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2.4
等腰三角形的判定定理教案
课题
2.4
等腰三角形的判定定理
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
理解并掌握等腰三角形的判定定理；2.理解并掌握等边三角形的判定定理．
重点
等腰三角形的判定定理的探索和应用。
难点
等腰三角形的判定与性质的区别。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题
等腰三角形的性质:1、等腰三角形的两腰相等.2、等腰三角形的两个底角相等.(在同一个三角形中,等边对等角)3、等腰三角形三线合一顶角平分线、底边上的中线和底边上的高如图所示，量出AC的长，就可算出河的宽度AB，你知道为什么吗？在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的角，两角的另一边相交于点A。量一量，线段AB与AC相等吗？其他同学的结果与你的相同吗？你发现了什么规律？相等如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形等腰三角形的判定定理2：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简单地说，在同一个三角形中,等角对等边。用几何语言表示为：在△ABC中，
∵∠B=∠C
(
已知
)∴AC=AB.
（在一个三角形中，等角对等边）
如图，下列推理正确吗？∵∠1=∠2∴BD=DC（等角对等边）∵∠1=∠2∴DC=BC（等角对等边）错，因为都不是在同一个三角形中。证明上述定理：已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C求证：△ABC是等腰三角形证明：如图，作△ABC的角平分线AD在△ABD和△ACD中，∵
∠1=∠2（角平分线的定义）
∠B=∠C（已知）
AD=AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（AAS）∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）∴△ABC是等腰三角形
思考自议判断等腰三角形的方法常利用相等的角找相等的边．
讲授新课
提炼概念等腰三角形判定定理1：如果一个三角形的两条边相等，那么可判定这个三角形是等腰三角形。你还知道其他判定方法吗？三、典例精讲一次数学实践活动的内容是测量河宽,如图，即测量A,B之间的距离.同学们想出了许多方法,其中小聪的方法是:从点A出发,沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至C,在C处测得∠C=30°.量出AC的长，它就是河的宽度AB(即A,B之间的距离).这个方法正确吗？请说明理由.解：这一方法正确。理由如下：∵∠CAD=∠B+∠C（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴∠B=∠CAD-∠C=60°-30°=30°∴∠B=∠C∴AB=AC（在同一个三角形中，等角对等边）等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形证明：∵∠A=∠B=∠C=60°∴AB=AC=BC∴△ABC是等边三角形等边三角形的判定定理2：有一个角是60°的三角形是等边三角形证明：（1）假如顶角是60度，那么下面两个角之和为120度，又因为是等腰三角形，所以两个角相等，等于120÷2=60度，所以三个角相等，所以是等边三角形。
（2）假如60度角是一个底角，因为是等腰三角形，所以另外一个底角也是60度，那么顶角等于180-60-60=60度。所以三个角相等，所以是等边三角形。
通过实践探究来发现等腰三角形的第二个判定定理
等腰三角形的性质与判定、平行线的性质的综合应用，“平行线＋角平分线”构成等腰三角形是基本图形，熟练掌握这个基本图形。
课堂检测
四、巩固训练
1.△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，点O为BD，CE的交点，则图中等腰三角形的个数是
(
)
A．4
B．5
C．7
D．8D【解析】
△ABC，△ABD，△ACE，△BOC，△BEO，△CDO，△BCD，△CBE是等腰三角形．
∴图中的等腰三角形有8个．2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有( )A．2个
B．3个
C．4个
D．5个C3.在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P，求证：PB＝PC，并请直接写出图中其他相等的线段．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∴
△ABF
≌△ACE(SAS)．∴
∠ABF＝∠ACE，
∴∠ABC－∠ABF＝∠ACB－∠ACE，
∴∠FBC＝∠ECB，∴PB＝PC.
相等的线段还有：PE＝PF，BF＝CE，BE＝CF.4.△ABC为等边三角形，点D在线段AF上，点F在线段BE上，点E在线段CD上，∠1＝∠2＝∠3.
(1)求∠BEC的度数；
(2)△DEF为等边三角形吗？为什么？
解：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∴∠BCE＋∠3＝60°.
∵∠2＝∠3，∴∠BCE＋∠2＝60°.
∴∠BEC＝180°－∠BCE－∠2＝120°.
(2)△DEF为等边三角形．理由如下：
∵∠BEC＝120°，∴∠DEF＝60°，
同理，∠EFD＝60°，∠EDF＝60°，
∴∠DEF＝∠EFD＝∠EDF＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
归纳总结等腰三角形的性质和判定定理
通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识
课堂小结
1．等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，简单地说，在同一个三角形中，_________________．注意：“等角对等边”只限于在同一个三角形中，若两个三角形有两边(或两角)对应相等，那么它们所对的角(或边)不一定相等．2．等边三角形的判定定理：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明一个三角形是等边三角形的方法：
(1)利用定义说明三条边相等；
(2)说明三角形三个角相等；(3)说明它是等腰三角形且有一个角是60°.
