1.4二次函数的应用 同步能力提升训练 2021-2022学年浙教版九年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《1.4二次函数的应用》同步能力提升训练（附答案）
一、选择题
1．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论不正确的是（　　）
A．b2﹣4ac＜0
B．a+b+c＜0
C．c﹣a＝2
D．方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根
2．抛物线y＝2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．若一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0无实数根，则二次函数y＝x2+（k+1）x+k的图象的顶点在（　　）
A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
4．根据下表，确定方程ax2+bx+c＝0的一个解的取值范围是（　　）
x
2
2.23
2.24
2.25
ax2+bx+c
﹣0.05
﹣0.02
0.03
0.07
A．2＜x＜2.23
B．2.23＜x＜2.24
C．2.24＜x＜2.25
D．2.24＜x≤2.25
5．小明和他爸爸做了一个实验，小明由一幢245米高的楼顶随手放下一只苹果，由他爸爸测量有关数据，得到苹果下落的路程和下落的时间之间有下面的关系：
下落时间t（s）
1
2
3
4
5
6
下落路程s（m）
5
20
45
80
125
180
下列说法错误的是（　　）
A．苹果每秒下落的路程不变
B．苹果每秒下落的路程越来越长
C．苹果下落的速度越来越快
D．可以推测，苹果下落7秒后到达地面
6．如图，二次函数的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2
B．﹣2＜x＜4
C．x＞0
D．x＞4
7．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个，已知该商品单价每上涨2元，其销售量就减少10个．设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是（　　）
A．y＝（x﹣35）（400﹣5x）
B．y＝（x﹣35）（600﹣10x）
C．y＝（x+5）（200﹣5x）
D．y＝（x+5）（200﹣10x）
8．如图是抛物线形拱桥的剖面图，拱底宽12m，拱高8m，设计警戒水位为6m，当拱桥内水位达到警戒水位时，拱桥内的水面宽度是（　　）
A．3m
B．6m
C．3m
D．6m
二、填空题
9．已知抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c＝　
　．
10．如图抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴的一个交点（1，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标是　
　．
11．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为　
　．
12．已知关于x的函数y＝ax2+x+1（a为常数），若函数的图象与x轴恰有一个交点，则a的值为　
　．
13．如图二次函数y＝ax2+bx+c部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是　
　．
14．体育测试时，初三一名学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线y＝﹣x2+x+12的一部分，该同学的成绩是　
　．
15．如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连接EF．则图中阴影部分图形的面积为　
　．
三、解答题
16．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣2x+80（20≤x≤40），设这种健身球每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？
17．某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？
18．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）联结GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G坐标．
19．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+4与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）
（1）求抛物线的解析式及其对称轴．
（2）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；
（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？
（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
21．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；
（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．
22．如图1，抛物线y＝ax2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B（3，0），交y轴于点C
（1）求a的值．
（2）过点B的直线l与（1）中的抛物线有且只有一个公共点，则直线l的解析式为　
　．
（3）如图2，已知F（0，﹣7），过点F的直线m：y＝kx﹣7与抛物线y＝x2﹣2x﹣3交于M、N两点，当S△CMN＝4时，求k的值．
23．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，3）
（1）求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；
（2）若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．设点P的横坐标为t
①求线段PM的最大值；
②S△PBM：S△MHB＝1：2时，求t值；
③当△PCM是等腰三角形时，直接写点P的坐标．
参考答案
1．解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以A错误；
∵顶点为D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以B正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），
