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2.2
等腰三角形
教案
课题
2.2等腰三角形
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的轴对称性；2.理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的轴对称性．
重点
等腰三角形的轴对称性.
难点
等腰三角形的轴对称性的推理说明是本节教学的难点.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题如图，埃及金字塔的四个面都呈等腰三角形的形状。
思考自议
已知的边不确定为底边或腰时，要分情况讨论求解．
讲授新课
提炼概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.如图所示，AB＝AC，△ABC就是等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.1、如图,点D在AC上,AB=AC,AD=BD。你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角。两个等腰三角形，分别为△ABC和△ABD△ABC的腰是AB和AC，底边为BC，顶角为∠A△ABD的腰是AD和BD，底边为AB，顶角为∠ADB【做一做】如图,点D在AC上，AB=AC，AD=BD。你能在图中找到几个等腰三角形？说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角。等腰三角形腰底边顶角三、典例精讲例1
求证：等腰三角形两腰上的中线相等。已知：如图，△ABC中，AB=AC，CD、BE是AB、AC边上的中线。求证：BD=CE证明：∵CD，BE分别是AB,AC上的中线∴AD=AB，AE=AC（_三角形中线的定义）∵AB=AC（已知）∴AD=AE又∵∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（SAS）∴BE=CD（全等三角形的对应边相等）在透明纸上任意画一个等腰三角形ABC，画出它的顶角平分线AD，然后沿着AD所在的直线把△ABC对折，你发现了什么？由此你得出什么结论？直线AD两侧的图形能够完全重合等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是一类特殊的等腰三角形。如图，AB=BC=AC，△ABC是一个等边三角形等边三角形有几条对称轴？有3条对称轴例2:如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB，AC上的点，且AD=AE，AP是△ABC的角平分线。点D，E关于AP对称吗？DE与BC有怎样的位置关系?请说明你的判断.解:
点D和点E关于直线AP对称,
DE∥BC.理由如下∵
AB=AC
,AP为∠BAC的角平分线∴
△ABC是以直线AP为对称轴的轴对称图形∴
点B和点C关于直线AP对称同理,点D和点E关于直线AP对称∴BC⊥AP，DE⊥AP（轴对称图形的性质）∴DE∥BC
等腰三角形中的分类讨论，可以以顶角为标准，分为三类，然后根据顶角确定腰．
利用等腰三角形的轴对称性解决问题，关键是找出对称轴——顶角平分线．
课堂检测
四、巩固训练1.等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm
,则腰长为（
）A．2cm
B．8cm
C．2cm或8cm
D．以上都不对1.B2．已知△ABC的三边a，b，c满足(a－b)(b－c)＝0，则△ABC是( )A．直角三角形
B．等腰三角形C．等边三角形
D．以上都不对2.B3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=3.（1）求∠BDC的度数.（2）求AC的长度.
解：（1）因为AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为点E，所以AD=BD.所以∠ABD=∠A=30°.所以∠BDC=∠ABD+∠A=60°.（2）因为在△ABC中，∠C=90°，∠BDC=60°，所以∠CBD=30°.所以BD=2CD=2×3=6.所以AD=BD=6.所以AC=AD+CD=9.4.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成15cm和6cm两部分，求等腰三角形的底边长。解：∵等腰三角形的周长是15cm+6cm=21cm，
设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，由题意得
或
解得
或
(不符舍去)
∴等腰三角形的底边长为1cm5.如图，在正方形ABCD所在的平面内，画出与正方形各边均构成等腰三角形的点P，并指出这样的点有几个。解：符合条件的点P有9个，如图所示。
课堂小结
本节课学习了哪些内容？
1.等腰三角形两腰上的中线相等2.等腰三角形是轴对称图形.3.顶角平分线所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形是一类特殊的等腰三角形。
?
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x=4
y=13
x=10
y=1
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2.2
等腰三角形
浙教版
八年级上
新知导入
情境引入
如图，埃及金字塔的四个面都呈等腰三角形的形状
合作学习
等腰三角形中，
相等的两边都叫做腰，
另一边叫做底边，
两腰的夹角叫做顶角，
腰和底边的夹角叫做底角.
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图所示，AB＝AC，△ABC就是等腰三角形.
顶角
底角
底角
底边
腰
腰
思考：如图,点D在AC上,AB=AC,AD=BD。你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角。
等腰三角形
腰
底边
顶角
△ABC
△ABD
AB和AC
BC
∠A
AD和BD
AB
∠ADB
提炼概念
典例精讲
新知讲解
例1
求证：等腰三角形两腰上的中线相等
已知:如图，在△ABC中，AB=AC，CD，BE分别是腰AB，AC上的中线.
