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2.1图形的轴对称学案
课题
2.1图形的轴对称
单元
第一单元
学科
数学
年级
八年级上册
学习目标
理解轴对称及轴对称图形的概念，能判定一个图形是不是轴对称图形；2.掌握轴对称及轴对称图形的性质及画法．
重点
轴对称图形的概念和性质。
难点
轴对称图形性质得出的探索过程以及根据性质能做出轴对称的图。
教学过程
导入新课
【引入思考】
轴对称图形的相关概念：如图，AD平分∠BAC，AB＝AC．(1)四边形ABDC是轴对称图形吗？如果你认为是，说出它的对称轴，哪一个点与点B对称？(2)连结BC，交AD于点E．把四边形ABCD沿AD对折，BE与CE重合吗？∠AEB与∠AEC呢？由此你得到什么结论？(3)取AC的中点M和AB中点N，连结MN，线段MN与直线AD是什么关系？
新知讲解
提炼概念画对称图形的方法1.几何图形都可以看做由点组成，只要做出这些点关于对称轴的对称点，再连结对称点，就可以得到原图形的对称图形。2.对于一些由直线、线段或射线组成的图形只要作出图形中的一些特殊点的对称点，再连结对称点，就可以得到原图形的对称图形。典例精讲
例1
如图，已知△ABC和直线m。以直线m
为对称轴，求作以点A,B,C的对称点A’,B’,C’为顶点的△
A’B’C’例2
如图，直线l表示草原上的一条河流，一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中，他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线。
课堂练习
巩固训练1. 如图四个图形，其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2条的图形的个数是
(
)
A．1
B．2
C．3
D．42.如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为(
)A．115°
B．120°
C．130°
D．140°2.A已知对称轴
l
和线段AB，画出线段AB关于直线l的对称点A′B′。4.在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=5，EC=7，点P是BD上的动点，作图说明PE+PC的最小值并求出这个最小值．5.在∠ABC内有一点P，问：
(1)能否在BA，BC边上各找到一点M，N，使△PMN的周长最短？若能，请画图说明；若不能，说明理由．
(2)若∠ABC＝40°，在(1)问的条件下，能否求出∠MPN的度数？若能，请求出它的数值；若不能，请说明原因．
答案引入思考把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形。提炼概念典例精讲
例1
解：如图.1.作AP⊥m，延长AP至A’,使A’P=AP2.按上述方法作出点B的对称点B’，点C的对称点C’3.依次连结A’B’，B’C’，C’A’△A’B’C’就是所求作的三角形例2
解：如图，作点A关于直线l的对称点A’，连结A’B，交直线l于点A’，连结A’B，交直线l于点C，连结AC，骑马少年沿折线A-C-B的路线行走时路程最短。下面给出证明：设P是直线l上任意一点，连结AP，A’P由作图知，直线l垂直平分AA’则AC=A’C，AP=A’P（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）∴
AP+BP=A’P+BP≥A’BA’B=A’C+BC=AC+BC即AP+BP≥AC+BC所以沿折线A-C-B的路线行走时路程最短。巩固训练AA3.4.解：如图:PE+PC的最小值为13.5.解：(1)能找到．所作图形如答图．
(2)∵∠ABC＝40°，
∴∠EPF＝140°，
∵MP＝MP′，NP＝NP″，
∴∠PMN＝∠MP′P＋∠MPP′＝2∠MPP′，
∠MNP＝∠NPP″＋∠NP″P＝2∠NPP″.
又∵∠MPN＋(∠MPP′＋∠NPP″)＝140°，
∠MPN＋(∠PMN＋∠PNM)＝∠MPN＋2(∠MPP′＋∠NPP″)＝180°，
∴∠MPP′＋∠NPP″＝40°，
∠MPN＝100°.