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2.4
等腰三角形的判定定理
学案
课题
2.4
等腰三角形的判定定理
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级上册
学习目标
理解并掌握等腰三角形的判定定理；2.理解并掌握等边三角形的判定定理．
重点
等腰三角形的判定定理的探索和应用。
难点
等腰三角形的判定与性质的区别。
教学过程
导入新课
【引入思考】
请在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点．以BC为一边，在BC的同一侧画两个相等的角，两角的终边相交于点A．因此，在△ABC中，∠B＝∠C．量一量，线段AB与AC相等吗？其他同学的结果与你相同吗？你发现了什么规律？作图
证明等腰三角形的判定方法：.
新知讲解
提炼概念典例精讲
例1：一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量A，B之间的距离．同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点A出发，沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至C，在C处测得∠C＝30°．量出AC的长，它就是河宽(即A，B之间的距离)．这个方法正确吗？请说明理由．说明线段相等的方法：探究判定：1、三个内角都等于60°的三角形是等边三角形？探究判定：2、有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形？
课堂练习
巩固训练
1.△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，点O为BD，CE的交点，则图中等腰三角形的个数是
(
)
A．4
B．5
C．7
D．8D【解析】
△ABC，△ABD，△ACE，△BOC，△BEO，△CDO，△BCD，△CBE是等腰三角形．
∴图中的等腰三角形有8个．2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有( )A．2个
B．3个
C．4个
D．5个3.在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P，求证：PB＝PC，并请直接写出图中其他相等的线段．4.△ABC为等边三角形，点D在线段AF上，点F在线段BE上，点E在线段CD上，∠1＝∠2＝∠3.
(1)求∠BEC的度数；
(2)△DEF为等边三角形吗？为什么？答案引入思考腰三角形判定定理1：如果一个三角形的两条边相等，那么可判定这个三角形是等腰三角形。等腰三角形的判定定理2：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简单地说，在同一个三角形中,等角对等边。用几何语言表示为：在△ABC中，
∵∠B=∠C
(
已知
)∴AC=AB.
（在一个三角形中，等角对等边）
提炼概念典例精讲
解：这一方法正确。理由如下：∵∠CAD=∠B+∠C（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴∠B=∠CAD-∠C=60°-30°=30°∴∠B=∠C∴AB=AC（在同一个三角形中，等角对等边）等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形证明：∵∠A=∠B=∠C=60°∴AB=AC=BC∴△ABC是等边三角形等边三角形的判定定理2：有一个角是60°的三角形是等边三角形证明：（1）假如顶角是60度，那么下面两个角之和为120度，又因为是等腰三角形，所以两个角相等，等于120÷2=60度，所以三个角相等，所以是等边三角形。
（2）假如60度角是一个底角，因为是等腰三角形，所以另外一个底角也是60度，那么顶角等于180-60-60=60度。所以三个角相等，所以是等边三角形。
巩固训练1.D2.C3.解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∴
△ABF
≌△ACE(SAS)．∴
∠ABF＝∠ACE，
∴∠ABC－∠ABF＝∠ACB－∠ACE，
∴∠FBC＝∠ECB，∴PB＝PC.
相等的线段还有：PE＝PF，BF＝CE，BE＝CF.4.解：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∴∠BCE＋∠3＝60°.
∵∠2＝∠3，∴∠BCE＋∠2＝60°.
∴∠BEC＝180°－∠BCE－∠2＝120°.
(2)△DEF为等边三角形．理由如下：
∵∠BEC＝120°，∴∠DEF＝60°，
同理，∠EFD＝60°，∠EDF＝60°，
∴∠DEF＝∠EFD＝∠EDF＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
课堂小结
1．等腰三角形的判定
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，简单地说，在同一个三角形中，_________________．注意：“等角对等边”只限于在同一个三角形中，若两个三角形有两边(或两角)对应相等，那么它们所对的角(或边)不一定相等．2．等边三角形的判定定理：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明一个三角形是等边三角形的方法：
(1)利用定义说明三条边相等；
(2)说明三角形三个角相等；(3)说明它是等腰三角形且有一个角是60°.
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2.4
等腰三角形的判定定理
浙教版
八年级上
新知导入
情境引入
你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?
推论:
等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线，
底边上的高互相重合(三线合一).
定理:
等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
合作学习
暑假的某天，酷爱游泳的李明和王强到一矩形游泳池去游泳，两人约定：站在游泳池同一边的两个角落上(如图示B、C两点)，同时以相同的角度(∠B＝∠C)潜入水里，并以相同的速度直线式前游。不一会儿，两人在池内的A处碰撞在一起。好动脑筋的李明就想：难道刚刚游过的路程相等(即AB＝AC)？这是为什么呢？它蕴藏了什么数学道理？
探索一：
B
C
A
游泳池
如图所示,量出AC的长,就可知道河的宽度AB,你知道为什么吗?
探索二：
除此之外，还有其他判定方法吗？
利用等腰三角形的定义，怎样判定一个三角形是等腰三角形？
如果一个三角形的两条边相等，那么就可判定这个三角形是等腰三角形
【合作学习】在纸上任意画线段BC，分别以点B和点C为顶点，以BC为一边，在BC的同侧画两个相等的角，两角的另一边相交于点A.
