初中数学湘教版八年级上册2.2命题与证明 同步练习
一、单选题
1．下列语句中，不是命题的是 ( )
A．若两角之和为90°，则这两个角互余。
B．同角的余角相等。
C．画线段的中垂线。
D．相等的角是对顶角。
2．（2021八下·上城期末）用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°.”第一步应先假设（ ）
A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠B＜90° D．AB≠AC
3．（2021八下·滨江期末）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60”时，首先假设这个三角形中（ ）
A．三个内角都小于60° B．只有一个内角大于或等于60°
C．至少有一个内角小于60° D．每一个内角都小于或等于60°
4．（2021八下·鄞州期末）用反证法证明命题“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”时，第一步应假设（ ）
A．∠C<∠B B．∠C≤∠B C．AB
5．（2021八下·温州期末）用反证法证明“在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b“时，应假设（ ）
A．a6．（2021八下·合肥期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在 中，若 、则 是直角三角形
B．在 中，若 ，则 是直角三角形
C．在 中，若 ，则 是直角三角形
D．在 中，若 ，则 是直角三角形
二、填空题
7．（2021八下·南城期中）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”第一步应假设 .
8．（2021八下·运城期中）用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角或钝角”时，应假设： ．
9．（2021八下·南京期中）“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°”时，如果用反证法证明，应先假设
.
10．（2021八上·来宾期末）把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式： .
11．（2021八上·甘州期末）把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 ．
12．（2021八下·余姚期末）用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，则应假设 ．
13．（2021八下·泰山期末）下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似。其中真命题的序号是 (注：把所有真命题的序号都填上)。
14．（2021八下·罗定月考）命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是： .该逆命题是一个 命题（填“真”或“假”）.
15．（2021八上·玉门期末）定理“全等三角形的对应边相等”的逆命题是 ,它是 命题(填“真”或“假”).
16．（2020八上·宽城期末）命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
三、解答题
17．命题“等角的余角相等”的条件和结论；这个命题是真命题吗？如果是，请你证明；如果不是，请给出反例．
18．在不等边△ABC中，A是最小角，求证：A＜60°.
19．求证：两个三角形有两条边对应相等，如果所夹的角不相等，那么夹角所对的边也不相等．
20．如图，在△ABC中，∠B=70°，∠BAC∶∠BCA=3∶2，CD⊥AD于点D，且∠ACD=35°，求∠BAE的度数。
21．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）
22．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．
四、综合题
23．写出下列两个定理的逆命题，并判断真假
（1）在一个三角形中，等角对等边．
（2）四边形的内角和等于360°．
24．（2018八上·颍上期中）将下列命题改写成“如果...那么...”形式，并判断命题的真假，若是假命题请举反例。
（1）相等角是对顶角.
（2）直角三角形的两个锐角互余.
25．（2020八上·西湖期中）写出定理“等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高线互相重合”的逆命题，并证明这个命题是真命题。
逆命题： 。
已知： 。
求证： 。
证明：
26．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：
（1）对顶角相等；
（2）同角的余角相等；
（3）三角形的内角和等于180°；
（4）角平分线上的点到角的两边距离相等．
27．（2020八上·奎文期末）推理填空：
如图， 于D， 于G， ，可得 平分 ．
理由如下：∵ 于D， 于G，（已知）
∴ ，（ ▲ ）
∴ ，（ ▲ ）
∴ ▲ ，（ ▲ ）
，（ ▲ ）
又∵ ，（ ▲ ）
∴ ▲ ，（ ▲ ）
∴ 平分 ．（ ▲ ）
28．判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）：
（1）若，则a=3；
（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，且BE=CF．则AD是△ABC的中线．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】命题就是判断一件事情的语句．
【解答】根据命题的定义，可知A、B、D都是命题，而C属于作图语言，不是命题．
故选C．
2．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°.”，第一步应先假设∠B≥90°；
故答案为：A.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】∵要证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60”，
∴用反证法证明时，首先假设这个三角形中三个内角都小于60°，
故答案为：A.
【分析】反证法的步骤：①假设结论不成立，②从假设出发推出矛盾，③假设不成立，则结论成立，据此判断即可.