∴a﹣b+c＝2，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以C正确；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值为2，
即只有x＝﹣1时，ax2+bx+c＝2，
∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以D正确．
故选：A．
2．解：抛物线y＝2x2﹣2x+1，显然抛物线与y轴有一个交点，
令y＝0，得到2x2﹣2x+1＝0，
∵△＝8﹣8＝0，
∴抛物线与x轴有一个交点，
则抛物线与坐标轴的交点个数是2，
故选：C．
3．解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0无实数根，
∴△＝4+4k＜0，即k＜﹣1，则二次函数y＝x2+（k+1）x+k的图象与x轴有两个交点，对称轴的横坐标x＝﹣＝﹣＞0，与y轴交点为（0，k），故函数图象的顶点第四象限．
故选：A．
4．解：∵对于函数y＝ax2+bx+c，
当x＝2.23时y＜0，
当x＝2.24时y＞0，
可见，x取2.23与2.24之间的某一值时，y＝0，
则方程ax2+bx+c＝0的一个解的取值范围是2.23＜x＜2.24．
故选：B．
5．解：由图表可知，苹果在下落过程中，越来越快，
每秒之间速度增加依次为15、25、35、45等等，
所以观察备选答案A不对．
故选：A．
6．解：∵二次函数的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，
∴该函数的对称轴是直线x＝＝1，
∴当y＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜4，
故选：B．
7．解：设这种商品的售价为x元时，获得的利润为y元，根据题意可得：y＝（x﹣35）（400﹣5x），
故选：A．
8．解：如图建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax2+c，由题意，得，
解得：，
∴y＝﹣x2+8；
当y＝6时，即6＝﹣x2+8，
解得：x＝±3，
∴拱桥内的水面宽度＝6m，
故选：B．
9．解：∵抛物线y＝ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，
∴抛物线y＝ax2+x+c经过（﹣1，0），
∴a﹣1+c＝0，
∴a+c＝1，
故答案为1．
10．解：设另一个交点横坐标为x，
∵y＝﹣x2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，
∴x+1＝﹣1×2，
∴x＝﹣3．
故答案为（﹣3，0）．
11．解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，
∵抛物线的对称轴过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），
∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），
把（﹣2，0）代入解析式得：0＝4a﹣2b+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
故答案为：0．
12．解：①函数为二次函数，y＝ax2+x+1（a≠0），
∴△＝1﹣4a＝0，
∴a＝，
②函数为一次函数，
∴a＝0，
∴a的值为或0；
故答案为或0．
13．解：由图可知，对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴函数图象与x轴的另一交点坐标为（﹣1，0），
∴ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5．
故答案为：x＜﹣1或x＞5．
14．解：在抛物线y＝﹣x2+x+12中，
∵当y＝0时，x＝6+6，x＝6﹣6（舍去）
∴该同学的成绩是6+6，
故答案为：6+6．
15．解：令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，
则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，
S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝4．
故：答案为4．
16．解：（1）根据题意可得：w＝（x﹣20）?y
＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600，
w与x之间的函数关系为：w＝﹣2x2+120x﹣1600；
（2）根据题意可得：w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，w最大值为200．
答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．
（3）当w＝150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200＝150．
解得x1＝25，x2＝35，
∵35＞28，
∴x2＝35不符合题意，应舍去．
答：该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润，销售单价定为25元．
17．解：（1）设函数的表达式为y＝kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），
得，
解得，
∴该函数的表达式为y＝﹣0.5x+80，
（2）根据题意，得，
（﹣0.5x+80）（80+x）＝6750，
解得，x1＝10，x2＝70
∵投入成本最低．
∴x2＝70不满足题意，舍去．
∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．
（3）根据题意，得
w＝（﹣0.5x+80）（80+x）
＝﹣0.5
x2+40
x+6400
＝﹣0.5（x﹣40）2+7200
∵a＝﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值
∴当x＝40时，w最大值为7200千克．
∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．
18．解：（1）将A（﹣4，﹣4）、B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+4．
（2）设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将A（﹣4，﹣4）、B（0，4）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线AB的表达式为y＝2x+4．
设点E的坐标为（x，2x+4），则点G的坐标为（x，﹣x2﹣2x+4）．
∵四边形GEOB是平行四边形，
∴GE＝﹣x2﹣2x+4﹣（2x+4）＝﹣x2﹣4x＝4，
解得：x＝﹣2，
∴点G的坐标为（﹣2，4）．
19．解：（1）∵点B（8，0）在抛物线y＝﹣x2+bx+4上，
∴﹣×64+8b+4＝0，