B
C
A
量一量，线段AB与AC相等吗？其他同学的结果与你的相同吗?你发现了什么规律?
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.
你能证明这个猜想吗？
B
C
A
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.
求证:△ABC是等腰三角形.
在△ABD和△ACD中，
∴
△ABD
≌
△ACD（AAS）
∠BAD=∠CAD(角平分线的定义)，
∠B=∠C（已知），
AD=AD（公共边），
过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
证明：
△ABC是等腰三角形.
∵
∴
△ABC是等腰三角形.
B
C
A
提炼概念
如果一个三角形中有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形。
（简写成“等角对等边”）.
∴
AC=AB.
(
)
即△ABC为等腰三角形.
∵∠B=∠C，
(
)
在△ABC中，
应用格式：
等腰三角形的判定方法
已知
等角对等边
B
C
A
(
(
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2
,
∴
BD=DC
（等角对等边）.
∵∠1=∠2,
∴
DC=BC
A
B
C
D
2
1
（等角对等边）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图,下列推理正确吗?
典例精讲
新知讲解
例
一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测量点A,B之间的距离.同学们想出了许多方法，其中小聪的方法是：从点Ａ出发,沿着与直线AB成60°角的AC方向前进至C，在C处测得∠C＝30°.量出AC的长，它就是河的宽度（即点A,B之间的距离）．
这个方法正确吗？请说明理由．
∵
∠
CAD=
∠
C+
∠
B（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴
∠
B=
∠
C，
∴
AB=AC（在同一个三角形中，
等角对等边）.
∴
∠
B=
∠CAD
-∠C=60
°-
30
°
=30°，
解：这一方法正确.理由如下：
等腰三角形
等边三角形
一般三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.
思考：一个三角形满足什么条件时会成为等边三角形？
猜想1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
C
B
A
证明：三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
C
B
A
证明：∵∠A=∠B，
∴BC=AC(在同一个三角形中，等角对等边)．
又∵∠A=∠C，
∴BC=AB(在同一个三角形中，等角对等边)．
∴AB=BC=CA，即△ABC是等边三角形．
【思考】一个三角形还满足什么条件时会成为等边三角形？
猜想2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
点拨：
有一个角是60°，在等腰三角形中有两种情况：
(1)这个角是底角；(2)这个角是顶角．
C
B
A
证明:
∵AB=AC,∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°(在同一个三角形中，等边对等角).
∴∠A=60°(三角形的内角和定理)，
∴∠A=∠B
=∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．
求证:△ABC是等边三角形．
第一种情况：有一个底角是60°
A
C
B
60°
证明:
∵AB=AC，∠A=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°(在同一个三角形中，等边对等角).
∴∠A=∠B=∠C
=60°，
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形)．
已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠A=60°．
求证:△ABC是等边三角形．
第二种情况：顶角是60°；
A
C
B
60°
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：
一是证明三角形三条边相等；
二是证明三角形三个内角相等；
三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
【总结归纳】
归纳概念
“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
【总结归纳】
证明线段相等的方法:
1、证明线段所在的两个三角形全等。
2、证明同一个三角形中线段所对的两个角相等。
课堂练习
1.△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是
∠ABC和∠ACB的平分线，点O为BD，CE的交点，
则图中等腰三角形的个数是
(
)
A．4
B．5
C．7
D．8
【解析】
△ABC，△ABD，△ACE，△BOC，△BEO，△CDO，△BCD，△CBE是等腰三角形．
∴图中的等腰三角形有8个．
D
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的点P有( )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
C
3.在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P，求证：PB＝PC，并请直接写出图中其他相等的线段．
解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∴
△ABF
≌△ACE(SAS)．∴
∠ABF＝∠ACE，
∴∠ABC－∠ABF＝∠ACB－∠ACE，
∴∠FBC＝∠ECB，∴PB＝PC.
相等的线段还有：PE＝PF，BF＝CE，BE＝CF.
4.△ABC为等边三角形，点D在线段AF上，点F在线段BE上，点E在线段CD上，∠1＝∠2＝∠3.
(1)求∠BEC的度数；
(2)△DEF为等边三角形吗？为什么？
解：(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∴∠BCE＋∠3＝60°.
∵∠2＝∠3，∴∠BCE＋∠2＝60°.
∴∠BEC＝180°－∠BCE－∠2＝120°.
(2)△DEF为等边三角形．理由如下：
∵∠BEC＝120°，∴∠DEF＝60°，
同理，∠EFD＝60°，∠EDF＝60°，
∴∠DEF＝∠EFD＝∠EDF＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
课堂总结
名称
图
形
概
念
性质与边角关系
判
定
等
腰
三
角
形
有两边相等的三角形是等腰三角形
2.等边对等角
3.
三线合一
4.是轴对称图形
2.等角对等边
1.两边相等
1.两腰相等
A
B
C
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