4．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵结论是：∠C>∠B ，
∴第一步应假设： ∠C≤∠B ，
故答案为：B.
【分析】运用反证法证明时，应先假设结论的反面成立，而∠C>∠B的反面是∠C≤∠B ，即可解答.
5．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意得在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b要假设a≤b，
故答案为：B.
【分析】运用反证法即可求解.
6．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 ，所以△ABC是直角三角形，故A不符合题意；
因为 ，所以 ，所以△ABC是直角三角形，故B不符合题意；
若 ，则最大角∠C为75°，故C符合题意；
因为 ，由勾股定理的逆定理，知△ABC是直角三角形，故D不符合题意．
【分析】根据直角三角形的定义对每个选项一一判断求解即可。
7．【答案】在直角三角形中两个锐角都大于45°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法中，第一步是假设结论不成立，反面成立，即可得到答案。
【分析】根据反证法的含义判断得到答案即可。
8．【答案】一个三角形中有两个角是直角或钝角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明一个三角形中不能有两个是直角或钝角时，应先假设这个三角形中有两个角是直角或钝角．
故答案为一个三角形中有两个角是直角或钝角．
【分析】利用反证法进行求解即可。
9．【答案】∠B≥90°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°”时，
应先假设：∠B≥90°，
故答案为：∠B≥90°.
【分析】反证法首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推导出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证.
10．【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.
故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.
【分析】先找出命题的题设和结论，如果后面是题设，那么后面是结论，据此解答即可.
11．【答案】如果两个角相等，那么这两个角的余角相等
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．
【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论，即可解决问题．
12．【答案】∠B=∠C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，则应假设∠B=∠C
故答案为：∠B=∠C.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.
13．【答案】②③
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】①一个顶角为30°的等腰三角形与一个顶角为40°的等腰三角形不相似，故①是假命题；
②所有的等边三角形三个内角都是60°，所以所有的等边三角形都相似，故②是真命题；
③等腰直角三角形的三个内角都是90°，45°，45°，所以所有的等腰直角三角形都相似，故③是真命题；
④所有的直角三角形不一定都相似，故④是假命题。
综上所述，是真命题的是②③。
【分析】根据命题的定义对每个命题一一判断求解即可。
14．【答案】面积相等的两个三角形是全等三角形；假
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的两个三角形是全等三角形”，是假命题．
故答案为：面积相等的两个三角形是全等三角形；假．
【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据全等三角形的概念判断即可．
15．【答案】三边分别对应相等的两个三角形全等；真
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：定理“全等三角形的对应边相等”的逆命题是三边分别对应相等的两个三角形全等，它是真命题.
故答案为：三边分别对应相等的两个三角形全等； 真.
【分析】抓住原命题的题设和结论，将其题设和结论互换，可得到此命题的逆命题，利用全等三角形的判定，可得此命题的真假.
16．【答案】真
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】∵ 原命题为：等边三角形的每个内角都是60°，
∴ 逆命题为：三个内角都是60°的三角形是等边三角形
∴ 逆命题为真命题；
故答案为：真．
【分析】根据逆命题的定义求出逆命题，再判断真假即可。
17．【答案】解：条件：两个角分别是两个相等角的余角；
结论：这两个角相等.
这个命题是真命题，
已知：∠1=∠2，∠3是∠1的余角．∠4是∠2的余角.
求证：∠3=∠4，
证明：∵∠3是∠1的余角．∠4是的余角
∴∠3=90°﹣∠1，∠4=90°﹣∠2，
又∠1=∠2，
∴∠3=∠4．
【知识点】推理与论证；真命题与假命题
【解析】【分析】命题一般是由条件和结论两部分组成，一般可写成“如果p，那么q”的形式，p是条件，q是结论。而对于命题的正确性需要通过推理来证实，即要给出证明过程。
18．【答案】证明：假设A≥60°，∵A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)，∴B≥A≥60°，C＞A≥60°，∴A＋B＋C＞180°，与三角形内角和等于180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A＜60°.
【知识点】反证法
【解析】【分析】用反证法证明。首先否定结论即假设A≥60°，根据已知条件A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)，由三角形内角和定理可得B≥A≥60°，C＞A≥60°，所以A＋B＋C＞180°，与三角形内角和等于180°矛盾，所以原命题成立，即A＜60°.