求证:BE=CD.
A
B
C
D
证明
：
∵CD，BE分别是AB，AC上的中线(已知)，
∴AB=2AD,AC=2AE(三角形中线的定义).
∵AB=AC(已知)，∴
AD=AE.
又
∵∠A=∠A(公共角)，
∴△ABE≌△ACD
(SAS).
∴BE=CD(全等三角形的对应边相等).
A
B
C
D
【合作学习】在透明纸上任意画一个等腰三角形
ABC，画出它的顶角平分线AD，然后沿着AD所在的直线把△ABC对折.
你发现了什么？由此你得出什么结论？
A
B
C
D
A
C(B)
D
(1)AB与AC重合；
(2)点B与点C重合；
(3)∠B＝∠C;
你发现了什么？
A
C(B)
D
当我们沿着等腰三角形ABC的顶角平分线AD所在的直线把△ABC对折时，因为∠BAD=∠CAD,所以射线AB与AC重合.又因为AB=AC，所以点B与点C重合，即直线AD两侧的图形能够完全重合.
我们有下面的结论:
等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴.
你得到了什么结论？
归纳概念
【思考】什么样的三角形是等边三角形？
如图，AB=BC=AC，△ABC是一个等边三角形。
等边三角形是一类特殊的等腰三角形。
想一想，等边三角形有几条对称轴?
三条边都相等的三角形叫做等边三角形
A
B
C
想一想
2.等边三角形有哪些特征？
（1）等边三角形的三条边都相等；
（2）等边三角形的内角都相等,且等于
60
°;
（3）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；
【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，且AD=AE
。AP是△ABC的角平分线。点D，E关于AP对称吗？DE与BC有怎样的位置关系？请说明你的判断。
A
B
C
P
D
E
思考下面几个问题。
（1）将等腰三角形ABC沿顶角平分线折叠时，线段AD与AE能重合吗？为什么？边AB与AC呢？
（2）AD与AE重合，AB与AC重合，说明点D与点E，点B与点C分别有怎样的位置关系？
（3）轴对称图形有什么性质？由此可推出AP与DE，BC有怎样的位置关系？那么DE与BC呢？
解
点D和点E关于AP对称，且DE∥BC.
理由如下:
因为AP是∠BAC的平分线，AB=AC，AD=AE，所以等腰三角形ABC和等腰三角形ADE都是以直线AP为对称轴的轴对称图形，点B和点C，点D和点E都关于AP对称.
根据“对称轴垂直平分连结两个对称点的线段”，知AP⊥DE，AP⊥BC，所以DE∥BC.
课堂练习
1.等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm
,则腰长为（
）
A．2cm
B．8cm
C．2cm或8cm
D．以上都不对
B
2．已知△ABC的三边a，b，c满足(a－b)(b－c)＝0，则△ABC是
( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等边三角形
D．以上都不对
B
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=3.
（1）求∠BDC的度数.
（2）求AC的长度.
解：（1）因为AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为点E，
所以AD=BD.
所以∠ABD=∠A=30°.
所以∠BDC=∠ABD+∠A=60°.
（2）因为在△ABC中，∠C=90°，∠BDC=60°，所以∠CBD=30°.
所以BD=2CD=2×3=6.
所以AD=BD=6.
所以AC=AD+CD=9.
4.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成15cm和6cm两部分，求等腰三角形的底边长。
A
D
C
B
解：∵等腰三角形的周长是15cm+6cm=21cm，
设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，由题意得
或
解得
或
(不符舍去)
∴等腰三角形的底边长为1cm
x=10
y=1
x=4
y=13
分类思想
5.如图，在正方形ABCD所在的平面内，画出与正方形各边均构成等腰三角形的点P，并指出这样的点有几个。
解：符合条件的点P有9个，如图所示。
课堂总结
本节课学习了哪些内容？
1.等腰三角形两腰上的中线相等
2.等腰三角形是轴对称图形.
3.顶角平分线所在的直线是它的对称轴.
4.等边三角形是一类特殊的等腰三角形。
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2.2等腰三角形
学案
课题
2.2等腰三角形
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级上册
学习目标
理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的轴对称性；2.理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的轴对称性．
重点
等腰三角形的轴对称性.
难点
等腰三角形的轴对称性的推理说明是本节教学的难点.
