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2.3
等腰三角形的性质定理（1）学案
课题
2.3
等腰三角形的性质定理（1）
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级上册
学习目标
1.掌握等腰三角形“三线合一”．2.会利用等腰三角形的性质定理2进行简单的推理、判断、计算和作图.
重点
等腰三角形性质定理2．
难点
例3的证明涉及的知识较多，还需添辅助线，是本节教学的难点．
教学过程
导入新课
【引入思考】
.等腰三角形的轴对称性:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________2.等腰三角形的性质定理1：__________________________________________________________3.等边三角形：
________________________________________________________________________________________________________________________________将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？如下图，在△ABC中，AB=AC,AD是角平分线.在图中找出所有相等的线段和相等的角.由此你发现了等腰三角形还有哪些性质?等腰三角形性质定理2
________________________________________________________________________________________________________________________________
请你自己写出证明过程.【思考】证明AD是△ABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高.用文字语言表示为：（1）如果AD是等腰三角形顶角的平分线，那么AD也是___________________、___________________
.（2）如果AD是等腰三角形底边上的中线，那么AD也是___________________
、___________________
.（3）如果AD是等腰三角形底边上的高线，那么AD也是
___________________
、___________________.用符号语言表示为：在△ABC中（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠____=∠____，____=____；（2）∵AB=AC，AD是中线，
∴∠____=∠____，____⊥____；（3）∵AB=AC，AD是角平分线，
∴____⊥____，____=____.
新知讲解
提炼概念等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一。典例精讲
例3
已知：如图，AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC求证：AD⊥BC例4
已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，底边BC=a，底边BC上的高线长为h.
课堂练习
巩固训练
1.已知：在△ABC中，AB=AC，O为不同于A的一点，且OB=OC，则直线AO与底边BC的关系为（ ）
A．平行B．AO垂直且平分BCC．斜交D．AO垂直但不平分BC2.△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论：①∠B＝∠C；②AD⊥BC；③∠BAC＝2∠BAD；④AB，AC边上的中线的长相等．其中正确的结论的个数是
(
)
A．1
B．2
C．3
D．43.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？（并用直尺与圆规画出相应的等腰三角形）4.如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC,
求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．求证：∠C＝∠BAD；答案引入思考几何语言表述：（1）∵AB=AC，∠1=∠2，∴AD⊥BC，BD=CD。（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD；（3）∵AB=AC，BD=CD，∴∠BAD=∠CAD
,AD⊥CD；证明：等腰三角形中，底边上的高线、中线、顶角的平分线重合．已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．证明：∵
AB=AC，
AD=AD，
BD=CD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD．
∴∠ADB+∠ADC=180度，
∴∠ADB=90度，即有AD⊥BC．提炼概念等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一典例精讲
例3
证明：如图，延长AD，交BC于点E。∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）而AD=AD（公共边）∠ADB=∠ADC（已知）∴△ABD≌△ACD（ASA）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）∴△ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）∵AE是等腰三角形ABC顶角的平分线∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）即AD⊥BC例4作法
如图：1、作线段BC=a；2、作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D；3、在直线
MN
上截取DA=h，连结AB、AC。△ABC就是所求作的等腰三角形。巩固训练1.B2.D3.如图，△A1OD，△A2OD，△A3OD，△A4OD就是所求的三角形．4.5.证明：∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC∴∠C+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠C＝∠BAD
课堂小结
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2.3
等腰三角形的性质定理（2）教案
课题
2.3
等腰三角形的性质定理（2）
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
1.掌握等腰三角形“三线合一”．2.会利用等腰三角形的性质定理2进行简单的推理、判断、计算和作图.