19．【答案】证明：已知：如解图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B≠∠B′.求证：AC≠A′C′.证明：假设AC＝A′C′.∵AB＝A′B′，BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．∴∠B＝∠B′，这与已知矛盾，∴假设不成立，∴AC≠A′C′.
【知识点】反证法
【解析】【分析】反证法证明。否定结论，即假设AC＝A′C′.根据已知条件用边边边可证得△ABC≌△A′B′C′，所以∠B＝∠B′，这与已知∠B≠∠B′矛盾，所以假设不成立，即可得结论AC≠A′C′.
20．【答案】解：设∠BAC=3k，∠BCA=2k，∵∠B=70°∴3k+2k=110°，k=22°∴∠BAC=66°，∠ACD=35°，∴∠DAC=90°-35°=55°∴∠BAE=180°-66°-55°=59°
【知识点】推理与论证
【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC+∠ACB=110°，∠DAC=55°，再由∠BAC∶∠BCA=3∶2可求得∠BAC、∠ACB的度数；则∠BAE=180°-∠BAC-∠DAC。
21．【答案】证明：①假设PB=PC．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，
在△ABP和△ACP中
∴△ABP≌△ACP，
∴∠APB=∠APC．这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，
∴PB=PC是不可能的．
②假设PB＞PC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．
∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，
∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC，
∴∠BAP＜∠CAP，结合AB=AC、AP=AP，得：PB＜PC．这与假设的PB＞PC矛盾，
∴PB＞PC是不可能的．
综上所述，得：PB＜PC．
【知识点】反证法
【解析】【分析】运用反证法进行求解：
（1）假设结论PB＜PC不成立，即PB≥PC成立．
（2）从假设出发推出与已知相矛盾．
（3）得到假设不成立，则结论成立．
22．【答案】证明：
假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，
则A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∴∠A=∠B=90°不成立；
所以一个三角形中不能有两个直角．
【知识点】反证法
【解析】【分析】根据反证法的证法步骤知：第一步反设，假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，第二步得出矛盾：A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A=∠B=90°不成立；第三步下结论：所以一个三角形中不能有两个直角，从而得出原命题正确．
23．【答案】（1）解：逆命题：在一个三角形中，等边对等角．真命题
（2）解：内角和等于360°的多边形是四边形．真命题
【知识点】逆命题
【解析】【分析】将原命题改写成若果那么的形式，用如果领起的部分是题设，用那么领起的部分是结论，将原命题的题设和结论交换位置即可得出原命题的逆命题；两个命题的逆命题：
（1）在一个三角形中，等边对等角，根据已有的定理可以判断出此命题是真命题；
（2）内角和等于360°的多边形是四边形．根据已有的定理可以判断出此命题是真命题。
24．【答案】（1）解：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；假命题；
反例：角平分线形成的两个角相等，但不是对顶角；（表述不唯一）
（2）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两锐角互余；真命题
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】（1）根据题意，将命题进行修改，并判断正误即可，两个相等的角不一定为对顶角，所以其为假命题，任意举出反例即可。
（2）根据题意进行命题的改写，进行判断即可，直角三角形的两个锐角互余，为真命题。
25．【答案】一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图，AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线 ；△ABC是等腰三角形。；∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， 在△ADC和△ADB中， ， ∴△ADC≌△ADB（AAS）， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形.
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】逆命题：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形。
已知：如图，AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线。
求证△ABC是等腰三角形。
证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ADC和△ADB中，
，
∴△ADC≌△ADB（AAS），
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形.
【分析】因为逆命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件，因此先找出原命题的条件和结论，根据逆命题和原命题的关系再写出逆命题即可； 因为逆命题的条件是“一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形”，结论是“等腰直角三角形”，画图对照图形写出已知条件和求证即可.由角平分线定义推出∠BAD=∠CAD，然后利用AAS证明△ADC≌△ADB，得出AB=AC，则知△ABC是等腰三角形.