教学过程
导入新课
【引入思考】
在练习本上画一个等腰三角形，标出字母。思考：什么样的三角形是等腰三角形?______________________________________________________________________在小学我们已经学过，有两边相等的三角形叫做______________它的各部分名称分别是什么？等腰三角形中，相等的两边都叫做_______，
另一边叫做_______，两腰的夹角叫做_______，腰和底边的夹角叫做_______.【做一做】如图,点D在AC上，AB=AC，AD=BD。你能在图中找到几个等腰三角形？说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角。等腰三角形腰底边顶角
新知讲解
提炼概念典例精讲
例1
求证：等腰三角形两腰上的中线相等已知:如图，在△ABC中，AB=AC，CD，BE分别是腰AB，AC上的中线.求证:BE=CD.【合作学习】在透明纸上任意画一个等腰三角形
ABC，画出它的顶角平分线AD，然后沿着AD所在的直线把△ABC对折.你发现了什么？__________________________________________________________________________________________________________________________________________当我们沿着等腰三角形ABC的顶角平分线AD所在的直线把△ABC对折时，因为∠BAD=∠CAD,所以射线AB与AC重合.又因为AB=AC，所以点B与点C重合，即直线AD两侧的图形能够完全重合.你得到了什么结论？____________________________________________________________________________________________________________________________________________________【思考】什么样的三角形是等边三角形？__________________________________________想一想，等边三角形有几条对称轴?.等边三角形有哪些特征？_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，且AD=AE。AP是△ABC的角平分线。点D，点E关于AP对称吗？DE与BC有怎样的位置关系？请说明你的判断。思考下面几个问题。（1）将等腰三角形ABC沿顶角平分线折叠时，线段AD与AE能重合吗？为什么？边AB与AC呢？（2）AD与AE重合，AB与AC重合，说明点D与点E，点B与点C分别有怎样的位置关系？（3）轴对称图形有什么性质？由此可推出AP与DE，BC有怎样的位置关系？那么DE与BC呢？
课堂练习
巩固训练
1.等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm
,则腰长为（
）A．2cm
B．8cm
C．2cm或8cm
D．以上都不对
2．已知△ABC的三边a，b，c满足(a－b)(b－c)＝0，则△ABC是( )A．直角三角形
B．等腰三角形C．等边三角形
D．以上都不对3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=3.（1）求∠BDC的度数.（2）求AC的长度.4.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成15cm和6cm两部分，求等腰三角形的底边长。答案引入思考有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.如图所示，AB＝AC，△ABC就是等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.1、如图,点D在AC上,AB=AC,AD=BD。你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角。两个等腰三角形，分别为△ABC和△ABD△ABC的腰是AB和AC，底边为BC，顶角为∠A△ABD的腰是AD和BD，底边为AB，顶角为∠ADB提炼概念典例精讲
例1
证明：∵CD，BE分别是AB,AC上的中线∴AD=AB，AE=AC（_三角形中线的定义）∵AB=AC（已知）∴AD=AE又∵∠A=∠A∴△ABE≌△ACD（SAS）∴BE=CD（全等三角形的对应边相等）三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形是一类特殊的等腰三角形。如图，AB=BC=AC，△ABC是一个等边三角形等边三角形有几条对称轴？有3条对称轴例2
解:
点D和点E关于直线AP对称,
DE∥BC.理由如下∵
AB=AC
,AP为∠BAC的角平分线∴
△ABC是以直线AP为对称轴的轴对称图形∴
点B和点C关于直线AP对称同理,点D和点E关于直线AP对称∴BC⊥AP，DE⊥AP（轴对称图形的性质）∴DE∥BC巩固训练1.B2.B3.解：（1）因为AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为点E，所以AD=BD.所以∠ABD=∠A=30°.所以∠BDC=∠ABD+∠A=60°.（2）因为在△ABC中，∠C=90°，∠BDC=60°，所以∠CBD=30°.所以BD=2CD=2×3=6.所以AD=BD=6.所以AC=AD+CD=9.4.解：∵等腰三角形的周长是15cm+6cm=21cm，
设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，由题意得
或
解得
或
(不符舍去)
∴等腰三角形的底边长为1cm如图，在正方形ABCD所在的平面内，画出与正方形各边均构成等腰三角形的点P，并指出这样的点有几个。解：符合条件的点P有9个，如图所示。
课堂小结
本节课学习了哪些内容？
1.等腰三角形两腰上的中线相等2.等腰三角形是轴对称图形.3.顶角平分线所在的直线是它的对称轴.4.等边三角形是一类特殊的等腰三角形。
?
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x=4
y=13
x=10
y=1
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