1.3二次函数的性质 同步优生辅导训练 2021-2022学年浙教版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《1.3二次函数的性质》同步优生辅导训练（附答案）
一、选择题
1．已知函数y＝，则使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．给出下列函数：①y＝2x；②y＝﹣2x+1；③y＝（x＞0）；④y＝x2（x＜﹣1）．其中，y随x的增大而减小的函数是（　　）
A．①②
B．①③
C．②④
D．②③④
3．将y＝（2x﹣1）?（x+2）+1化成y＝a（x+m）2+n的形式为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．二次函数y＝x2﹣x+m（m为常数）的图象如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a﹣1时，函数值（　　）
A．y＜0
B．0＜y＜m
C．y＞m
D．y＝m
5．二次函数y＝﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y最大值＝﹣（t﹣3）2+2，则t的取值范围是（　　）
A．t＝0
B．0≤t≤3
C．t≥3
D．以上都不对
6．若实数x，y满足条件2x2﹣6x+y2＝0，则x2+y2+2x的最大值是（　　）
A．14
B．15
C．16
D．不能确定
7．已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（　　）
A．E，F
B．E，G
C．E，H
D．F，G
8．下面说法错误的是（　　）
A．直线y＝x就是一、三象限的角平分线
B．函数y＝3x﹣10的图象经过点（3，﹣1）C．函数中y随x的增大而减小
D．抛物线y＝x2﹣2x+1的对称轴是直线x＝1
9．已知：二次函数y＝x2+2x+a（a为大于0的常数），当x＝m时的函数值y1＜0；则当x＝m+2时的函数值y2与0的大小关系为（　　）
A．y2＞0
B．y2＜0
C．y2＝O
D．不能确定
10．下列函数：①y＝2x﹣3，②y＝﹣6x，③，④，⑤y＝4x2+2x，其中y随着x的增大而减小有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．在初中已学过的一次函数、反比例函数和二次函数等函数中，它们的图象与任意一条直线x＝a（a是任意实数）交点的个数为（　　）
A．必有一个
B．一个或两个
C．至少一个
D．至多一个
12．若二次函数y＝ax2+bx+1的图象与平行于x轴的直线交于二点的横坐标分别为m、n．则：当x＝m+n时，二次函数y的值是（　　）
A．1
B．2
C．﹣1
D．O
二、填空题
13．已知抛物线y＝x2，过其对称轴上一点P的直线AB交抛物线于A，B两点，且∠AOB＝Rt∠，试写出满足条件的直线AB的解析式　
　（只要写出一个即可）
14．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y＝﹣x+3上，设点M坐标为（a，b），则y＝﹣abx2+（a+b）x的顶点坐标为　
　．
15．若的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为　
　．
16．若直线y＝b（b为实数）与函数y＝|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是　
　．
17．已知函数y＝4x2﹣4ax+a2﹣2a+2在0≤x≤2上有最小值3，则a的值　
　．
18．若二次函数y＝x2+（a+17）x+38﹣a与反比例函数y＝的交点是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），则正整数a的值是　
　．
19．老师给出一个函数，甲，乙，丙，丁四位同学各指出这个函数的一个性质：
甲：函数的图象不经过第三象限；乙：函数的图象经过第一象限；
丙：当x＜2时，y随x的增大而减小；丁：当x＜2时，y＞0．
已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数　
　．
20．已知函数y＝x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，则实数a的值为　
　．
21．分式的最小值是　
　．
22．如果抛物线y＝x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于　
　．
23．设a，b满足a2+b2﹣2a﹣4＝0，则2a﹣b的最大值与最小值之差为　
　．
