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1.3证明（2）
学案
课题
1.3证明（2）
单元
第一单元
学科
数学
年级
八年级上册
学习目标
掌握三角形的内角和定理及推论，并能进行简单的运用；2.了解证明命题的格式和一般步骤．
重点
继续学会证明的方法和表述.
难点
例4需添辅助线，证明思路不易形成。
教学过程
导入新课
【引入思考】什么是证明？___________________________________________________________________________________________________________________________________________________为什么需要证明？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
新知讲解
提炼概念典例精讲
例3
证明命题“三角形三个内角的和等于180°”是真命题.已知：∠BAC，∠B，∠C是△ABC的三个内角.求证：∠BAC+∠B+∠C=180°.练习：证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是真命题。思考：这一题与上一题最大的不同在哪里？例4
已知：如图，∠B+∠D=∠BCD.求证：AB∥DE.
课堂练习
巩固训练
1．如图，下列关于△ABC的外角的说法正确的是( )A．∠HBA是△ABC的外角B．∠HBG是△ABC的外角C．∠DCE是△ABC的外角D．∠GBA是△ABC的外角2．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是( )A．∠A＞∠1＞∠2
B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1
D．∠2＞∠A＞∠13.如图，在五角星图形中，求：∠A+
∠B+
∠C+
∠D+
∠E的度数。4.AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于O，∠BAC＝50°，∠C＝54°.求：∠AEB和∠AOB的度数．答案引入思考
要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理，一步一步推出结论成立，这样的推理过程叫做证明
。1.目测（直观）→错觉；2.列举→不甚枚举，找反例难；3.测量→存在误差提炼概念典例精讲
例3证明：过A
作
AE
//
BC则∠C＝∠2，∠B＝∠1（两直线平行，内错角相等）∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠1+∠2＝∠DAE＝180?（平角的定义）在解决几何问题时,有时需要添加辅助线,添辅助线的过程要写入证明中,
辅助线通常画成虚线。你还有其他证明方法吗？证法2：作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，则∠1＝∠Ａ（两直线平行，内错角相等）∠2＝∠Ｂ（两直线平行，同位角相等）∵∠1+∠2+∠ACB＝180°∴∠Ａ+∠Ｂ+∠ACB＝180°证法3:证明：在BC上任取一点D，过D作DE//AB，作DF//AC。∴∠1=∠B，∠2=∠C，∠DEC=∠A，
∵DE∥AB，∴∠3=∠DEC，
∴∠3=∠A，
∵∠1+∠2+∠3=180°∴∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°练习：上一题已知和求证是给出的，这一题需要将文字转化为数学语言。画：根据题意,画出图形写：找出命题的条件和结论。“已知”----条件，“求证”----结论.已知:如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线求证：
CD=AB.证：在“证明”中写出推理过程证明：如图，延长CD到E，使DE=CD，连接AE、BE，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=BD，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形AEBC是矩形，
∴AD=BD=CD=DE，
∴CD=AB．
例4
证明
如图，延长BC，交DE于点F.∵∠B+∠D=∠BCD(已知），又∵∠BCD=∠D+∠CFD(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠B+∠D=∠D+∠CFD,∴∠B=∠CFD.
∴AB∥DE(内错角相等，两直线平行）.巩固训练
1.D
2.B3.解：如右图所示，
∵∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，
∴∠1=∠C+∠A+∠D，
又∵∠1+∠B+∠E=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故答案是：180°．5.解：∵∠BAC＝50°，∠C＝54°，
∴∠ABC＝180°－∠C－∠BAC＝76°，
∵BE平分∠ABC，
在△ABE中，∠AEB＝180°－∠BAC－∠ABE
＝180°－50°－38°＝92°，
∵AD是高线，∠ABD＝76°，∴
∠BAD＝14°.
在△OBA中，∠AOB＝180°－∠BAO－∠ABO.
∴∠AOB＝128°.
综上，∠AEB＝92°，∠AOB＝128°.
课堂小结
（1）三角形内角和定理的证明方法；（2）三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。（3）常用的几何证明方法：由结论出发寻求使结论成立的条件，进而形成解题思路。（4）初步学会添加辅助线。
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1.3
证明（2）
浙教版
七年级上
新知导入
情境引入
什么是证明？
要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理，一步一步推出结论成立，这样的推理过程叫做证明
。
合作学习
1.目测（直观）→错觉；
2.列举→不甚枚举，找反例难；
3.测量→存在误差
为什么需要证明？
典例精讲
新知讲解
证明
如图，过点A作直线MN∥BC，
则∠B=∠MAB(两直线平行，内错角相等）
同理，∠C=∠NAC.
