＜0时，写出x的取值范围．
21．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；
（3）点P为抛物线上一点，若S△PAB＝10，求出此时点P的坐标．
22．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是直线x＝﹣3，请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式．
（2）若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
参考答案
1．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，
由图象可知：﹣≤1，
解得m≥﹣1．
故选：D．
2．解：A、∵当a＝1，x＝﹣1时，y＝1+2﹣1＝2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；
B、当a＝﹣2时，∵△＝42﹣4×（﹣2）×（﹣1）＝8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；
C、∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；
D、∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确；
故选：D．
3．解：
当x＝﹣2时，y＝0，
∴抛物线过（﹣2，0），
∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），故A正确；
当x＝0时，y＝6，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确；
当x＝0和x＝1时，y＝6，
∴对称轴为x＝，故C错误；
当x＜时，y随x的增大而增大，
∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；
故选：C．
4．解：由二次函数的图象可知，
a＜0，b＜0，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b＜0，
∴y＝（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，
故选：D．
5．解：∵函数y＝ax2﹣（2a+1）x﹣1（a是常数，a≠0），
∴当a＝1时，y＝x2﹣3x﹣1，当x＝1时，y＝﹣3，故选项A错误，
当y＝0时，ax2﹣（2a+1）x﹣1＝0，则△＝[﹣（2a+1）]2﹣4a×（﹣1）＝4a2+8a+1＝4（a+1）2﹣3，若4（a+1）2﹣3＜0，则函数图象与x轴没有交点，故选项B错误，
该函数的对称轴是直线x＝﹣＝1+，当a＞0时，则1+＞1，当x≥1+时，y随x的增大而增大，故选项C错误，
当a＜0时，1+＜1，x≥1+时，y随x的增大而减小，故选项D正确，
故选：D．
6．解：∵y＝x2﹣2x+m2+2＝（x﹣1）2+（m2+1），
∴顶点坐标为：（1，m2+1），
∵1＞0，m2+1＞0，
∴顶点在第一象限．
故选：A．
7．解：设抛物线的解析式是y＝ax2+bx+c，
∵抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，
∴
解得，
∴y＝﹣x2+5x﹣4，
设过点B（4，0），C（0，﹣4）的直线的解析式为y＝kx+m
解得，
即直线BC的直线解析式为：y＝x﹣4，
设点D的坐标是（x，﹣x2+5x﹣4）
∴＝﹣2（x﹣2）2+8，
∴当x＝2时，△BCD的面积取得最大值，最大值是8．
故选：C．
8．解：y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+1）+1﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，
故选：A．
9．解：∵图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，
∴这个交点坐标为（﹣4，0）、（4，0），
设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，
①当这个交点坐标为（﹣4，0）时，，
解得，
所以二次函数解析式为y＝x2+2x，
②当这个交点坐标为（4，0）时，，
解得，
所以二次函数解析式为y＝﹣x2+x，
综上所述，二次函数解析式为y＝x2+2x或y＝﹣x2+x．
故答案为：y＝x2+2x或y＝﹣x2+x．
10．解：把（﹣1，0），（1，﹣2）代入二次函数y＝x2+bx+c中，得
，
解得
，
那么二次函数的解析式是y＝x2﹣x﹣2．
函数的对称轴是：x＝
因而当y随x的增大而增大时，x的取值范围是：x≥．
故答案为：x≥．
11．解：∵y＝﹣x2+x+2，
∴当y＝0时，﹣x2+x+2＝0即﹣（x﹣2）（x+1）＝0，
解得
x＝2或x＝﹣1
故设P（x，y）（2＞x＞0，y＞0），
∴C＝2（x+y）＝2（x﹣x2+x+2）＝﹣2（x﹣1）2+6．
∴当x＝1时，C最大值＝6，
即：四边形OAPB周长的最大值为6．
故答案是：6．
12．解：由x2+3x+y﹣3＝0得
y＝﹣x2﹣3x+3，把y代入x+y得：
x+y＝x﹣x2﹣3x+3＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4≤4，
∴x+y的最大值为4．
故答案为：4．
13．解：∵二次函数y＝ax2+8x+（a﹣3）的图象最高点的纵坐标为3，
∴＝3，且a＜0，
解得：a＝﹣2或a＝8（舍去），
故答案为：﹣2．
14．解：∵y＝2x2﹣4x+m＝2（x﹣1）2+m﹣2，
∴m﹣2＝3，
解得m＝5，
故答案为：5．
15．解：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为P（﹣2，3），