24．设x、y、z满足关系式x﹣1＝＝，则x2+y2+z2的最小值为　
　．
三、解答题
25．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝﹣x+m相交于第一象限内不同的两点A（4，n），B（1，4），
（1）求此抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P，使直线OP将线段AB平分？若存在直接求出P点坐标；若不存在说明理由．
26．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，4）三点，抛物线对称轴与x轴交于点D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点E为对称轴上一点，将线段ED绕点E顺时针方向旋转90°得到线段EF，若点F恰好在该抛物线上，求线段DE的长．
27．如图，在△AOB中，∠O＝90°，AO＝18cm，BO＝30cm，动点M从点A开始沿边AO以1cm/s的速度向终点O移动，动点N从点O开始沿边OB以2cm/s的速度向终点B移动，一个点到达终点时，另一个点也停止运动．如果M、N两点分别从A、O两点同时出发，设运动时间为ts时四边形ABNM的面积为Scm2．
（1）求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（2）判断S有最大值还是有最小值，用配方法求出这个值．
28．已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），顶点为B，且抛物线不过第三象限．
（1）过点B作直线l垂直于x轴于点C，若点C坐标为（2，0），a＝1，求b和c的值；
（2）比较与0的大小，并说明理由；
（3）若直线y2＝2x+m经过点B，且与抛物线交于另外一点D（，b+8），求当≤x＜5时y1的取值范围．
参考答案
1．解：如图，
当y＝k成立的x值恰好有三个，即直线y＝k与两抛物线有三个交点，
而当x＝3，两函数的函数值都为3，即它们的交点为（3，3），
所以k＝3．
故选：D．
2．解：①y＝2x，正比例函数，k＞0，故y随着x的增大而增大；
②y＝﹣2x+1，一次函数，k＜0，故y随着x增大而减小；
③y＝（x＞0），反比例函数，k＞0在第一象限内y随x的增大而减小；
④y＝x2（x＜﹣1），图象在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；而在对称轴左侧，y随着x的增大而减小．
故选：D．
3．解：y＝（2x﹣1）（x+2）+1
＝2x2+3x﹣1
＝2（x2+x+）﹣﹣1
＝2（x+）2﹣．
故选：C．
4．解：∵对称轴是直线x＝，0＜x1＜
故由对称性＜x2＜1
当x＝a时，y＜0，
则a的范围是x1＜a＜x2，
所以a﹣1＜0，
当x时y随x的增大而减小，
当x＝0时函数值是m．
因而当x＝a﹣1＜0时，函数值y一定大于m．
故选：C．
5．解：∵y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，
当t≤3≤t+2时，即1≤t≤3时，函数为增函数，
ymax＝f（3）＝2，与ymax＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．
当3≥t+2时，即t≤1时，ymax＝f（t+2）＝﹣（t﹣1）2+2，与ymax＝﹣（t﹣3）2+2矛盾．
当3≤t，即t≥3时，ymax＝f（t）＝﹣（t﹣3）2+2与题设相等，
故t的取值范围t≥3，
故选：C．
6．解：由已知得：y2＝﹣2x2+6x，
∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x，
＝﹣x2+8x，
＝﹣（x﹣4）2+16，
又y2＝﹣2x2+6x≥0，
解得：0≤x≤3，
∴当x＝3时，y＝0，所以x2+y2+2x的最大值为15．
故选：B．
7．解：∵F（2，2），G（4，2），
∴F和G点为抛物线上的对称点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
∴H（3，1）点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+1，
把E（0，10）代入得9a+1＝10，解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2+1．
故选：C．
8．解：A、直线y＝x就是一、三象限的角平分线，正确，
B、把点（3，﹣1）代入y＝3x﹣10中，式子成立，正确，
C、反比例函数系数k＝2，函数图象经过一三象限，在各个象限内，y随x增大而减小，在整个定义域内y不是随x增大而减小，故本选项错误，
