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1.5三角形全等的判定(2)
教案
课题
1.5三角形全等的判定(2)
单元
第一单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
理解并掌握全等三角形“边角边”判定定理；2.理解并掌握线段的垂直平分线的性质．
重点
两个三角形全等的基本事实：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.
难点
线段垂直平分线性质定理的证明涉及分类讨论，是本节教学的难点.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成两块现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，请问如果只准带一块碎片，根据生活经验，你应该带哪一块去？
上节课我们研究过两个三角形如果只知道有一组或两组元素对应相等，则这两个三角形不一定全等，而如果两个三角形有3组元素对应相等，这两个三角形很有可能全等。本节课要探究的问题是，两条边及其一个角对应相等，两个三角形是否全等?
如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动，因此连结另两端所成的三角形不能唯一确定，这就是说，如果两个三角形只有两条边对应相等，那么这两个三角形不一定全等.例如，下图中，△ABC与△AB'C不是全等三角形。如果固定两木条之间的夹角（即∠BAC）的大小，那么△ABC的形状和大小也随之被确定.如图，在△ABC和△A'B'C中，∠B=∠B',AB=A'B',BC=B'C'.因为∠B=∠B'，当把它们叠在一起时，可以使射线BA与B'A'重合，射线BC与B'C'重合.又因为AB=A'B'，BC=B'C'，所以点A与点A'重合，点C与点C重合，所以△ABC与△A'B'C重合，所以△ABC≌△A'B'C.由此可得结论：__________________________________________，简写成_________或________。几何语言：___________________________________________________________________________
思考自议
讲授新课
提炼概念由此可得结论：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。边角边（SAS）三、典例精讲【例】
已知：如图，AC与BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD.
求证：△AOB≌△COD.如果“两边及一角”条件中的是其中一边的对角，比如两条边分别是2.5cm，3.5cm，长度为2.5cm的边所对的角为40°
，情况会怎样呢？动手画一画，你发现了什么？注意：两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等，那么这两个三角形不一定全等。【垂直平分线的定义】垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.如图，直线l⊥AB于点D，且AD=BD，直线l就是线段AB的垂直平分线.【小组讨论】在直线l上任意取一点P，用圆规比较点P到点A，B的距离.你发现了什么？由此你能得到什么结论？________________________________________________________________________你能验证这一结论吗？已知：如图，直线l⊥AB于点O，且OA=OB.C是直线l上的任意一点.求证：CA=CB.线段垂直平分线的性质________________________________________________________________________符号语言：
进行有关角度证明时，常常需要通过三角形全等来得到相等的角．
课堂检测
四、巩固训练
1.如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是( )A．BC＝ED
B．∠BAD＝∠EACC．∠B＝∠E
D．∠BAC＝∠EADC2．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，若要得到“△ABD≌△ACE”，必须添加一个条件，则下列所添条件不成立的是( )A．BD＝CE
B．∠ABD＝∠ACEC．∠BAD＝∠CAE
D．∠BAC＝∠DAE2.B3．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为( )A．13
B．15
C．17
D．19B4．如图，△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.4.证明：∵△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∴BC＝AC，CE＝CD.∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE，即∠ECB＝∠DCA.阅读下题及其证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE
求证：∠BAE=∠CAE解：上面证明过程不正确；错在第一步，正确过程如下：
在△BEC中，∵BE=CE
∴∠EBC=∠ECB
又∵∠ABE=∠ACE
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
在△AEB和△AEC中，AE=AE，BE=CE，AB=AC
∴△AEB≌△AEC（SSS）
∴∠BAE=∠CAE。
课堂小结
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1.5三角形全等的判定(2)
浙教版
七年级上
新知导入
情境引入
某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成两块现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，请问如果只准带一块碎片，根据生活经验，你应该带哪一块去？
带左边的玻璃去.
为什么左边的可以，而右边的不可以？
左边的玻璃知道了两条边和一个角这三个条件，而右边的只知道一条边这一个条件.
合作学习
上节课我们研究过两个三角形如果只知道有一组或两组元素对应相等，则这两个三角形不一定全等，而如果两个三角形有3组元素对应相等，这两个三角形很有可能全等。本节课要探究的问题是，两条边及其一个角对应相等，两个三角形是否全等?
如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动，因此连结另两端所成的三角形不能唯一确定，这就是说，如果两个三角形只有两条边对应相等，那么这两个三角形不一定全等.