重点
等腰三角形性质定理2．
难点
例3的证明涉及的知识较多，还需添辅助线，是本节教学的难点．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题
你已经知道等腰三角形的哪些性质？1、等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，
对称轴是顶角平分线所在的直线。可以说成
“在同一个三角形中,等边对等角”几何语言：∵AB=AC，∴
∠B=∠C如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线。在图中找出所有相等的线段和相等的角。由此你发现了等腰三角形还有哪些性质？相等的线段:AB=AC,BD=CD相等的角:∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC几何语言表述：（1）∵AB=AC，∠1=∠2，∴AD⊥BC，BD=CD。（2）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，BD=CD；（3）∵AB=AC，BD=CD，∴∠BAD=∠CAD
,AD⊥CD；证明：等腰三角形中，底边上的高线、中线、顶角的平分线重合．已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．证明：∵
AB=AC，
AD=AD，
BD=CD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD．
∴∠ADB+∠ADC=180度，
∴∠ADB=90度，即有AD⊥BC．
思考自议通过提问引出等腰三角形的第二个性质。
讲授新课
提炼概念等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一三、典例精讲例3
已知：如图，AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC求证：AD⊥BC证明：如图，延长AD，交BC于点E。∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）而AD=AD（公共边）∠ADB=∠ADC（已知）∴△ABD≌△ACD（ASA）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）∴△ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）∵AE是等腰三角形ABC顶角的平分线∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）即AD⊥BC将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？因为图中的三角尺是等腰三角形.当重锤线经过三角尺斜边（底边）的中点时，重锤线（底边上的中线）与底边上的高叠合（等腰三角形三线合一），即三角尺的斜边与重锤线垂直，可以确定三角尺的斜边与横梁是水平的。否则梁就不是水平。
例4
已知线段a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC=a，底边BC=a，底边BC上的高线长为h.作法
如图：1、作线段BC=a；2、作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D；3、在直线
MN
上截取DA=h，连结AB、AC。△ABC就是所求作的等腰三角形。
通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识。
证明线段的垂直问题，借助等腰三角形的性质很方便，这是证明垂直问题的重要思路和方法．
课堂检测
四、巩固训练
1.已知：在△ABC中，AB=AC，O为不同于A的一点，且OB=OC，则直线AO与底边BC的关系为（ ）
A．平行B．AO垂直且平分BCC．斜交D．AO垂直但不平分BC1.B2.△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论：①∠B＝∠C；②AD⊥BC；③∠BAC＝2∠BAD；④AB，AC边上的中线的长相等．其中正确的结论的个数是
(
)
A．1
B．2
C．3
D．42.D3.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？（并用直尺与圆规画出相应的等腰三角形）如图，△A1OD，△A2OD，△A3OD，△A4OD就是所求的三角形．4.如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC,
求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．求证：∠C＝∠BAD；证明：∵AB＝AE，D为线段BE的中点，∴AD⊥BC∴∠C+∠DAC＝90°，∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠DAC＝90°∴∠C＝∠BAD
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2.3
等腰三角形的性质定理（2）
浙教版
八年级上
新知导入
情境引入
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
合作学习
2、等腰三角形性质定理1：
等腰三角形的两个底角相等.
可以说成
“在同一个三角形中,等边对等角”
几何语言：
A
C
B
∵AB=AC，
∴
∠B=∠C
1、等腰三角形的轴对称性：
你已经知道等腰三角形的哪些性质？
等腰三角形是轴对称图形，
对称轴是顶角平分线所在的直线。
如下图，在△ABC中，AB=AC,AD是角平分线.在图中找出所有相等的线段和相等的角.由此你发现了等腰三角形还有哪些性质?
A
B
C
D
相等的线段
相等的角
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B
与∠C.
∠BAD
与∠CAD
∠ADB
与∠ADC
提炼概念
等腰三角形性质定理2
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一.
请你自己写出证明过程.
【思考】证明AD是△ABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高.
A
B
C
D
证明：在△ABC中∵
AD是角平分线,∴∠BAD=∠CAD.
在△ABD和△ACD中,
∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴BD=CD,
∠ADB=∠ADC=90?