课堂小结
图形的轴对称1.两个定义（1）什么叫做轴对称图形？（2）什么叫做图形的轴对称？2.两个性质：轴对称图形的性质：图形的轴对称性质
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2.1图形的轴对称
浙教版
八年级上
新知导入
情境引入
北京故宫建成于1420年，整个宫殿建筑布局沿中轴线向东西两侧展开，呈现轴对称的结构，由于轴对称给人以美感，它被广泛应用于建筑设计上.
观察图中的几组图片和图形，它们有什么共同特点?
它们都关于某一条直线对称。
如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.
这条直线叫做对称轴。
轴对称图形
对称轴
合作学习
例如，长方形是有两条对称轴的轴对称图形，如图1；正方形是有四条对称轴的轴对称图形，如图2；圆也是轴对称图形，任何过圆心的直线都是它的对称轴，如图3.
图1
图2
图3
提炼概念
【思考】1.下列图形是轴对称图形吗？你是怎样判别的？
注意：判断一个图形是不是轴对称图形，关键是抓住轴对称的本质，即图形是否有“存在直线，将其折叠，互相重合”的图形特征。
2.如图，AD平分∠BAC，AB=AC.
（1）四边形ABDC是轴对称图形吗?如果你认为是，说出它的对称轴。哪一个点与点B对称?
A
B
D
C
2.如图，AD平分∠BAC，AB=AC.
（2）如图，连结BC，交AD于点E.把四边形ABDC沿AD对折，BE与CE重合吗?∠AEB与∠AEC呢？由此你得到什么结论?
A
B
D
C
E
【议一议】
（1）在轴对称图形中，对应点所连的线段与对称轴有什么关系？
（2）对应线段有什么关系？
（3）对应角有什么关系？
（4）在两个成轴对称的图形中呢？
相等
相等
相等
垂直平分
【总结归纳】
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
轴对称图形有下面的性质：
对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。
典例精讲
新知讲解
例1
如图2-6，已知△ABC和直线m.以直线m为对称轴，求作以点A，B，C的对称点A'，B'，C'为顶点的△A'B'C'.
A
C
B
m
分析
如下图，根据“对称轴垂直平分连结两个对称点的线段”的性质，直线m垂直平分线段AA'，所以只要过点A作直线m的垂线段AP，延长AP至A'，使A'P=AP，则A'便是点A的对称点.类似地，可以作出点B，C的对称点B'，C'
A
C
B
m
P
A'
解
如图2-7.
1.作AP⊥m，延长AP至A'，使A'P=AP.
2.按上述方法作出点B的对称点B'，点C的对称点C'.
3.依次连结A'B',B'C',C'A'.
△A'B'C'就是所求作的三角形。
A
C
B
m
P
A'
B'
C'
归纳概念
如果把图2-7沿直线m折叠，那么△A'B'C'就和△ABC重合，这时我们说△A'B'C'与△ABC关于直线m成轴对称。
一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴。
图形的轴对称有下面的性质：
成轴对称的两个图形是全等图形.
轴对称和轴对称图形的区别和联系
轴对称
轴对称图形
区
别
图形
两个图形之间的对称关系
一个图形自身的对称特征
对称点位置
在两个图形上
在同一个图形上
对称轴条数
一条
至少一条
联
系
1.都沿某直线翻折后能够互相重合；
2.它们可以互相转化；如果把轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两个部分，那么两个部分就是关于这条对称轴成轴对称
例2
如图2-8，直线l表示草原上的一条河流.一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中.他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线.
A·
B·
l
解
如图，作点A关于直线l的对称点A'，连结A'B，交直线l于点C，连结AC.骑马少年沿折线A-C-B的路线行走时路程最短.
A·
B·
l
A'
C
下面给出证明：
设P是直线l上任意一点，连结AP，A'P.
由作图知，直线l垂直平分AA'，
则AC=A'C,AP=A'P(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）.