例如，右图中，△ABC与△AB'C不是全等三角形。
如果固定两木条之间的夹角（即∠BAC）的大小，那么△ABC的形状和大小也随之被确定.
如图，在△ABC和△A'B'C中，∠B=∠B',AB=A'B',BC=B'C'.
因为∠B=∠B'，当把它们叠在一起时，可以使射线BA与B'A'重合，射线BC与B'C'重合.又因为AB=A'B'，BC=B'C'，所以点A与点A'重合，点C与点C重合，所以△ABC与△A'B'C重合，
所以△ABC≌△A'B'C.
提炼概念
由此可得结论：__________________________________________，
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
简写成_________或________。
边角边
SAS
在△ABC和△DEF中，
AB＝DE,
∠B＝∠E，
BC=EF
，
∴△ABC≌△DEF(SAS).
几何语言：
A
B
C
D
E
F
典例精讲
新知讲解
【例】
已知：如图，AC与BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD.
求证：△AOB≌△COD.
证明：在△AOB和△COD中，
OA＝OC(已知）,
∵
∠AOB=∠COD(对顶角相等），
OB=OD(已知）
，
∴△AOB≌△COD(SAS).
A
B
C
D
O
如果“两边及一角”条件中的是其中一边的对角，比如两条边分别是2.5cm，3.5cm，长度为2.5cm的边所对的角为40°
，情况会怎样呢？
动手画一画，你发现了什么？
A
C
D
E
F
2.5cm
3.5cm
40°
40°
2.5cm
如果“两边及一角”条件中的是其中一边的对角，比如两条边分别是2.5cm，3.5cm，长度为2.5cm的边所对的角为40°
，情况会怎样呢？
动手画一画，你发现了什么？
注意：两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等，那么这两个三角形不一定全等。
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.
【垂直平分线的定义】
A
B
D
l
如图，直线l⊥AB于点D，且AD=BD，直线l就是线段AB的垂直平分线.
【小组讨论】在直线l上任意取一点P，用圆规比较点P到点A，B的距离.你发现了什么？
A
B
l
P1
P2
P3
猜想：________________________________________________
命题：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
点P1，P2，P3，…
到点A
与点B
的距离分别相等．
C
A
B
l
O
证明
已知OA=OB，当点C与点O为同一点，即重合时，显然CA=CB.
当点C与点O不重合时，
∵直线l⊥AB(已知）
∴∠COA=∠COB=90°(垂直的定义）.
已知：如图，直线l⊥AB于点O，且OA=OB.C是直线l上的任意一点.
求证：CA=CB.
证明：在△CAO与△CBO中，
OA＝OB(已知）,
∵
∠COA=∠COB，
OC=OC(公共边）
，
∴△CAO≌△CBO(SAS).
∴CA=CB(全等三角形的对应边相等）
C
A
B
l
O
已知：如图，直线l⊥AB于点O，且OA=OB.C是直线l上的任意一点.
求证：CA=CB.
P
A
B
l
C
符号语言：
∵ PC垂直平分AB(AC=BC,PC⊥AB)，
∴ PA=PB．
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
课堂练习
1.如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是( )
A．BC＝ED
B．∠BAD＝∠EAC
C．∠B＝∠E
D．∠BAC＝∠EAD
C
2．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，若要得到“△ABD≌△ACE”，必须添加一个条件，则下列所添条件不成立的是( )
A．BD＝CE
B．∠ABD＝∠ACE
C．∠BAD＝∠CAE
D．∠BAC＝∠DAE
B
3．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为( )
A．13
B．15
C．17
D．19
B
4．如图，△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.
证明：∵△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD.
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE，
即∠ECB＝∠DCA.
5.阅读下题及其证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE
求证：∠BAE=∠CAE
证明：在△AEB和△AEC中，
∴△AEB≌△AEC(第一步)
∴∠BAE=∠CAE(第二步)?
问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程；
EB=EC
∠ABE=∠ACE
AE=AE
解：上面证明过程不正确；错在第一步，正确过程如下：
在△BEC中，∵BE=CE
∴∠EBC=∠ECB
又∵∠ABE=∠ACE
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
在△AEB和△AEC中，AE=AE，BE=CE，AB=AC
∴△AEB≌△AEC（SSS）
∴∠BAE=∠CAE。
课堂总结
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1.5三角形全等的判定(2)学案
课题
1.5三角形全等的判定(2)
单元
第一单元
学科
数学
年级
八年级上册
学习目标
理解并掌握全等三角形“边角边”判定定理；2.理解并掌握线段的垂直平分线的性质．
重点
两个三角形全等的基本事实：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.
