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2.3
等腰三角形的性质定理（1）教案
课题
2.3
等腰三角形的性质定理（1）
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
掌握“等边对等角”的性质，并能运用计算或证明；2．掌握“等边三角形的各个内角都等于60°”的性质，并能运用计算或证明．
重点
等腰三角形性质定理
1
难点
等腰三角形性质定理
1的证明需添辅助线。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形的对称轴是：顶角平分线所在的直线是它的对称轴等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。任意画一个等腰三角形，通过折叠、测量等方式，探索它的内角之间有什么关系。你发现了什么？∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC.等腰三角形性质定理1
等腰三角形的两个底角相等可以说成
“在同一个三角形中,等边对等角”你能证明上面的结论吗？已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C证明：
如图，作△ABC的角平分线AD。在△ABD和△ACD，∵
AB=AC（已知）
∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）
AD=AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（SAS）∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）你能根据等腰三角形的轴对称性证明上述定理吗？证明：等腰三角形的对称轴为顶角的角平分线，根据轴对称图形的定义，对称轴两边的图形可以完全重合，所以∠B=∠C
思考自议
求角度时注意利用等腰三角形或等边三角形中角的关系及三角形内角和定理．
讲授新课
提炼概念三、典例精讲例1、求等边三角形ABC三个内角的度数.解：
如图，在△ABC中，∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等腰三角形的两个底角相等）同理，∠A=∠B∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=×180°=60°由“等腰三角形的两个底角相等”，可以得到以下推论：等边三角形的各个内角都等于60°例2：求证：等腰三角形两底角的平分线相等.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的两条角平分线。求证：BD=CE.证明：如图∵AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB（等腰三角形的两个底角相等）∵BD,CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线∴∠CBD=∠ABC，∠BCE=∠ACB（角平分线的定义）∴∠CBD=∠BCE又∵BC=CB（公共边）∴△BCE≌△CBD（ASA）∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）
当已知条件中没有角的度数是已知时，就根据图中角的关系用方程来解决。
利用垂直平分线和角平分线进行角度的转化．
等腰三角形的三个角中，已知其中的一个角的度数，利用等腰三角形的两个底角相等，可以直接求得其他两个角的度数，但要注意已知的角是顶角还是底角是否明确，若不明确，则要分类讨论．
课堂检测
四、巩固训练1.在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（ ）个A．1B．4C．7D．10
D2.如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于点E，那么这个图形中的等腰三角形共有（ ）
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个2.C
3.在△ABC中，
AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，
求△ABC各角的度数．解：
∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD(等边对等角)．设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，在△ABC中，有∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°.∴在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.4.已知：如图，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DE﹣DB=EC．证明：∵BP平分∠ABC，
∴∠DBP=∠CBP．
∴DE∥BC，
∴∠CBP=∠DPB．
∴∠DPB=∠DBP．即DP=DB．
同理可得PE=CE．
∴DE=BD+CE，即DE﹣DB=EC．5.△ABC是一个等边三角形，点D，E分别在AB，AC上，且BD＝AE，BE和CD相交于P，
求∠BPD的度数．解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB，∠A＝∠ACB＝60°，又∵BD＝AE，∴AD＝CE，∴△ACD≌△CBE(SAS)，∴∠ACD＝∠CBE，∴∠ABE＝∠DCB，∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC＝60°，∴∠BPD＝∠EBC＋∠DCB＝∠ABC＝60°.