∴AD是△ABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高
（1）如果AD是等腰三角形顶角的平分线，
那么AD也是
、
.
（2）如果AD是等腰三角形底边上的中线，
那么AD也是
、
.
（3）如果AD是等腰三角形底边上的高线，
那么AD也是
、
.
底边上的高线
底边上的中线
顶角的平分线
底边上的高线
底边上的中线
顶角的平分线
用文字语言表示为：
A
B
C
D
C
A
B
1
2
D
用符号语言表示为：
在△ABC中
（1）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠____=∠____，____=____；
（2）∵AB=AC，AD是中线，
∴∠____=∠____，____⊥____；
（3）∵AB=AC，AD是角平分线，
∴____⊥____，____=____.
1
2
BD
CD
AD
BC
1
2
AD
BC
BD
CD
典例精讲
新知讲解
证明：延长AD，交BC于点E.
∵
AD平分∠BAC，
∴
∠BAD=∠CAD（角平分线的定义），
而AD=AD（公共边），∠ADB=∠ADC（已知），
∴
△ABD≌△ACD
（ASA），
例3
已知：如图,AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC，求证：AD⊥BC.
E
E
∴
AB=AC（全等三角形的对应边相等），
∴
△ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义），
∵
AE是等腰三角形ABC顶角的平分线，
∴
AE⊥BC
（等腰三角形三线合一）,
即AD⊥BC.
例3
已知：如图,AD平分∠BAC，∠ADB=∠ADC，求证：AD⊥BC.
h
a
分析
要作出等腰三角形ABC，关键是作出顶点A.
设底边BC上的高线为AD，根据“等腰三角形三线合一”的性质，AD也是底边BC上的中线.因此，只要作BC的垂直平分线l，然后在l上截取
DA=h，连结AB，AC，就得到所求作的等腰三角形.
例4
已知线段a,
h,
用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC=a,
底边BC边上的高线长为h.
作法:
1.
作线段BC=a.
2.
作线段BC的垂直平分线l,交BC于点D.
3.
在直线l上截取DA=h,
连结AB,
AC.
△ABC就是所求作的等腰三角形.
B
C
D
·
A
l
归纳概念
将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
因为图中的三角尺是等腰三角形.当重锤线经过三角尺斜边（底边）的中点时，重锤线（底边上的中线）与底边上的高叠合（等腰三角形三线合一），即三角尺的斜边与重锤线垂直，可以确定三角尺的斜边与横梁是水平的。否则梁就不是水平。
课堂练习
1.已知：在△ABC中，AB=AC，O为不同于A的一点，且OB=OC，则直线AO与底边BC的关系为（ ）
A．平行
B．AO垂直且平分BC
C．斜交
D．AO垂直但不平分BC
B
2.△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，则下列结论：①∠B＝∠C；②AD⊥BC；③∠BAC＝2∠BAD；④AB，AC边上的中线的长相等．其中正确的结论的个数是
(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】
①根据等边对等角可得到该结论，故正确；
②根据等腰三角形三线合一的性质可得到，故正确；
③根据等腰三角形三线合一的性质可得到，故正确；
④根据三角形全等可得到，故正确．
D
3.如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个？（并用直尺与圆规画出相应的等腰三角形）
如图，△A1OD，△A2OD，△A3OD，△A4OD就是所求的三角形．
4.如图，房屋的顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB=AC,
求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。
A
B
D
C
解：在△ABC中，
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
=40°(三角形内角和定理)
又∵AD⊥BC（已知）
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）
∴∠BAD=∠CAD=50°
5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E为边BC上的点，且AB＝AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A作AF∥BC，且AF、EF相交于点F．
求证：∠C＝∠BAD；
证明：
∵AB＝AE，D为线段BE的中点，
∴AD⊥BC
∴∠C+∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝90°
∴∠BAD+∠DAC＝90°
∴∠C＝∠BAD
课堂总结
等腰
三角形
顶角平分线
底边上的高
底边上的中线
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