∴∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠MAB+∠NAC=180°.
A
B
C
M
N
例3
证明命题“三角形三个内角的和等于180°”是真命题.
已知：∠BAC，∠B，∠C是△ABC的三个内角.
求证：∠BAC+∠B+∠C=180°.
已知：如图，
△ABC.
求证：∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°
证明:
作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，则
还有其他证法吗？
∠1＝∠Ａ（两直线平行，内错角相等）
∠2＝∠Ｂ（两直线平行，同位角相等）
∵∠1+∠2+∠ACB＝180°
∴∠Ａ+∠Ｂ+∠ACB＝180°
A
B
C
1
2
D
E
已知：如图，
△ABC.
求证：∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°
你还能想到其他证法吗？
证明：在BC上任取一点D，过D作DE//AB，作DF//AC。
A
B
C
∴∠1=∠B，∠2=∠C，∠DEC=∠A，
∵DE∥AB，∴∠3=∠DEC，
∴∠3=∠A，
∵∠1+∠2+∠3=180°
∴∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°
3.添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，但辅助线的添法没有一定的规律，要根据需要而定,平时做题时要注意总结.
1.辅助线是为了证明需要在原图上添画的线.
（辅助线通常画成虚线）
2.它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用.
如图，∠ACD是由△ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的角，这样的角叫做该三角形的外角.
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
由∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，
得∠ACD=∠A+∠B.
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
这是由三角形的内角和定理直接推理得到的一个推论.
推论也可以作为推理的依据.
归纳概念
证明几何命题时，表述格式一般是：
（1）按题意画出图形。
（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论.
（3）在“证明”中写出推理过程.
为了使我们的解答更为规范和有条理,请同学们总结一下证明一个命题的一般步骤.
证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是真命题。
1.根据题意，画出图形
2.写出命题的条件和结论
3.在“证明”中写出推理过程
已知:如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线
A
C
D
B
证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是真命题。
已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线
例4
已知：如图，∠B+∠D=∠BCD.求证：AB∥DE.
A
B
C
D
E
F
分析
如图，延长BC，交DE于点F.
根据平行线的判定定理，只要证明∠B=∠CFD,或∠B+∠BFE=180°，就能证明AB∥DE.
证明
如图，延长BC，交DE于点F.
∵∠B+∠D=∠BCD(已知），
又∵∠BCD=∠D+∠CFD(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠B+∠D=∠D+∠CFD,
∴∠B=∠CFD.
∴AB∥DE(内错角相等，两直线平行）.
A
B
C
D
E
F
例4
已知：如图，∠B+∠D=∠BCD.求证：AB∥DE.
课堂练习
1．如图，下列关于△ABC的外角的说法正确的是( )
A．∠HBA是△ABC的外角
B．∠HBG是△ABC的外角
C．∠DCE是△ABC的外角
D．∠GBA是△ABC的外角
D
2．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是( )
A．∠A＞∠1＞∠2
B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1
D．∠2＞∠A＞∠1
B
3.如图，在五角星图形中，
求：∠A+
∠B+
∠C+
∠D+
∠E的度数。
解：如右图所示，
∵∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，
∴∠1=∠C+∠A+∠D，
又∵∠1+∠B+∠E=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故答案是：180°．
4.AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于O，∠BAC＝50°，∠C＝54°.求：∠AEB和∠AOB的度数．
解：∵∠BAC＝50°，∠C＝54°，
∴∠ABC＝180°－∠C－∠BAC＝76°，
∵BE平分∠ABC，
在△ABE中，∠AEB＝180°－∠BAC－∠ABE
＝180°－50°－38°＝92°，
∵AD是高线，∠ABD＝76°，∴
∠BAD＝14°.
在△OBA中，∠AOB＝180°－∠BAO－∠ABO.
∴∠AOB＝128°.
综上，∠AEB＝92°，∠AOB＝128°.
课堂总结
（1）三角形内角和定理的证明方法；
（2）三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
（3）常用的几何证明方法：由结论出发寻求使结论成立的条件，进而形成解题思路。
（4）初步学会添加辅助线。
本节课你学到了什么？
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1.3证明（2）
教案
课题
1.3证明（2）
单元
第一单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
掌握三角形的内角和定理及推论，并能进行简单的运用；2.了解证明命题的格式和一般步骤．
重点
继续学会证明的方法和表述.