解得：b＝，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4，
对称轴为直线x＝﹣＝3；
（3）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
∵MN∥y轴，
∴MN＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4），
＝﹣x2+x+4+x﹣4，
＝﹣x2+2x，
＝﹣（x﹣4）2+4，
∴当x＝4时，MN的值最大，最大值为4；
（4）由勾股定理得，AC＝＝2，
过点C作CD⊥对称轴于D，则CD＝3，
①AC＝CQ时，DQ＝＝＝，
点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4+，
此时点Q1（3，4+），
点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为4﹣，
此时点Q2（3，4﹣），
②点Q为对称轴与x轴的交点时，AQ＝5，
CQ＝＝5，
∴AQ＝CQ，
此时，点Q3（3，0），
③当AC＝AQ时，∵AC＝2，点A到对称轴的距离为5，2＜5，
∴这种情形不存在．
综上所述，点Q的坐标为（3，4+）或（3，4﹣）或（3，0）时，△ACQ为等腰三角形．
20．解：（1）根据题意，得S＝x（24﹣3x），
即所求的函数解析式为：S＝﹣3x2+24x，
又∵0＜24﹣3x≤10，
∴，
（2）根据题意，设AB长为x，则BC长为24﹣3x
∴﹣3x2+24x＝45．
整理，得x2﹣8x+15＝0，
解得x＝3或5，
当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立，
当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立，
∴AB长为5m；
（3）S＝24x﹣3x2＝﹣3（x﹣4）2+48
∵墙的最大可用长度为10m，0≤BC＝24﹣3x≤10，
∴，
∵对称轴x＝4，开口向下，
∴当x＝m，有最大面积的花圃．
即：x＝m，
最大面积为：24×﹣3×（）2＝m2
21．解：（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x＝﹣＝2…①，
抛物线过是A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y＝ax2+bx﹣3，
把B点坐标代入上式得：9＝25a+5b﹣3…②，
联立①、②解得：a＝，b＝﹣，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3，
当x＝2时，y＝﹣，即顶点D的坐标为（2，﹣）；
（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB＝13，
①当AB＝AC时，设点C坐标（m，0），
则：（m）2+（﹣3）2＝132，解得：m＝±4，
即点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；
②当AB＝BC时，设点C坐标（m，0），
则：（5﹣m）2+92＝132，解得：m＝5，
即：点C坐标为（5，0）或（5﹣2，0），
③当AC＝BC时，设点C坐标（m，0），
则：点C为AB的垂直平分线于x轴的交点，
则点C坐标为（，0），
故：存在，
点C的坐标为：（4，0）或（﹣4，0）或（5，0）或（5﹣2，0）或（，0）；
（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H，
设：AB所在的直线过点A（0，﹣3），则设直线AB的表达式为y＝kx﹣3，
把点B坐标代入上式，9＝5k﹣3，则k＝，
故函数的表达式为：y＝x﹣3，
设：点P坐标为（m，m2﹣m﹣3），则点H坐标为（m，m﹣3），
S△PAB＝?PH?xB＝（﹣m2+12m），
当m＝2.5时，S△PAB取得最大值为：，
答：△PAB的面积最大值为．
22．解：（1）把（3，0）代入y＝ax2﹣2x﹣3，
得：0＝9a﹣6﹣3，∴a＝1；
（2）当直线与y轴平行时，直线l的解析式为：x＝3
当直线与y轴不平行时，设：直线l的解析式为：y＝kx+b，
将点B坐标代入上式，解得：b＝﹣3k
则直线的表达式为：y＝kx﹣3k…①，
抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…②，
联立①②并整理得：x2﹣（k+2）x+（3k﹣3）＝0，
Δ＝b2﹣4ac＝（k+2）2﹣4（3k﹣3）＝0，
解得：k＝4，
故：直线的表达式为：x＝3或y＝4x﹣12；
（3）联立得：x2﹣（2+k）x+4＝0，
xM+xN＝k+2，xM?xN＝4，
∵S△CMN＝|S△CFN﹣S△CFM|＝×CF×|xM﹣xN|＝4，
∴×4×＝4，
即：（k+2）2＝20，
解得：k＝﹣2±2．
23．解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得：
，解得：，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴二次函数图象的顶点坐标为（1，4）．
（2）①设直线BC的表达式为y＝mx+n（m≠0），
将B（3，0），C（0，3）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3．
∵点P的横坐标为t（0＜t＜3），
∴点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点M的坐标为（t，﹣t+3），
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，
∴线段PM的最大值为．
②∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点M的坐标为（t，﹣t+3），
∴点H的坐标为（t，0），
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MH＝﹣t+3．
∵△PBM和△MHB等高，S△PBM：S△MHB＝1：2，
∴MH＝2PM，即﹣t+3＝﹣2t2+6t，
解得：t1＝，t2＝3（不合题意，舍去），
∴当S△PBM：S△MHB＝1：2时，t的值为．
③∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），点M的坐标为（t，﹣t+3），点C的坐标为（0，3），
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，CM＝＝t，PC＝＝t．
当PM＝PC时，有﹣t2+3t＝t，
∵0＜t＜3，
∴原方程可整理为：2t﹣4＝0，
解得：t＝2，
∴点P的坐标为（2，3）；
当PM＝CM时，有﹣t2+3t＝t，
解得：t1＝0（舍去），t2＝3﹣，
∴点P的坐标为（3﹣，﹣2+4）；
当CM＝PC时，有t＝t，
∵0＜t＜3，
∴原方程可整理为：t2﹣4t+3＝0，
解得：t1＝1，t2＝3（舍去），
∴点P的坐标为（1，4）．
综上所述：当△PCM是等腰三角形时，点P的坐标为（2，3）或（3﹣，﹣2+4）或（1，4）．