∴AP+BP=A'P+BP≥A'B,
A'B=A'C+BC=AC+BC，
即AP+BP≥AC+BC，
所以沿折线A-C-B的路线行走时路程最短。
A·
B·
l
A'
C
P
将军饮马问题解题思路的归纳
简单说所有题目需要作对称的点，都是题目的定点。或者说只有定点才可以去作对称的。
那么作谁的对称点？
首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一个点。那么是哪一条线？一般而言都是动点所在直线。
1.?怎么对称，作谁的对称？?
和另外一个顶点相连。绝对不能和一个动点相连。
明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。
将军饮马问题解题思路的归纳
2.?对称完以后和谁连接？?
所求点最后反应在图上一定是个交点。实际就是我们所画直线和已知直线的交点。
将军饮马问题解题思路的归纳
3.?所求点怎么确定？?
课堂总结
1. 如图四个图形，其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2条的图形的个数是
(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
A
2.如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为(
)
A．115°
B．120°
C．130°
D．140°
A
3.已知对称轴
和线段AB，画出线段AB关于直线l的对称点A′B′。
A'
B'
A
B
B'
B
A
A'
B
A
B‘
A’
4.在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=5，EC=7，点P是BD上的动点，作图说明PE+PC的最小值并求出这个最小值．
5.在∠ABC内有一点P，问：
(1)能否在BA，BC边上各找到一点M，N，使△PMN的周长最短？若能，请画图说明；若不能，说明理由．
(2)若∠ABC＝40°，在(1)问的条件下，能否求出∠MPN的度数？若能，请求出它的数值；若不能，请说明原因．
解：(1)能找到．所作图形如答图．
(2)∵∠ABC＝40°，
∴∠EPF＝140°，
∵MP＝MP′，NP＝NP″，
∴∠PMN＝∠MP′P＋∠MPP′＝2∠MPP′，
∠MNP＝∠NPP″＋∠NP″P＝2∠NPP″.
又∵∠MPN＋(∠MPP′＋∠NPP″)＝140°，
∠MPN＋(∠PMN＋∠PNM)＝∠MPN＋2(∠MPP′＋∠NPP″)＝180°，
∴∠MPP′＋∠NPP″＝40°，
∠MPN＝100°.
课堂总结
图形的轴对称
1.两个定义
（1）什么叫做轴对称图形？
（2）什么叫做图形的轴对称？
2.两个性质：
轴对称图形的性质：
图形的轴对称性质
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2.1图形的轴对称
教案
课题
2.1图形的轴对称
单元
第一单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
理解轴对称及轴对称图形的概念，能判定一个图形是不是轴对称图形；2.掌握轴对称及轴对称图形的性质及画法．
重点
轴对称图形的概念和性质。
难点
轴对称图形性质得出的探索过程以及根据性质能做出轴对称的图。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴2条对称轴4条对称轴
无数条对称轴我们学过的线段和角是不是轴对称图形？线段是轴对称图形,它的对称轴是这条线段的垂直平分线轴对称图形沿对称轴对折后互相重合的两个点叫做对称点如图：点A的对称点是点B角是轴对称图形,它的对称轴是这个角的平分线所在的直线1.下列图形是轴对称图形吗？你是怎么判别的？是轴对称图形，根据轴对称图形的定义，沿一条直线折叠，直线两侧的图形可以重合对于以上各轴对称图形，你能找出对称轴吗？有哪些方法？如图为各图形的对称轴，用对折的方法_2.如图，AD平分∠BAC，AB=AC。（1）四边形ABDC是轴对称图形吗？如果你认为是，说出它的对称轴，哪一个点与点B对称？是，对称轴是线段BC所在直线，C与点B对称（2）如图，连结BC，交AD于E。把四边形ABDC沿AD对折，BE与CE重合吗？∠AEB与∠AEC呢？由此你得到什么结论？BE和CE重合，
∠AEB与∠AEC重合。轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段
