(共15张PPT)
3.6
圆内接四边形
判一判
问题1.过三角形的三个顶点能画一个圆吗?为什么?
不在同一条直线上的三点确定一个圆.
问题2.请观察判断,过如下图的四边形的四个顶点能画一个圆吗?
平行四边形
矩形
圆内接四边形
请类比圆内接三角形的定义给圆内接四边形下个定义
如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,⊙O是四边形ABCD的外接圆.
说一说
一个三角形的三个顶点都在同一个圆上,这个三角形叫做圆的内接三角形,这个圆叫做三角形的外接圆.
一个四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆的内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.
探一探
如图,任意画一个圆,在圆上依次取四个点A,B,C,D,顺次连接AB,BC,CD,DA.
(1)用量角器量出四边形ABCD任意一组对角,计算度数之和.
(2)你发现了什么?请写出你的猜想,
(3)与同伴交流、探讨你的发现,
(4)试着证明你的猜想.
∠A+∠C=180°
∠B+∠D
=180°
猜想
?
证明
C
O
B
A
D
C
O
D
B
A
如图:四边形ABCD内接于⊙O
.
求证:∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°
证一证
同理可证∠B+∠D=180°
,
而BCD+BAD360°,
∴∠A+∠C
+
=
=
圆内接四边形的性质定理:圆内接四边形的对角互补.
练一练
如图,四边形ABCD内接于⊙O,
若∠BAD=70°,则∠BCD等于
(
)
A.110°
B.90°
C.70°
D.20°
A
变式1:如图,点B、C、D在⊙O上,若
∠BOD=140°,则∠BCD等于
(
)
A.70°
B.110°
C.55°
D.140°
B
圆内接四边形的对角互补.
圆内接四边形的对角互补;
圆周角的度数等于它所对弧上圆周角度数的一半
变式2:如图,点A、B、C、D在⊙O上,AB是直径,若∠ABD=20°,则∠BCD等于
(
)
A.70°
B.110°
C.55°
D.140°
B
变式3:已知圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=7:5:11,则∠D大小为
°.
圆内接四边形的对角互补;
直径所对的圆周角是直角.
130
圆内接四边形的对角互补;
方程思想.
析一析
例1
已知,如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,与△ABC的外接圆交于点D.
求证:DB=DC.
问:①要证DB=DC,可以转化成证
明哪两个角相等?
②∠DBC与哪个角相等?为什么?
分析法:在推理过程中,从结论出发……
③
∠DCB与哪个角相等?为什么?
综合法:在推理过程中,从条件出发……
本题中用到了哪些性质定理?
变一变:已知,如图,点D是△ABC的外接圆上一点,DB=DC.
求证:AD是∠EAC的平分线.
问:①要证AD是角平分线,即要证明哪两个角相等?
②已知DB=DC,可以得到哪两个角相等?
③这四个角的关系你找到了吗?
例2
如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材,并使截面尽可能地大,应怎样锯?
最大横截面面积是多少?
当正方形ABCD内接于⊙O时面积最大,此时对角线AC、BD是直径吗?为什么?
如果这根原木长15m,问:锯出的木材的体积为多少立方米(树皮等损耗略去不计)?
理一理
这节课你学到了哪些知识?
1.定义:
一个四边形的4个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.
2.性质定理:圆的内接四边形的对角互补.
3.应用.
综合法与分析法是我们理清题意,形成解题思路的有效方法
分析问题、解决问题的方法.
思路导图
数学实验
数学猜想
证明性质定理
应用:
?计算
?证明
?解决实际问题
如图的平行四边形为什么没有外接圆?
圆内接平行四边形是
形
。
矩
平行四边形对角相等
圆内接四边形对角互补
∠A=∠C=90°
考一考
∠A=∠C
∠A+∠C=180°
谢谢大家!
作业:作业本3.6圆内接四边形
同圆或等圆中,圆内接矩形满足什么条件时面积最大?