∴对称轴x＝﹣＝﹣2…①，
又∵抛物线过点P（﹣2，3），且过A（﹣3，0）代入抛物线解析式得，
由①②③解得，a＝﹣3，b﹣12，c＝﹣9，
∴抛物线的关系式为：y＝﹣3x2﹣12x﹣9．
16．解：∵y＝2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x+1）﹣2+3＝2（x﹣1）2+1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为2（x﹣1）2+1，＞1．
17．解：（1）由题意得，，
解得b＝4，c＝3，
∴抛物线的解析式为．y＝x2﹣4x+3；
（2）∵点A与点C关于x＝2对称，
∴连接BC与x＝2交于点P，则点P即为所求，
根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），
y＝x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），
∴设直线BC的解析式为：y＝kx+b′，
，
解得，k＝﹣1，b′＝3，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
则直线BC与x＝2的交点坐标为：（2，1）
∴点P的坐标为：（2，1）．
18．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴方程x2+bx+c＝0的两根为x＝﹣1或x＝3，
∴﹣1+3＝﹣b，
﹣1×3＝c，
∴b＝﹣2，c＝﹣3，
∴二次函数解析式是y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴x＝1，顶点坐标（1，﹣4）．
（3）设P的纵坐标为yP，
∵S△PAB＝8，
∴AB?|yP|＝8，
∵AB＝3+1＝4，
∴|yP|＝4，
∴yP＝±4，
把yP＝4代入解析式得，4＝x2﹣2x﹣3，
解得，x＝1±2，
把yP＝﹣4代入解析式得，﹣4＝x2﹣2x﹣3，
解得，x＝1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB＝8．
19．解：（1）∵抛物线y1＝﹣x2+mx+n，直线y2＝kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．
∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），
∴﹣＝﹣1，＝1或9，
解得m＝﹣2，n＝0或8，
∴y1的解析式为y1＝﹣x2﹣2x或y1＝﹣x2﹣2x+8；
（2）①当y1的解析式为y1＝﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴交点是（0，0）和（﹣2，0），
∵y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），
∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣2，0），
把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得，
解得，
∴y2＝5x+10．
②当y1＝﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8＝0得x＝﹣4或2，
∵y2随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5），
∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），
把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得，
解得；
∴y2＝x+．
20．解：（1）y＝x2﹣6x+8＝（x2﹣6x+9）﹣9+8＝（x﹣3）2﹣1；
（2）∵抛物线y＝x2﹣6x+8开口向上，对称轴为x＝3，
∴当0≤x≤4时，x＝3，y有最小值﹣1；x＝0，y有最大值8；
（3）∵y＝0时，x2﹣6x+8＝0，解得x＝2或4，
∴当y＜0时，x的取值范围是2＜x＜4．
故答案为﹣1，8．
21．解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分别代入y＝x2+bx+c中，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）．
（2）由图可得当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．
（3）∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB＝4．
设P（x，y），则S△PAB＝AB?|y|＝2|y|＝10，
∴|y|＝5，
∴y＝±5．
①当y＝5时，x2﹣2x﹣3＝5，解得：x1＝﹣2，x2＝4，
此时P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）；
②当y＝﹣5时，x2﹣2x﹣3＝﹣5，方程无解；
综上所述，P点坐标为（﹣2，5）或（4，5）．
22．解：（1）把点A（﹣4，﹣3）代入y＝x2+bx+c得16﹣4b+c＝﹣3，即c﹣4b＝﹣19，
∵对称轴为直线x＝﹣3，
∴﹣＝﹣3，解得b＝6，
∴c＝﹣19+4b＝5，
∴抛物线的解析式是y＝x2+6x+5；
（2）如图，
∵CD∥x轴，
∴点C与点D关于直线x＝﹣3对称，
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为﹣7，
把x＝﹣7代入y＝x2+6x+5得y＝（﹣7）2+6×（﹣7）+5＝12，
∴C点坐标为（﹣7，12），
∵点B的坐标为（0，5），
∴△BCD的面积＝×8×（12﹣5）＝28．