难点
线段垂直平分线性质定理的证明涉及分类讨论，是本节教学的难点.
教学过程
导入新课
【引入思考】
某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成两块现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，请问如果只准带一块碎片，根据生活经验，你应该带哪一块去？
上节课我们研究过两个三角形如果只知道有一组或两组元素对应相等，则这两个三角形不一定全等，而如果两个三角形有3组元素对应相等，这两个三角形很有可能全等。本节课要探究的问题是，两条边及其一个角对应相等，两个三角形是否全等?某同学不小心把一块三角形的玻璃打碎成两块现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，请问如果只准带一块碎片，根据生活经验，你应该带哪一块去？
上节课我们研究过两个三角形如果只知道有一组或两组元素对应相等，则这两个三角形不一定全等，而如果两个三角形有3组元素对应相等，这两个三角形很有可能全等。本节课要探究的问题是，两条边及其一个角对应相等，两个三角形是否全等?
如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可自由转动，因此连结另两端所成的三角形不能唯一确定，这就是说，如果两个三角形只有两条边对应相等，那么这两个三角形不一定全等.例如，下图中，△ABC与△AB'C不是全等三角形。如果固定两木条之间的夹角（即∠BAC）的大小，那么△ABC的形状和大小也随之被确定.如图，在△ABC和△A'B'C中，∠B=∠B',AB=A'B',BC=B'C'.因为∠B=∠B'，当把它们叠在一起时，可以使射线BA与B'A'重合，射线BC与B'C'重合.又因为AB=A'B'，BC=B'C'，所以点A与点A'重合，点C与点C重合，所以△ABC与△A'B'C重合，所以△ABC≌△A'B'C.由此可得结论：__________________________________________，简写成_________或________。几何语言：___________________________________________________________________________
新知讲解
提炼概念典例精讲
【例】
已知：如图，AC与BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD.
求证：△AOB≌△COD.如果“两边及一角”条件中的是其中一边的对角，比如两条边分别是2.5cm，3.5cm，长度为2.5cm的边所对的角为40°
，情况会怎样呢？动手画一画，你发现了什么？注意：两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等，那么这两个三角形不一定全等。【垂直平分线的定义】垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.如图，直线l⊥AB于点D，且AD=BD，直线l就是线段AB的垂直平分线.【小组讨论】在直线l上任意取一点P，用圆规比较点P到点A，B的距离.你发现了什么？由此你能得到什么结论？________________________________________________________________________你能验证这一结论吗？已知：如图，直线l⊥AB于点O，且OA=OB.C是直线l上的任意一点.求证：CA=CB.线段垂直平分线的性质________________________________________________________________________符号语言：________________________________________________________________________________________________________________
课堂练习
巩固训练1.如图，已知AB＝AE，AC＝AD，下列条件中不能判定△ABC≌△AED的是( )A．BC＝ED
B．∠BAD＝∠EACC．∠B＝∠E
D．∠BAC＝∠EAD2．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，若要得到“△ABD≌△ACE”，必须添加一个条件，则下列所添条件不成立的是( )A．BD＝CE
B．∠ABD＝∠ACEC．∠BAD＝∠CAE
D．∠BAC＝∠DAE3．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为( )A．13
B．15
C．17
D．194．如图，△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点E在AB上．求证：△CDA≌△CEB.阅读下题及其证明过程：已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE
求证：∠BAE=∠CAE答案引入思考
由此可得结论：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。边角边（SAS）提炼概念典例精讲
例：【垂直平分线的定义】垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.巩固训练1.C
2.B3.B4.证明：∵△ABC，△CDE均为等腰直角三角形，∴BC＝AC，CE＝CD.∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE，即∠ECB＝∠DCA.5.解：上面证明过程不正确；错在第一步，正确过程如下：
在△BEC中，∵BE=CE
∴∠EBC=∠ECB
又∵∠ABE=∠ACE
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
在△AEB和△AEC中，AE=AE，BE=CE，AB=AC
∴△AEB≌△AEC（SSS）
∴∠BAE=∠CAE。
课堂小结
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精品试卷·第
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