26．【答案】（1）解：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
条件：两个角是对顶角，结论：这两个角相等
（2）解：如果两个角都是同一个角的余角，那么这两个角相等．
条件：两个角都是同一个角的余角，
结论：这两个角相等
（3）解：如果三个角是一个三角形的内角，那么这三个内角和等于180°．
条件：三个角是一个三角形的内角，
结论：这三个内角和等于180°
（4）解：如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．
条件：一个点在角平分线上，
结论：这个点到角两边的距离相等
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】（1）命题由题设和结论组成，两个角为对顶角是条件，写在如果之后；两个角相等是结论，写在那么之后即可。
（2）命题由题设和结论组成，两个角都是同一个角的余角是条件，写在如果之后；两个角相等是结论，写在那么之后即可。
（3）命题由题设和结论组成，三个角为三角形的内角是条件，写在如果之后；三个角的和为180°是结论，写在那么之后即可。
（4）命题由题设和结论组成，如果一个点在角平分线上是条件，写在如果之后；它到角两边的距离相等是结论，写在那么之后即可。
27．【答案】解：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）
∴∠ADC＝∠EGC＝90°，（垂直的定义）
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）
∴∠1＝∠2，（两直线平行，内错角相等）
∠E＝∠3，（两直线平行，同位角相等）
又∵∠E＝∠1（已知）
∴∠3＝∠2（等量代换）
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）
【知识点】推理与论证
【解析】【分析】根据证明的前后联系填写理由或结论即可。
28．【答案】（1）解：是假命题，
当a=﹣3时，，但a≠3，所以命题（1）是假命题；
（2）是真命题，
证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠DFC=∠DEB=90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）
∴BD=CD，
∴AD是△ABC的中线，
∴所以命题（2）是真命题．
【知识点】反证法
【解析】【分析】（1）利用a=﹣3时，，但a≠3，得出命题错误；
（2）利用已知得出△BED≌△CFD，进而求出BD=CD，得出AD是△ABC的中线．
1 / 1初中数学湘教版八年级上册2.2命题与证明 同步练习
一、单选题
1．下列语句中，不是命题的是 ( )
A．若两角之和为90°，则这两个角互余。
B．同角的余角相等。
C．画线段的中垂线。
D．相等的角是对顶角。
【答案】C
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】命题就是判断一件事情的语句．
【解答】根据命题的定义，可知A、B、D都是命题，而C属于作图语言，不是命题．
故选C．
2．（2021八下·上城期末）用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°.”第一步应先假设（ ）
A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠B＜90° D．AB≠AC
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°.”，第一步应先假设∠B≥90°；
故答案为：A.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.
3．（2021八下·滨江期末）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60”时，首先假设这个三角形中（ ）
A．三个内角都小于60° B．只有一个内角大于或等于60°
C．至少有一个内角小于60° D．每一个内角都小于或等于60°
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】∵要证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60”，
∴用反证法证明时，首先假设这个三角形中三个内角都小于60°，
故答案为：A.
【分析】反证法的步骤：①假设结论不成立，②从假设出发推出矛盾，③假设不成立，则结论成立，据此判断即可.
4．（2021八下·鄞州期末）用反证法证明命题“在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B”时，第一步应假设（ ）
A．∠C<∠B B．∠C≤∠B C．AB【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵结论是：∠C>∠B ，
∴第一步应假设： ∠C≤∠B ，
故答案为：B.
【分析】运用反证法证明时，应先假设结论的反面成立，而∠C>∠B的反面是∠C≤∠B ，即可解答.
5．（2021八下·温州期末）用反证法证明“在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b“时，应假设（ ）
A．a【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意得在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b要假设a≤b，
故答案为：B.
【分析】运用反证法即可求解.
6．（2021八下·合肥期末）下列命题中，是假命题的是（ ）
A．在 中，若 、则 是直角三角形
B．在 中，若 ，则 是直角三角形
C．在 中，若 ，则 是直角三角形
D．在 中，若 ，则 是直角三角形
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】因为 ，所以 ，所以 ，所以△ABC是直角三角形，故A不符合题意；
因为 ，所以 ，所以△ABC是直角三角形，故B不符合题意；
若 ，则最大角∠C为75°，故C符合题意；
因为 ，由勾股定理的逆定理，知△ABC是直角三角形，故D不符合题意．
【分析】根据直角三角形的定义对每个选项一一判断求解即可。
二、填空题
7．（2021八下·南城期中）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”第一步应假设 .