难点
例4需添辅助线，证明思路不易形成。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题什么是证明？要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理，一步一步推出结论成立，这样的推理过程叫做证明
。为什么需要证明？1.目测（直观）→错觉；2.列举→不甚枚举，找反例难；3.测量→存在误差
思考自议
讲授新课
例3
证明命题“三角形三个内角的和等于180°”是真命题.已知：∠BAC，∠B，∠C是△ABC的三个内角.求证：∠BAC+∠B+∠C=180°.证明：过A
作
AE
//
BC则∠C＝∠2，∠B＝∠1（两直线平行，内错角相等）∴∠BAC+∠B+∠C＝∠BAC+∠1+∠2＝∠DAE＝180?（平角的定义）在解决几何问题时,有时需要添加辅助线,添辅助线的过程要写入证明中,
辅助线通常画成虚线。你还有其他证明方法吗？证法2：作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，则∠1＝∠Ａ（两直线平行，内错角相等）∠2＝∠Ｂ（两直线平行，同位角相等）∵∠1+∠2+∠ACB＝180°∴∠Ａ+∠Ｂ+∠ACB＝180°证法3:证明：在BC上任取一点D，过D作DE//AB，作DF//AC。∴∠1=∠B，∠2=∠C，∠DEC=∠A，
∵DE∥AB，∴∠3=∠DEC，
∴∠3=∠A，
∵∠1+∠2+∠3=180°∴∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180°2.证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是真命题。思考：这一题与上一题最大的不同在哪里？上一题已知和求证是给出的，这一题需要将文字转化为数学语言。画：根据题意,画出图形写：找出命题的条件和结论。“已知”----条件，“求证”----结论.已知:如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线求证：
CD=AB.证：在“证明”中写出推理过程证明：如图，延长CD到E，使DE=CD，连接AE、BE，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD=BD，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形AEBC是矩形，
∴AD=BD=CD=DE，
∴CD=AB．
证明几何命题的一般格式：⑴按题意画出图形；⑵分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；⑶在“证明”中写出推理过程如图，∠ACD是由△ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的角，这样的角叫做该三角形的外角.由∠ACD+∠ACB=180°，∠A+∠B+∠ACB=180°，得∠ACD=∠A+∠B.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.这是由三角形的内角和定理直接推理得到的一个推论.推论也可以作为推理的依据.为了使我们的解答更为规范和有条理,请同学们总结一下证明一个命题的一般步骤.证明几何命题时，表述格式一般是：_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【拓展延伸】有的题目需要通过添加辅助线才能完成证明过程。（1）所谓辅助线指的是为了证明需要在原图上添画的线（通常画成虚线），添辅助线的过程要写入证明中。（2）它的作用是把分散的条件集中，把隐含的条件显现出来，起到牵线搭桥的作用。（3）添加辅助线，可构造新图形，形成新关系，找到联系已知与未知的桥梁，把问题转化，要根据需要而定,平时做题时要注意总结。例4
已知：如图，∠B+∠D=∠BCD.求证：AB∥DE.证明
如图，延长BC，交DE于点F.∵∠B+∠D=∠BCD(已知），又∵∠BCD=∠D+∠CFD(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠B+∠D=∠D+∠CFD,∴∠B=∠CFD.
∴AB∥DE(内错角相等，两直线平行）.
(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．(2)三角形的内角和是180°.求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
课堂检测
1．如图，下列关于△ABC的外角的说法正确的是( )A．∠HBA是△ABC的外角B．∠HBG是△ABC的外角C．∠DCE是△ABC的外角D．∠GBA是△ABC的外角1.D2．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是( )A．∠A＞∠1＞∠2
B．∠2＞∠1＞∠AC．∠A＞∠2＞∠1
D．∠2＞∠A＞∠12.B3.如图，在五角星图形中，求：∠A+
∠B+
∠C+
∠D+
∠E的度数。3.解：如右图所示，
∵∠1=∠C+∠2，∠2=∠A+∠D，
∴∠1=∠C+∠A+∠D，
又∵∠1+∠B+∠E=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故答案是：180°．4.AD是△ABC的高，BE平分∠ABC交AD于O，∠BAC＝50°，∠C＝54°.求：∠AEB和∠AOB的度数．解：∵∠BAC＝50°，∠C＝54°，
∴∠ABC＝180°－∠C－∠BAC＝76°，
∵BE平分∠ABC，
在△ABE中，∠AEB＝180°－∠BAC－∠ABE
＝180°－50°－38°＝92°，
∵AD是高线，∠ABD＝76°，∴
∠BAD＝14°.
在△OBA中，∠AOB＝180°－∠BAO－∠ABO.
∴∠AOB＝128°.
综上，∠AEB＝92°，∠AOB＝128°.
课堂小结
（1）三角形内角和定理的证明方法；（2）三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。（3）常用的几何证明方法：由结论出发寻求使结论成立的条件，进而形成解题思路。（4）初步学会添加辅助线。
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精品试卷·第
2
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