课堂小结
1．等腰三角形的性质定理1定理：等腰三角形的两个底角相等，也就是说，在同一个三角形中，_______________．2．等边三角形的性质定理：等边三角形的各个内角都等于________.说明：等边三角形的特殊性质主要指：三个内角都相等，三条边都相等，是轴对称图形且有三条对称轴．等边对等角
60°
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2.3
等腰三角形的性质定理（1）学案
课题
2.3
等腰三角形的性质定理（1）
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级上册
学习目标
掌握“等边对等角”的性质，并能运用计算或证明；2．掌握“等边三角形的各个内角都等于60°”的性质，并能运用计算或证明．
重点
等腰三角形性质定理
1
难点
等腰三角形性质定理
1的证明需添辅助线。
教学过程
导入新课
【引入思考】
叫做等腰三角形；特殊情况是
。等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是
。等腰三角形中，相等的两边叫做
，另一边叫做
，两腰的夹角叫做
，腰和底边的夹角叫做
.任意画一个等腰三角形，通过折叠、测量等方式，探索它的内角之间有什么关系，你发现了什么？(请与你的同伴交流)现在请同学们将所画的等腰三角形对折，使两腰
AB，AC重叠在一起，折痕为AD，你能发现它的内角之间有什么关系呢？思考：你能利用已有的基本事实和定理证明这个结论吗?已知：在ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.想一想：1.如何证明两个角相等？
议一议：2.如何构造两个全等的三角形？证明：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________还有其他的证法吗？证明：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【总结归纳】__________________________________________________符号语言：在△ABC中，
∵AB=AC∴_____=_____（等边对等角）
新知讲解
提炼概念典例精讲
例1
求等边三角形ABC三个内角的度数.【思考】通过上面的题目，你能得出什么结论？由“等腰三角形的两个底角相等”，可以得到以下推论:等边三角形的各个内角都等于60°。符号语言：在△ABC中，
∵AB=AC=BC∴∠A=∠B=∠C=60°
例2
求证：等腰三角形两底角的平分线相等.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的两条角平分线。求证：BD＝CE.
课堂练习
巩固训练1.在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（ ）个A．1B．4C．7D．102.如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于点E，那么这个图形中的等腰三角形共有（ ）
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个3.在△ABC中，
AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，
求△ABC各角的度数．4.已知：如图，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DE﹣DB=EC．5.△ABC是一个等边三角形，点D，E分别在AB，AC上，且BD＝AE，BE和CD相交于P，求∠BPD的度数．答案引入思考等腰三角形性质定理1
等腰三角形的两个底角相等可以说成
“在同一个三角形中,等边对等角”你能证明上面的结论吗？已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C证明：
如图，作△ABC的角平分线AD。在△ABD和△ACD，∵
AB=AC（已知）
∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）
AD=AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（SAS）∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）你能根据等腰三角形的轴对称性证明上述定理吗？证明：等腰三角形的对称轴为顶角的角平分线，根据轴对称图形的定义，对称轴两边的图形可以完全重合，所以∠B=∠C。提炼概念典例精讲
例1
解：
如图，在△ABC中，∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等腰三角形的两个底角相等）同理，∠A=∠B∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=×180°=60°例2
证明：如图∵AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB（等腰三角形的两个底角相等）∵BD,CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线∴∠CBD=∠ABC，∠BCE=∠ACB（角平分线的定义）∴∠CBD=∠BCE又∵BC=CB（公共边）∴△BCE≌△CBD（ASA）∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）巩固训练1.D2.C3.解：
∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD(等边对等角)．设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，在△ABC中，有∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°.∴在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.4.证明：∵BP平分∠ABC，
∴∠DBP=∠CBP．
∴DE∥BC，
∴∠CBP=∠DPB．
∴∠DPB=∠DBP．即DP=DB．
同理可得PE=CE．
∴DE=BD+CE，即DE﹣DB=EC．5.解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB，∠A＝∠ACB＝60°，又∵BD＝AE，∴AD＝CE，∴△ACD≌△CBE(SAS)，∴∠ACD＝∠CBE，∴∠ABE＝∠DCB，∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC＝60°，∴∠BPD＝∠EBC＋∠DCB＝∠ABC＝60°.
课堂小结
1．等腰三角形的性质定理1
定理：等腰三角形的两个底角相等，也就是说，在同一个三角形中，_______________．2．等边三角形的性质
定理：等边三角形的各个内角都等于________.
说明：等边三角形的特殊性质主要指：三个内角都相等，三条边都相等，是轴对称图形且有三条对称轴．等边对等角
60°
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2.3
等腰三角形的性质定理（1）
浙教版
八年级上
新知导入
情境引入
什么叫等腰三角形？等腰三角形是什么对称图形？
它的对称轴是什么？
有两边相等的三角形叫做等腰三角形；
等腰三角形是轴对称图形；
轴对称是等腰三角形的顶角平分线所在的直线.