【答案】在直角三角形中两个锐角都大于45°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法中，第一步是假设结论不成立，反面成立，即可得到答案。
【分析】根据反证法的含义判断得到答案即可。
8．（2021八下·运城期中）用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直角或钝角”时，应假设： ．
【答案】一个三角形中有两个角是直角或钝角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明一个三角形中不能有两个是直角或钝角时，应先假设这个三角形中有两个角是直角或钝角．
故答案为一个三角形中有两个角是直角或钝角．
【分析】利用反证法进行求解即可。
9．（2021八下·南京期中）“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°”时，如果用反证法证明，应先假设
.
【答案】∠B≥90°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“已知△ABC，AB＝AC，求证：∠B＜90°”时，
应先假设：∠B≥90°，
故答案为：∠B≥90°.
【分析】反证法首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推导出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证.
10．（2021八上·来宾期末）把命题“直角三角形的两个锐角互余”改写成“如果……那么……”的形式： .
【答案】如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.
故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.
【分析】先找出命题的题设和结论，如果后面是题设，那么后面是结论，据此解答即可.
11．（2021八上·甘州期末）把命题“等角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 ．
【答案】如果两个角相等，那么这两个角的余角相等
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】命题“等角的余角相等”写成“如果…，那么…．”的形式为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是相等角的余角，那么这两个角相等．
【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论，即可解决问题．
12．（2021八下·余姚期末）用反证法证明：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，则应假设 ．
【答案】∠B=∠C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”，则应假设∠B=∠C
故答案为：∠B=∠C.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.
13．（2021八下·泰山期末）下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似。其中真命题的序号是 (注：把所有真命题的序号都填上)。
【答案】②③
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】①一个顶角为30°的等腰三角形与一个顶角为40°的等腰三角形不相似，故①是假命题；
②所有的等边三角形三个内角都是60°，所以所有的等边三角形都相似，故②是真命题；
③等腰直角三角形的三个内角都是90°，45°，45°，所以所有的等腰直角三角形都相似，故③是真命题；
④所有的直角三角形不一定都相似，故④是假命题。
综上所述，是真命题的是②③。
【分析】根据命题的定义对每个命题一一判断求解即可。
14．（2021八下·罗定月考）命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是： .该逆命题是一个 命题（填“真”或“假”）.
【答案】面积相等的两个三角形是全等三角形；假
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的两个三角形是全等三角形”，是假命题．
故答案为：面积相等的两个三角形是全等三角形；假．
【分析】根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据全等三角形的概念判断即可．
15．（2021八上·玉门期末）定理“全等三角形的对应边相等”的逆命题是 ,它是 命题(填“真”或“假”).
【答案】三边分别对应相等的两个三角形全等；真
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：定理“全等三角形的对应边相等”的逆命题是三边分别对应相等的两个三角形全等，它是真命题.
故答案为：三边分别对应相等的两个三角形全等； 真.
【分析】抓住原命题的题设和结论，将其题设和结论互换，可得到此命题的逆命题，利用全等三角形的判定，可得此命题的真假.
16．（2020八上·宽城期末）命题“等边三角形的每个内角都等于60°”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】∵ 原命题为：等边三角形的每个内角都是60°，
∴ 逆命题为：三个内角都是60°的三角形是等边三角形
∴ 逆命题为真命题；
故答案为：真．
【分析】根据逆命题的定义求出逆命题，再判断真假即可。
三、解答题
17．命题“等角的余角相等”的条件和结论；这个命题是真命题吗？如果是，请你证明；如果不是，请给出反例．
【答案】解：条件：两个角分别是两个相等角的余角；
结论：这两个角相等.
这个命题是真命题，
已知：∠1=∠2，∠3是∠1的余角．∠4是∠2的余角.