D、抛物线y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故可得对称轴为x＝1，正确．
故选：C．
9．解：设二次函数y＝x2+2x+a的图象与x轴交于点（x1，0）、（x2，0）（x1＜x2），
∵当x＝0时，y＝x2+2x+a＝a≥0，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴﹣2≤x1＜m＜x2≤0，
∴0＜m+2＜2，
∴当x＝m+2时，函数值y＞0．
故选：A．
10．解：①因为k＞0，可知函数随x的增大而增大，此选项错误；
②由于k＜0，可知函数随x的增大而减小，此选项正确；
③是反比例函数，有两个象限，此选项错误；
④是反比例函数，有两个象限，此选项错误；
⑤函数是二次函数，故以对称轴为分界线，两边既有增大而减小的，也有增大而增大的，此选项错误．
故选：A．
11．解：∵任意一条直线x＝a（a是任意实数）是平行于y轴的一条直线，
∴在初中已学过的一次函数、反比例函数和二次函数等函数中，
只有反比例函数与x＝0时，没有交点，其他只有一个交点．
∴它们的图象与任意一条直线x＝a交点的个数至多有一个．
故选：D．
12．解：∵过横坐标分别为m、n的两点的直线与x轴平行，
∴m+n＝﹣×2，
∴＝﹣，
∴＝﹣，
即x＝m+n与x＝0关于对称轴对称，
∴x＝m+n时，二次函数y的函数值与x＝0时的函数值相等，
当x＝0时，y＝a×02+b×0+1＝1，
∴当x＝m+n时，二次函数y的值是1．
故选：A．
13．解：设A（x1，x12）、B（x2，x22），
∵∠AOB＝Rt∠，
∴OA2+OB2＝AB2，
即x12+x14+x2+x24＝（x1﹣x2）2+（x12﹣x22）2，
整理可得x1x2＝﹣4，
设直线AB解析式为y＝kx+b，
则，
两式相减可得k＝（x1+x2），
，b＝2，
取k＝1，
∴y＝x+2，
故答案为：y＝x+2
14．解：∵M、N两点关于y轴对称，
∴M坐标为（a，b），N为（﹣a，b），分别代入相应的函数中得，b＝①，a+3＝b②，
∴ab＝，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝11，a+b＝±，
∴y＝﹣x2±x，
∵＝±，＝，
∴顶点坐标（，）或（﹣，）．
故答案为：（，）或（﹣，）．
15．解：由1﹣x≥0，且≥0，得≤x≤1．
．
由于，
所以当时，y2取到最大值1，故a＝1．
当或1时，y2取到最小值，故．
所以：．
故答案为：．
16．解：∵当x2﹣4x+3＝0时，x＝1或x＝3，
∴当x＜1或x＞3时，x2﹣4x+3＞0，即：y＝|x2﹣4x+3|，函数值大于0，
当1＜x＜3时，﹣1≤x2﹣4x+3＜0，即：y＝|﹣x2+4x﹣3|，函数最大值为1，
故符合条件的实数b的取值范围是0＜b≤1．
17．解：配方得y＝4（x﹣）2﹣2a+2，故函数图象开口朝上，且对称轴为x＝．
当≤0，即a≤0时，当x＝0时，y最小值＝a2﹣2a+2＝3，解得a＝1﹣或a＝1+（舍）；
当0＜＜2，即0＜a＜4时，当x＝时，y最小值＝﹣2a+2＝3，解得a＝﹣（舍）；
当≥2时，当x＝2时，y最小值＝8﹣8a+a2﹣2a+2＝3，
解得a＝5+．
综上所述，a的值是1﹣或5+．
故答案是：1﹣或5+．
18．解：联立方程组
，
消去y得，x2+（a+17）x+38﹣a＝，
即x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56＝0，
当x＝1时，x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56＝0，
∴式子x3+（a+17）x2+（38﹣a）x﹣56中含有因式（x﹣1），
分解因式得（x﹣1）[x2+（a+18）x+56]＝0，（1）
显然x1＝1是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点．
因为a是正整数，所以关于x的方程x2+（a+18）x+56＝0，（2）
其判别式Δ＝（a+18）2﹣224＞0，它一定有两个不同的实数根．
而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，
因此它的判别式Δ＝（a+18）2﹣224应该是一个完全平方数．
设（a+18）2﹣224＝k2（其中k为非负整数），则（a+18）2﹣k2＝224，即（a+18+k）（a+18﹣k）＝224．
显然a+18+k与a+18﹣k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224＝112×2＝56×4＝28×8，