思考自议
讲授新课
提炼概念画对称图形的方法1.几何图形都可以看做由点组成，只要做出这些点关于对称轴的对称点，再连结对称点，就可以得到原图形的对称图形。2.对于一些由直线、线段或射线组成的图形只要作出图形中的一些特殊点的对称点，再连结对称点，就可以得到原图形的对称图形。三、典例精讲如图，已知△ABC和直线m。以直线m
为对称轴，求作以点A,B,C的对称点A’,B’,C’为顶点的△
A’B’C’分析：（1）作新图形的过程其实是找到关键点，然后作出关键点的过程。
（2）操作的依据是“对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段”。
解：如图.1.作AP⊥m，延长AP至A’,使A’P=AP2.按上述方法作出点B的对称点B’，点C的对称点C’3.依次连结A’B’，B’C’，C’A’△A’B’C’就是所求作的三角形.如果把右图沿直线m
折叠，两个三角形会重合吗？如果重合，这说明什么？能重合，说明（1）轴对称变换不改变原图形的形状和大小。（2）经轴对称变换所得的图形和原图形全等。由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称。这条直线叫做对称轴图形的轴对称有下面的性质：成轴对称的两个图形是全等图形例2
如图，直线l表示草原上的一条河流，一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中，他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线。分析
如图，设P是直线l上任意一点，连结AP,BP。以直线l为对称轴，作与线段AP成轴对称的线段A’P，则AP+BP=A’P+BP。显然，当点A’，P,B同在一直线上时，A’P+BP最短，即路程最短解：如图，作点A关于直线l的对称点A’，连结A’B，交直线l于点A’，连结A’B，交直线l于点C，连结AC，骑马少年沿折线A-C-B的路线行走时路程最短。下面给出证明：设P是直线l上任意一点，连结AP，A’P由作图知，直线l垂直平分AA’则AC=A’C，AP=A’P（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）∴
AP+BP=A’P+BP≥A’BA’B=A’C+BC=AC+BC即AP+BP≥AC+BC所以沿折线A-C-B的路线行走时路程最短。
判断一个图形(图案)是不是轴对称图形，关键是能否在图形中找到一条直线，沿该直线对折后直线两旁的部分能互相重合．
利用轴对称求解最短路径的知识，关键是掌握此类题目解答的步骤：①找其中一点的对称点，②连结此对称点与另外一点．
课堂检测
四、巩固训练1. 如图四个图形，其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2条的图形的个数是
(
)
A．1
B．2
C．3
D．41.A2.如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为(
)A．115°
B．120°
C．130°
D．140°3.已知对称轴
l
和线段AB，画出线段AB关于直线l的对称点A′B′。4.在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=5，EC=7，点P是BD上的动点，作图说明PE+PC的最小值并求出这个最小值．解：如图:PE+PC的最小值为13.5.在∠ABC内有一点P，问：
(1)能否在BA，BC边上各找到一点M，N，使△PMN的周长最短？若能，请画图说明；若不能，说明理由．
(2)若∠ABC＝40°，在(1)问的条件下，能否求出∠MPN的度数？若能，请求出它的数值；若不能，请说明原因．解：(1)能找到．所作图形如答图．
(2)∵∠ABC＝40°，
∴∠EPF＝140°，
∵MP＝MP′，NP＝NP″，
∴∠PMN＝∠MP′P＋∠MPP′＝2∠MPP′，
∠MNP＝∠NPP″＋∠NP″P＝2∠NPP″.
又∵∠MPN＋(∠MPP′＋∠NPP″)＝140°，
∠MPN＋(∠PMN＋∠PNM)＝∠MPN＋2(∠MPP′＋∠NPP″)＝180°，
∴∠MPP′＋∠NPP″＝40°，
∠MPN＝100°.
课堂小结
图形的轴对称1.两个定义（1）什么叫做轴对称图形？（2）什么叫做图形的轴对称？2.两个性质：轴对称图形的性质：图形的轴对称性质
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