求证：∠3=∠4，
证明：∵∠3是∠1的余角．∠4是的余角
∴∠3=90°﹣∠1，∠4=90°﹣∠2，
又∠1=∠2，
∴∠3=∠4．
【知识点】推理与论证；真命题与假命题
【解析】【分析】命题一般是由条件和结论两部分组成，一般可写成“如果p，那么q”的形式，p是条件，q是结论。而对于命题的正确性需要通过推理来证实，即要给出证明过程。
18．在不等边△ABC中，A是最小角，求证：A＜60°.
【答案】证明：假设A≥60°，∵A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)，∴B≥A≥60°，C＞A≥60°，∴A＋B＋C＞180°，与三角形内角和等于180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A＜60°.
【知识点】反证法
【解析】【分析】用反证法证明。首先否定结论即假设A≥60°，根据已知条件A是不等边三角形ABC的最小角(不妨设C为最大角)，由三角形内角和定理可得B≥A≥60°，C＞A≥60°，所以A＋B＋C＞180°，与三角形内角和等于180°矛盾，所以原命题成立，即A＜60°.
19．求证：两个三角形有两条边对应相等，如果所夹的角不相等，那么夹角所对的边也不相等．
【答案】证明：已知：如解图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B≠∠B′.求证：AC≠A′C′.证明：假设AC＝A′C′.∵AB＝A′B′，BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．∴∠B＝∠B′，这与已知矛盾，∴假设不成立，∴AC≠A′C′.
【知识点】反证法
【解析】【分析】反证法证明。否定结论，即假设AC＝A′C′.根据已知条件用边边边可证得△ABC≌△A′B′C′，所以∠B＝∠B′，这与已知∠B≠∠B′矛盾，所以假设不成立，即可得结论AC≠A′C′.
20．如图，在△ABC中，∠B=70°，∠BAC∶∠BCA=3∶2，CD⊥AD于点D，且∠ACD=35°，求∠BAE的度数。
【答案】解：设∠BAC=3k，∠BCA=2k，∵∠B=70°∴3k+2k=110°，k=22°∴∠BAC=66°，∠ACD=35°，∴∠DAC=90°-35°=55°∴∠BAE=180°-66°-55°=59°
【知识点】推理与论证
【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC+∠ACB=110°，∠DAC=55°，再由∠BAC∶∠BCA=3∶2可求得∠BAC、∠ACB的度数；则∠BAE=180°-∠BAC-∠DAC。
21．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）
【答案】证明：①假设PB=PC．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，
在△ABP和△ACP中
∴△ABP≌△ACP，
∴∠APB=∠APC．这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，
∴PB=PC是不可能的．
②假设PB＞PC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．
∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，
∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC，
∴∠BAP＜∠CAP，结合AB=AC、AP=AP，得：PB＜PC．这与假设的PB＞PC矛盾，
∴PB＞PC是不可能的．
综上所述，得：PB＜PC．
【知识点】反证法
【解析】【分析】运用反证法进行求解：
（1）假设结论PB＜PC不成立，即PB≥PC成立．
（2）从假设出发推出与已知相矛盾．
（3）得到假设不成立，则结论成立．
22．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．
【答案】证明：
假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，
则A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∴∠A=∠B=90°不成立；
所以一个三角形中不能有两个直角．
【知识点】反证法
【解析】【分析】根据反证法的证法步骤知：第一步反设，假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，第二步得出矛盾：A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A=∠B=90°不成立；第三步下结论：所以一个三角形中不能有两个直角，从而得出原命题正确．
四、综合题
23．写出下列两个定理的逆命题，并判断真假
（1）在一个三角形中，等角对等边．
（2）四边形的内角和等于360°．
【答案】（1）解：逆命题：在一个三角形中，等边对等角．真命题
（2）解：内角和等于360°的多边形是四边形．真命题
【知识点】逆命题
【解析】【分析】将原命题改写成若果那么的形式，用如果领起的部分是题设，用那么领起的部分是结论，将原命题的题设和结论交换位置即可得出原命题的逆命题；两个命题的逆命题：
（1）在一个三角形中，等边对等角，根据已有的定理可以判断出此命题是真命题；
（2）内角和等于360°的多边形是四边形．根据已有的定理可以判断出此命题是真命题。
24．（2018八上·颍上期中）将下列命题改写成“如果...那么...”形式，并判断命题的真假，若是假命题请举反例。
（1）相等角是对顶角.