A
C
B
合作学习
任意画一个等腰三角形，通过折叠、测量等方式，探索它的内角之间有什么关系，你发现了什么？(请与你的同伴交流)
A
C
B
现在请同学们将所画的等腰三角形对折，使两腰
AB，AC重叠在一起，折痕为AD，你能发现它的内角之间有什么关系呢？
等腰三角形的两个底角相等
A
C
B
思考：你能利用已有的基本事实和定理证明这个结论吗?
已知：在ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
A
B
C
想一想：1.如何证明两个角相等？
议一议：2.如何构造两个全等的三角形？
证明：
如右图，作顶角的角平分线AD，则∠BAD=∠CAD.
∴
∠B=
∠C
(全等三角形的对应角相等).
AB=AC
(
已知
),
∠BAD=∠CAD
(
角平分线的定义
),
AD=AD
(公共边),
在△ABD和△ACD中
A
B
C
∴
△ABD≌△ACD
(SAS).
证明：
如右图，
作底边的中线AD，
则BD=CD.
∴
∠B=
∠C
(全等三角形的对应角相等).
AB=AC
(
已知
),
BD=CD
(
已作
)，
AD=AD
(公共边),
在△ABD和△ACD中
A
B
C
∴
△ABD≌△ACD
(SSS).
还有其他的证法吗？
提炼概念
等腰三角形的两个底角相等.（简称等边对等角）
符号语言：
在△ABC中，
∵AB=AC
∴
=
（等边对等角）
A
B
C
∠B
∠C
【总结归纳】
典例精讲
新知讲解
例1
求等边三角形ABC三个内角的度数.
解
如图，在△ABC中,
∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等腰三角形的两个底角相等).
同理，∠A=∠B.
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B=∠C=180°÷3=60°.
A
B
C
归纳概念
【思考】通过上面的题目，你能得出什么结论？
由“等腰三角形的两个底角相等”，可以得到以下推论:
等边三角形的各个内角都等于60°。
符号语言：
在△ABC中，
∵AB=AC=BC
∴∠A=∠B=∠C=60°
A
B
C
例2
求证：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的两条角平分线。
求证：BD＝CE.
A
B
C
D
E
证明：如图
∵
AB=AC（已知），
∴
∠ABC=∠ACB（等腰三角形的两个底角相等）.
∵
BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
A
B
C
D
E
∴
2∠CBD=∠ABC,
2∠BCE=
∠ACB（角平分线的定义），
∴
∠CBD=∠BCE.
又∵
BC=CB（公共边），∴
△BCE≌△CBD（ASA）.
∴
BD=CE（全等三角形的对应边相等）.
课堂练习
1.在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（ ）个
A．1
B．4
C．7
D．10
D
【解析】（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故具有这种性质的点P共有10个．
故选D．
2.如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于点E，那么这个图形中的等腰三角形共有（ ）
A．5个
B．6个
C．7个
D．8个
C
3.在△ABC中，
AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，
求△ABC各角的度数．
解：
∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD(等边对等角)．
设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，
在△ABC中，有∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，解
得x＝36°.
∴在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°.
4.已知：如图，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．
求证：DE﹣DB=EC．
证明：∵BP平分∠ABC，
∴∠DBP=∠CBP．
∴DE∥BC，
∴∠CBP=∠DPB．
∴∠DPB=∠DBP．即DP=DB．
同理可得PE=CE．
∴DE=BD+CE，即DE﹣DB=EC．
5.△ABC是一个等边三角形，点D，E分别在AB，AC上，且BD＝AE，BE和CD相交于P，
求∠BPD的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC＝AB，∠A＝
∠ACB＝60°，又∵BD＝AE，∴AD＝CE，
∴△ACD≌△CBE(SAS)，∴∠ACD＝∠CBE，∴∠ABE
＝∠DCB，∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC＝60°，∴∠BPD
＝∠EBC＋∠DCB＝∠ABC＝60°.
课堂总结
1．等腰三角形的性质定理1
定理：等腰三角形的两个底角相等，也就是说，在同一个三角形中，________
．
2．等边三角形的性质
定理：等边三角形的各个内角都等于________.
说明：等边三角形的特殊性质主要指：三个内角都相等，三条边都相等，是轴对称图形且有三条对称轴．
等边对等角
60°
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