所以
或或，
解得
或
或．
而a是正整数，所以只可能
或．
故答案为：a＝39或a＝12．
19．解：∵当x＜2时，y随x的增大而减小．当x＜2时，y＞0．
∴可以写一个对称轴是直线x＝2，开口向上的二次函数就可以．
∵函数的图象不经过第三象限．
∴所写的二次函数的顶点可以在x轴上方，
设顶点是（2，0），并且二次项系数大于0的二次函数，就满足条件．
如y＝（x﹣2）2，答案不唯一．
故答案为：y＝（x﹣2）2．
20．解：配方y＝（x+a）2﹣1，
函数的对称轴为直线x＝﹣a，
顶点坐标为（﹣a，﹣1）．
①当0≤﹣a≤3即﹣3≤a≤0时，
函数最小值为﹣1，不合题意；
②当﹣a＜0即a＞0时，
∵当x＝3时，y有最大值；当x＝0时，y有最小值，
∴，解得a＝2；
③当﹣a＞3即a＜﹣3时，
∵当x＝3时，y有最小值；当x＝0时，y有最大值，
∴，解得a＝﹣5．
∴实数a的值为2或﹣5．
故答案为2或﹣5．
21．解：令y＝＝6﹣，
问题转化为考虑函数z＝x2+2x+2的最小值，
∵z＝x2+2x+2＝（x+1）2+1
∴当x＝﹣1时，zmin＝1，
∴ymin＝6﹣2＝4，
即分式分式的最小值是：4．
故答案为：4．
22．解：由题意，得：＝±3，
当＝3时，c＝14，
当＝﹣3时，c＝8．
即c的值为14或8．
故答案为：14或8．
23．解：设t＝2a﹣b，故b＝2a﹣t，
∵a2+b2﹣2a﹣4＝0，
∴a2+4a2﹣4at+t2﹣2a﹣4＝0，
即5a2﹣（4t+2）a+t2﹣4＝0，
Δ＝（4t+2）2﹣20（t2﹣4）≥0，
解得﹣3≤t≤7，
故2a﹣b的最大值与最小值之差为7﹣（﹣3）＝10．
故答案为10．
24．解：令x﹣1＝＝＝k，则x＝k+1，y＝2k﹣1，z＝3k+2，
于是x2+y2+z2＝（k+1）2+（2k﹣1）2+（3k+2）2，
＝k2+2k+1+4k2+1﹣4k+9k2+4+12k
＝14k2+10k+6，
其最小值为＝＝．
25．解：（1）把B（1，4）代入y＝﹣x+m得，m＝5，
∴直线的解析式为：y＝﹣x+5，
∴A（4，1），
把A（4，1），B（1，4）代入y＝﹣x2+bx+c得，，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x+1；
（2）存在，
设P点坐标为（m，﹣m2+4m+1），
∵线段AB的中点E的坐标为（，），
∴直线OP的解析式为：y＝x，
∴m＝﹣m2+4m+1，
解得：m＝或m＝，
∴P点坐标为（，）（，）．
26．解：（1）把A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，4）代入y＝ax2+bx+c得，，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）∵x＝﹣＝1，
∴D（1，0），
∵点E为对称轴上一点，
∴设E（1，m），
则DE＝|m|，
∵将线段ED绕点E顺时针方向旋转90°得到线段EF，
∴∠FED＝90°，EF＝DE＝|m|，
当点E在x轴的上面，
∴F（1﹣m，m），
∵点F恰好在该抛物线上，
∴m＝﹣（1﹣m）2+（1﹣m）+4，
解得：m＝﹣1+，m＝﹣1﹣，（不合题意，舍去），
当点E在x轴的下面，
∴F（1﹣m，m），
∵点F恰好在该抛物线上，
∴m＝﹣（1﹣m）2+1﹣m+4，
解得：m＝﹣1+（舍弃），m＝﹣1﹣，
∴线段DE的长为：﹣1或1+．
27．解：（1）由题意得，AM＝t，ON＝2t，则OM＝OA﹣AM＝18﹣t，
四边形ABNM的面积S＝△AOB的面积﹣△MON的面积
＝×18×30﹣×（18﹣t）×2t
＝t2﹣18t+270（0＜t≤15）；
（2）S＝t2﹣18t+270
＝t2﹣18t+81﹣81+270
＝（t﹣9）2+189，
∵a＝1＞0，
∴S有最小值，这个值是189．
28．解：∵抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0，a≠c），经过A（1，0），
抛物线不过第三象限，则a＞0，
把点代入函数即可得到：b＝﹣a﹣c；
（1）由题意得：函数对称轴是直线x＝2＝，而a＝1、b＝﹣a﹣c，
解得：b＝﹣4，c＝3；
（2）由抛物线开口向上，且过点A，知：顶点在x轴下方，
即：＜0；
（3）由韦达定理得：
x1+x2＝，x1x2＝，
其中x1＝1，则x2＝，而D坐标是（，b+8），
故：b+8＝0，即b＝﹣8，
∵a+c＝﹣b，∴a+c＝8…①，
把B、C两点代入直线解析式易得：c﹣a＝4…②，
联立①、②并求解得：a＝2，c＝6
函数表达式为：y＝2x2﹣8x+6，
A、B、C点的坐标分别为（1，0）、（2，﹣2）、（3，0）
当≤x＜5时，
y1的取值范围易证为：16＞y1≥﹣2，