（2）直角三角形的两个锐角互余.
【答案】（1）解：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；假命题；
反例：角平分线形成的两个角相等，但不是对顶角；（表述不唯一）
（2）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两锐角互余；真命题
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】（1）根据题意，将命题进行修改，并判断正误即可，两个相等的角不一定为对顶角，所以其为假命题，任意举出反例即可。
（2）根据题意进行命题的改写，进行判断即可，直角三角形的两个锐角互余，为真命题。
25．（2020八上·西湖期中）写出定理“等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高线互相重合”的逆命题，并证明这个命题是真命题。
逆命题： 。
已知： 。
求证： 。
证明：
【答案】一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图，AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线 ；△ABC是等腰三角形。；∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， 在△ADC和△ADB中， ， ∴△ADC≌△ADB（AAS）， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形.
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】逆命题：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形。
已知：如图，AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线。
求证△ABC是等腰三角形。
证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ADC和△ADB中，
，
∴△ADC≌△ADB（AAS），
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形.
【分析】因为逆命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件，因此先找出原命题的条件和结论，根据逆命题和原命题的关系再写出逆命题即可； 因为逆命题的条件是“一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形”，结论是“等腰直角三角形”，画图对照图形写出已知条件和求证即可.由角平分线定义推出∠BAD=∠CAD，然后利用AAS证明△ADC≌△ADB，得出AB=AC，则知△ABC是等腰三角形.
26．指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：
（1）对顶角相等；
（2）同角的余角相等；
（3）三角形的内角和等于180°；
（4）角平分线上的点到角的两边距离相等．
【答案】（1）解：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
条件：两个角是对顶角，结论：这两个角相等
（2）解：如果两个角都是同一个角的余角，那么这两个角相等．
条件：两个角都是同一个角的余角，
结论：这两个角相等
（3）解：如果三个角是一个三角形的内角，那么这三个内角和等于180°．
条件：三个角是一个三角形的内角，
结论：这三个内角和等于180°
（4）解：如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．
条件：一个点在角平分线上，
结论：这个点到角两边的距离相等
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【分析】（1）命题由题设和结论组成，两个角为对顶角是条件，写在如果之后；两个角相等是结论，写在那么之后即可。
（2）命题由题设和结论组成，两个角都是同一个角的余角是条件，写在如果之后；两个角相等是结论，写在那么之后即可。
（3）命题由题设和结论组成，三个角为三角形的内角是条件，写在如果之后；三个角的和为180°是结论，写在那么之后即可。
（4）命题由题设和结论组成，如果一个点在角平分线上是条件，写在如果之后；它到角两边的距离相等是结论，写在那么之后即可。
27．（2020八上·奎文期末）推理填空：
如图， 于D， 于G， ，可得 平分 ．
理由如下：∵ 于D， 于G，（已知）
∴ ，（ ▲ ）
∴ ，（ ▲ ）
∴ ▲ ，（ ▲ ）
，（ ▲ ）
又∵ ，（ ▲ ）
∴ ▲ ，（ ▲ ）
∴ 平分 ．（ ▲ ）
【答案】解：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）
∴∠ADC＝∠EGC＝90°，（垂直的定义）
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）
∴∠1＝∠2，（两直线平行，内错角相等）
∠E＝∠3，（两直线平行，同位角相等）
又∵∠E＝∠1（已知）
∴∠3＝∠2（等量代换）
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）
【知识点】推理与论证
【解析】【分析】根据证明的前后联系填写理由或结论即可。
28．判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）：
（1）若，则a=3；
（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，且BE=CF．则AD是△ABC的中线．
【答案】（1）解：是假命题，
当a=﹣3时，，但a≠3，所以命题（1）是假命题；
（2）是真命题，
证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠DFC=∠DEB=90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）
∴BD=CD，
∴AD是△ABC的中线，
∴所以命题（2）是真命题．
【知识点】反证法
【解析】【分析】（1）利用a=﹣3时，，但a≠3，得出命题错误；
（2）利用已知得出△BED≌△CFD，进而求出BD=CD，得出AD是△ABC的中线．
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